I principali insiemi numerici

Diagramma di Venn di alcuni insiemi numerici notevoli

Diagramma di Venn di alcuni insiemi numerici notevoli

I PRINCIPALI INSIEMI NUMERICI

Alcuni insiemi, detti numerici, hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:

  • L’insieme \N dei numeri naturali
  • L’insieme \Z dei numeri interi
  • L’insieme \mathbb{Q} dei numeri razionali
  • L’insieme \R dei numeri reali
  • L’insieme \C dei numeri complessi
  • L’insieme \mathbb{H} dei quaternioni

Questi insiemi si possono vedere intuitivamente come contenuti uno nell’altro:

 \N \subset \Z \subset \mathbb{Q} \subset \R \subset \C \subset \mathbb{H}.

Più propriamente si dovrebbe parlare di immersione di ogni insieme nel seguente, poiché secondo la corrente assiomatizzazione i vari insiemi sono definiti in modi radicalmente diversi l’uno dall’altro.

I primi insiemi che si incontrano in matematica sono quelli dei numeri; daremo qui una breve descrizione dei principali insiemi numerici, delle loro operazioni e delle loro proprietà.

I NUMERI NATURALI

I numeri Naturali, N

Il primo insieme che  prenderemo in esame è  l’ insieme dei numeri naturali. Esso si indica con la lettera N  e i suoi elementi sono i numeri interi positivi, i primi numeri,  storicamente, ad essere stati usati dall’umanità

N= { 1 , 2 , 3 , 4 . . . . .}

Naturalmente gli elementi di N:   1 , 2 , 3 , 4 . . .   sono infiniti.

In molti testi nei numeri naturali viene considerato anche lo 0, talvolta con la notazione:

N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5…….}

In generale si preferisce indicare l’insieme dei naturali con N escludendo lo 0.

Ricordiamo che un‘operazione in un insieme  A viene definita in generale come una legge che associa ad ogni coppia a,b, ove  a e b A, un terzo numero c A; cioè un’operazione in  A è una funzione da AxA in A.

Le 4 operazioni. Somma e prodotto

Nell’insieme N consideriamo in genere le 4 operazioni (somma, prodotto, sottrazione e divisione), ma solo le prime due sono operazioni nel senso definito sopra.

Le operazioni elementari che risultano ben definite nell’insieme dei numeri naturali sono l’operazione di addizione (o somma) e quella di moltiplicazione (o prodotto).

a+b = c
ab = f

Considereremo l’ operazione di addizione come nota; la moltiplicazione viene definita come una addizione ripetuta:  eseguire il prodotto di a e b significa fare:

ab =  a +  a  +  a  + … + a   (b  volte) =   b +  b  + …  + b   (a  volte).

L’ operazione di addizione gode delle seguenti proprietà:

1) proprietà commutativa della somma:

Per qualsiasi  a,b N:

a+b = b+a .

2) proprietà associativa della somma:
Per qualsiasi  a,b,c N:

(a+b)+c = (c+a)+b .

3) esistenza dell’ elemento neutro per la somma; l’elementro neutro per l’addizione è lo 0, infatti per esso vale:

Per qualsiasi a N: a + 0 = a .

L’ operazione di moltiplicazione gode di proprietà analoghe:

4)proprietà commutativa del prodotto: Per qualsiasi a,b N:
a.b=b.a .

5) proprietà associativa del prodotto:
Per qualsiasi a,b,c N:

(a.b).c=(c.a).b .

6) esistenza dell’ elemento neutro; l’elementro neutro per l’addizione è il numero 1, infatti per esso vale:
Per qualsiasi a N:

a . 1 = a .

Inoltre abbiamo la seguente proprietà che lega somma e prodotto:

7) proprietà  distributiva del prodotto rispetto alla somma:

(a+b)c = ac + bc

Terminologia:

Si dice che l‘ insieme N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per indicare che queste sono effettivamente operazioni su N, cioè sempre eseguibili per qualsiasi a,b N .
Se abbiamo a+b=c  allora  gli elementi generici a e b vengono detti addendi mentre c prende il nome di somma.

Invece nella moltiplicazione a x b = d ,  a e b  vengono detti fattori ed il risultato d  è detto  prodotto.

Le 4 operazioni. Sottrazione e divisione.

Le operazioni di sottrazione e di divisione nell’ insieme dei numeri naturali non sono sempre possibili.  Esse non sono vere e proprie operazioni su N, cioè non sono funzioni definite da N x N in  N.

Vediamo come si definisce (quando esiste) la sottrazione di due numeri naturali; si tratta dell’operazione inversa della somma:

Definizione:
Dati due numeri naturali n, m N,  si dice  n – m quel numero naturale  x, se esiste, che sommato ad  m dia

n – m = x   se e solo se   n = m + x .

Si vede facilmente  che n deve essere più grande di m per poter fare l’operazione di sottrazione (cioè perché x esista).

In modo analogo alla sottrazione si definisce la divisione:

Definizione:  Dati due numeri naturali n, m N ,  si dice n : m quel numero naturale x, se esiste ed è unico, che moltiplicato per m dia n.

Cioè:   n : m = x  se  n = m. x

Anche per la divisione è  immediato constatare che x non esiste sempre, ma se e solo se n è  un multiplo di m (cioè se  esiste  kN, tale che n = km), quindi l’operazione di divisione è eseguibile solo sulle coppie  n,m tali che n = km

Inoltre si e si può notare che non si potrà mai dividere per 0, infatti per avere  ad esempio  8 : 0 = x  si dovrebbe avere    8 = 0.x, il che è falso qualunque sia x.  Non si può neanche fare  0 : 0  in quanto tale operazione risulterebbe indeterminata, poichè per ogni naturale x si ha:  0 = 0.x (cioè  x non sarebbe unico), mentre nella definizione si chiede che x esista e sia unico.

L’elevazione a potenza

Procedendo  in modo analogo a come abbiamo definito la moltiplicazione a partire dalla somma, si può definire su N, ma ad esclusione dello 0, l’operazione di elevazione a potenza:
Per qualsiasi  n,m N: con n, m diversi da 0, si pone nm = n . n … n  (m volte) .

Questa volta però non abbiamo proprietà analoghe alle precedenti (per esempio questa operazione non è né associativa né commutativa, ad esempio:  32 e  23 sono diversi) .

Proprietà notevoli della elevazione a potenza sono:

p1) Per qualsiasi  n,m N :      t = nt.mt

p2) Per qualsiasi  n,m N:  n(m+t) = nm.nt

p3) Per qualsiasi  n,m N :       n>(m.t) = (nm)t

Esempi: 511 = 5(4+7) =  557; 3(2.2) = (32)2 = 92 = 81.

Inoltre, come abbiamo detto,  nm è a questo modo definito solo se m non è 0  (cosa vorrebbe dire moltiplicare n per se stesso “0 volte”?).  Potremo però ampliare un po’ questa definizione, estendendola anche al caso m = 0 , purché sia n diverso da 0, come vedremo fra breve.

Considderiamo ora come si comportano le potenze rispetto alle operazioni “parziali” di sottrazione e divisione; esse danno luogo a proprietà delle potenze analoghe alle p1) e p2):

p4) Per qualsiasi   n,m N :       (n : m)t  = nt : mt

p5) Per qualsiasi  n,m N:         n(m – t) = nmnt

La proprietà p5) ci pone un piccolo problema:  m-t  ha senso anche quando  m= t , ma in questo caso avrei:

n(m – t) =  n0 =   n mn t = nmnm = 1

mentre  avevamo detto che  n0 non era definito.  Quello che possiamo fare allora è di estendere la definizione precedente di elevazione a potenza, in modo da conservare vere le proprietà p1) – p5) anche in questo caso,  ponendo :

Per qualsiasi  n > N,  se  n  non è 0,    si ha :     n0 = 1

Notiamo che non ha senso cercare di “interpretare” questa definizione come “moltiplicare n per se stesso 0 volte mi dà 1”;  il definire n0 = 1 è un artificio che poniamo per avere l’elevazione a potenza anche in questo caso, conservando tutte le “buone proprietà” delle potenze.

Sottolineiamo che resta invece privo di senso elevare 0 alla 0: il simbolo 00 non rappresenta nessun numero (intuitivamente: abbiamo che ogni numero elevato alla 0 dà 1, mentre 0 elevato ad una  qualsiasi potenza dà 0; comunque definissimo 00 contravverremmo almeno una di queste proprietà).

I numeri Interi Z

Il secondo insieme che  è  quello dei numeri interi. Esso si indica con la lettera Z  (dal tedesco  Zahl = numero) e i suoi elementi sono i numeri naturali, più i numeri negativi (interi):

Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1 , 2 , 3 , 4 . . . . .}

Possiamo pensare a  Z  come ottenuto da  N  “aggiungendo”  ad esso una “nuova copia” dei numeri   1,2,3,…  che però si distingue da quella precedente per quel segno “-”  posto in fronte ad essi; possiamo pensarli come numeri “rossi” se ci immaginiamo un conto in banca: infatti il primo uso dei numeri negativi è quello di rappresentare dei debiti  (già in papiri egizi si trovano numeri che hanno questo significato).

Come si definiscono le operazioni in Z ?

La somma

Dobbiamo definire come sommare due elementi a,b Z; se a,b N non ci sono problemi, eseguiamo la somma come facciamo in N; altrimenti procediamo così:

–   se a N  ,  b= -n ,  n N,  e  a  > n ,  :    a+b  =  a – n  (l’operazione a – n è definita in  N) ;

–  se  a N  ,  b= -n ,  n N,  e   n  > a allora definiamo:    a+b  (n a)  (l’operazione  n è definita in  N) ;

–   se  a N  ,  b= -n ,  n N,  e   n  = a  allora definiamo:    a+b  =  0 ;

–   se  a >= 0,  b= -n ,  n N,      allora definiamo:    0+b  b + 0 = b;

–    se  a = -m  e  b= -n ,  n,m N,   allora definiamo:    a+b  (m + n )  (l’operazione  m + n  è definita in N).

Ad esempio:    3 +  (-5) = – (5 – 3) = -2 ;   -4 + (-3) = -(4+3) = -7  ;  0 + (-3) = -3 ;  5 + (-3) = 5 – 3 = 2.

L’idea intuitiva, pensando a quantità di denaro, è che sommare un numero negativo significa “aquisire un debito” e quindi equivale a sottrarre il corrispondente numero positivo.

In  Z  la somma ha una nuova proprietà :

Esistenza dell’inverso:

Per ogni a Z ,  esiste un numero  a’ Z , tale che a+a’ = a+a’ =  0 .

Infatti  se  a N,  basta prendere a’ = -a , mentre  se  a = -n,   n N prenderemo   a’ =  n   (se invece  a = 0, anche a’ = 0).

Poiché questa notazione è immediata per i numeri positivi, indicheremo  l’inverso di un numero  a Z , con  -a ,  ad esempio:  -(-4)= 4 .

Il Prodotto

Dobbiamo definire come moltiplicare due elementi a,b Z;  se a,b N non ci sono problemi, eseguiamo il prodotto come facciamo in N; altrimenti procediamo così:

–   se  a N  ,  b= -n ,  n N,   allora definiamo:    a(a n)    ( l’operazione a n è definita in  N);

–   a = -m  e  b= -n ,  n,m N,    allora definiamo:    a>= n m   (l’operazione  n m  è definita in  N).

Ad esempio:    3 (-5) = – (35) = -15 ;   -4 (-3) = -(43) = -12  ;  0 (-3) = -(03)=0 .

Le regole di moltiplicazione ora esposte sono quelle che comunemente si riassumono nelle formuletta:

Più per più fa più, più per meno fa meno e meno per meno fa più.

La Sottrazione

Questa è l’operazione per la quale abbiamo un cambiamento sostanziale: in un certo senso si può dire che abbiamo introdotto i numeri negativi proprio per rendere la sottrazione sempre possibile; in  si ha infatti che la sottrazione diviene un’operazione vera e propria. Vediamolo, ricordiamo che si tratta dell’operazione inversa della somma:

Definizione:

Dati due numeri interi  a, b Z ,  si dice  a – b quel numero intero  x, che sommato a  b dia a.
Cioè:

a – b = x   se e solo se   a = b + x .

Vediamo  che  questa operazione  è stavolta definita su tutto Z .   Come abbiamo notato, in  Z esiste l’inverso rispetto alla somma; allora , se denotiamo di nuovo con il simbolo b’  l’inverso di  b,  avremo:

se  b =  n N,  allora  b’ = – n,

se  b = – n,  allora  b’ = n ,

se   b = 0,   anche  b’ = 0 .

Si ha allora che  a – b  =  a + b’ , cioè che   x  =  a + b’  è l’elemento richiesto, infatti :

  x + b(a +  b’) + b =   a + b + b’  =   a + 0  =   a .

Quindi, in  Zx – y  esiste sempre, ed è uguale a   x + y’ , cioè  “Z , viene a compendiare ben tre signicati diversi!

Infatti usiamo il segno meno per indicare i numeri negativi , come  -5 , -4, -3 …  e cioè quei  “nuovi numeri” che con il passare a considerare  Z, abbiamo aggiunto ai naturali.   In questa accezione il segno “-” non è usato per indicare un’ operazione, ma solo una specie di “segnaposto”, per caratterizzare i nuovi numeri .

Poi “-” è usato come simbolo dell’operazione di sottrazione, e questa è la prima accezione in cui lo abbiamo incontrato, già in N, ed infine il segno meno si usa per indicare  “l’opposto di ” :

– (-7)  =  ” l’opposto di  -7 ” = 7 ;

in quel  “- (-7)” , il primo ed il secondo simbolo “meno” hanno due significati diversi: il primo sta per “l’opposto di”, mentre il secondo è quello che abbiamo già notato, il “segnaposto” dei numeri negativi.

Queste diverse funzioni logiche del segno “meno” sono spesso passate sotto silenzio nell’introduzione scolastica dei numeri relativi; anche se potrebbe generare confusione nei ragazzi al loro primo incontro con i numeri negativi soffermarsi su aspetti così formali come quelli visti adesso, è importante che l’insegnante abbia chiaro “cosa c’è sotto” logicamente, in quanto le difficoltà che i ragazzi hanno nell’imparare ad usare (e ad “accettare”, prima di tutto) i numeri negativi viene anche dalla vera e propria complessità di questo concetto, che non è poi così “naturale” come talvolta si tende a cercare di far loro credere.

La Divisione

Per questa operazione, le cose non cambiano molto: come non la potevamo eseguire sempre in N, così non possiamo in Z.  Notiamo soltanto che, quando si può effettuare la divisione, essa si esegue con regole fra i segni analoghe a quelle del prodotto.

Dobbiamo definire come dividere (se possibile) due elementi  a,b Z:  se a,b N non ci sono problemi, eseguiamo la divisione come facciamo in N(se possibile); altrimenti procediamo così:

–   se  a N  ,  b= -n ,  n Na : >=  (a : n)    ( quando l’operazione a : nè definita in  N) ;

–   se  a = -mb= -n ,  n,m N,    allora definiamo:    a : b  n : m   (quando l’operazione  n : m  è definita in N).

Ad esempio:
12 : (-3) = -(12 : 3) = -4 ;   (-15) : 5 = – (15 : 5) = -3  ;  (-28) : (-7) =  28 : 7 = 4 .

I numeri Razionali

Per rendere sempre possibile (o quasi) l’operazione di divisione introduciamo un altro ampliamento dell’insieme dei numeri, e cioè  l’insieme dei numeri razionali (dal  latino ratio = rapporto).  Esso viene indicato con il simbolo  (iniziale di quoziente); intuitivamente gli elementi di Q sono le frazioni:

Q = { …, -3/4,…, -2,…, -1,…, -1/3,.., 0,…,1/2,…2/3,…1,…,3/2,…,2,…,15/7,…}

Vediamo (piuttosto sommariamente)  come  si può costruire l’insieme dei razionali.

Consideriamo le coppie di interi con il secondo elemento diverso da 0; ad esempio coppie del tipo (1, -3) , (5,4) ….. , escludendo cioè le coppie del tipo (1, 0) , (5,0) , (-25, 0).   Se  indichiamo con  Z*  =  Z \ {0},  stiamo considerando l’insieme  Z Z*.

Adesso eseguiamo una partizione in  Z Z*, raggruppando in una stessa classe gli elementi  (a, b)  e (c,d)   ogni volta che  ad = bc; ad esempio saranno nella stessa classe gli elementi (3, 2) e (6, 4)  perché   3 4 = 26;  possiamo individuare un’altra classe prendendo gli elementi  (-3, -2)  e  (15, 10)   perché   -3 10 = -2 15,  in quest’ultima classe troviamo ad esempio anche l’elemento  (21, 14).

Le classi definite in questa maniera formano una partizione di Z Z*. Possiamo visualizzare tale partizione nel piano cartesiano, notando che le classi sono individuate  tramite delle rette passanti per l’ origine:

Chiamiamo Q l’insieme quoziente di questa partizione, e quindi consideriamo come “nuovi numeri” le classi della partizione sopra considerata. Tali elementi saranno i nostri numeri razionali.

Useremo il simbolo  a/b  per indicare la classe della coppia  (a, b).   Ad esempio se prendiamo gli elementi  (-3, 3)  ed  (-1, 1) , essi appartengono alla stessa classe e quindi avremo che   –3/3 = -1/1 ; lo stesso accade per  (3, 2)  e  (6, 4)  che appartengono ad una stessa classe e quindi   3/2 = 6/4   (ma diversa dalla classe precedente).

Poiché esistono più modi per indicare uno stesso elemento razionale, in generale si preferisce usare la notazione  a/b ove a e b siano primi tra loro (cioè a e b non hanno fattori in comune) e  b > 0.  In questo caso si dice che la frazione è ridotta ai minimi termini .

Ad esempio 3/2 oppure 1/2, o ancora 1/3 sono frazioni ridotte ai minimi termini mentre 2/4  ,  3/-9  e  2/-5  sono frazioni non ridotte ai minimi termini.  Per trasformarle in frazioni ridotte ai minimi termini dobbiamo scriverle come:   1/2  ,  -1/3  e  -2/5.

Le operazioni in Q:  somma e prodotto

Una volta definito Qcome insieme, dobbiamo definire le operazioni in esso; l’addizione e la moltiplicazione le definiamo nel modo seguente:

1) Se  a/b , c/d Q :  (a/b) + (c/d) = (ad +bc)/bd ;

2) Se a/b , c/d Q :  (a/b) (c/d) = ac/bd ;

Notiamo che le operazioni sono ben definite cioè che se invece di  a/b  utilizziamo un’altra espressione per rappresentare la stessa classe (ad esempio 3a/3b ), il risultato delle operazioni è sempre lo stesso, infatti:

(3ad + 3bc)/3bd = (ad +bc)/bd ;

(3ac)/(3bd) = ac/bd;

   Esempi

  3/9 + 16/12 = 4/12 + 16/12 = 20/12  ;   3/7 + (-1/3) = [9+(-7)]/21 = 2/21 ;  4/1 + 0/211 = (844+0)/211 = 4/1 ;

   3/5 7/9 = 21/45 = 7/15 ;    12/12 3/8 = 36/96 = 3/8 ;   -2/9 12/5 = -24/45 = -8/15 ;  -4/3 -1/3 = 4/9;

Inoltre si ha, da quanto definito sopra:

    3)  Se  a/b Q:   a/b0/1 = a/b

  4)    Se  a/b Q:    a/b 1/1 = a/b .

Quindi l’elemento  0/1  rappresenta l’elemento neutro rispetto alla somma mentre 1/1 rappresenta l’elemento neutro rispetto al prodotto.

a N,  scriveremo  a  invece di  a/1,  e quindi denoteremo con  0  ed  1  gli elementi neutri rispetto alla somma ed al prodotto anche in Q, come in  N ed in  Z.

Notiamo che l’operazione di sottrazione, definita come inverso della somma, si può sempre eseguire in Q , in quanto ogni a/b ha un opposto rispetto alla somma, e cioè  -a/b, infatti:

a/b + (-a/b) = (ab-ab)/b2 = 0/b2 = 0/1 = 0 .

La formula generale per la sottrazione,  in  Q, sarà analoga a quella della somma:

5) Se  a/b , c/d Q :  (a/b) (c/d) = (ad – bc)/bd .

Le operazioni in Q:  la divisione.

Verifichiamo adesso come sono cambiate le cose,  in  Q , rispetto alla divisione, perché qui abbiamo adesso una nuova proprietà:

Esistenza dell’inverso rispetto al prodotto:

Per ogni  r Q,  se è diverso da  0,  esiste un numero  s tale che:

r s = s r = 1.

Infatti  se  r =a/b,  con  diverso da  0, basta porre  s = b/a , ed avremo   a/b b/a  =  ab/ab  = 1/1 = 1 .

Q definiamo la divisione come l’operazione inversa del prodotto, avremo allora  che per fare  a/b : c/d  (cioè per ottenere un numero r che moltiplicato per c/d dia a/b) basterà moltiplicare  a/b per l’inverso di c/d , cioè fare  r = a/b d/c, infatti si ha:

r c/d = (a/b d/c) c/d =  a/b (d/c c/d) =   a/b 1 =  a/b .

Naturalmente in tutto questo deve essere  c/d diverso da  0, cioè  diverso da  0  (ricordiamo che b e d non sono 0 per definizione).

L’insieme dei numeri reali  R

Abbiamo visto che la divisione è divenuta un’operazione possibile in Q (a parte l’impossibilità di dividere per 0). Consideriamo adesso un’ altra operazione:  l’estrazione di radice quadrata.  Dato un elemento generico r appartenente a Q definiamo la radice quadrata di r:

Definizione:  Sia  Q, un elemento  t tale che t 2= si dice radice quadrata di  r, e si indica con  .

Questa operazione non è sempre possibile; ad esempio si ha ovviamente che se  r  < 0,  nessun numero t Q può soddisfare la relazione  t= r,  poiché  t2   è comunque un numero positivo.   Ma anche quando  r  > 0, non è detto esista t con  t2 = r .

Vediamolo nel caso di  r = 2.

Teorema:  Non esiste nessun numero razionale, che elevato al quadrato dia 2.

Dimostrazione:   Dobbiamo vedere che non esiste nessun   t Q, tale che:

t2= 2

Supponiamo per assurdo che esista un elemento razionale della forma  t = a/b, e (riducendo ai minimi termini) possiamo supporre che a e b siano primi tra loro, che soddisfi l’equazione scritta sopra.   Allora  l’espressione diventa (a/b) = 2,  che è equivalente a scrivere
a2 /b2 = 2 ,  o ancora:

  a2 = 2b2

Notiamo inanzitutto a e b non possono essere entrambi pari perché  altrimenti avrebbero un fattore comune, il 2, e la frazione non sarebbe ridotta ai minimi termini.

Ma a e b  non possono essere neanche entrambi dispari perché il termine 2b2 sarebbe sempre pari e il termine a2dispari.

Quindi da ciò si deduce che a deve essere pari e b dispari.

Se b è dispari anche b2  lo è , quindi il termine  2b2  contiene il fattore 2 solo una volta. Invece è pari  e contiene il fattore 2 almeno una volta, cioè si può scrivere:  a =  2c , quindi    a2 = 4c2 , e quindi   a2  contiene  il fattore 2  almeno due volte!

Quindi, concludendo, non si può avere  asup>2 = 2b2 , e ciò significa che non esiste nessun elemento della forma a/b , che elevato al quadrato ci dà 2.

Geometricamente ciò come si traduce?  In un quadrato con un lato di lunghezza 1, se applichiamo il teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza della sua diagonale non otteniamo un numero razionale!

Iinfatti applicando il teorema di Pitagora al triangolo  ABC, si ottiene   (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 ,  ma  (AB)2 + (BC)2= 1+ 1 = 2, e quindi la misura di  AC  deve essere un numero che elevato al quadrato fa 2, ed abbiamo appena dimostrato che ciò è impossibile per un numero razionale.

Questo fatto ci mostra che ci sono lunghezze di segmenti che non corrispondono a numeri razionali, cioè che se vogliamo associare ad ogni punto di una retta un numero,  non bastano i razionali per “riempire la retta”, ma che dovremo ampliare l’insieme numerico che consideriamo.

Cerchiamo di definire gli elementi mancanti , riprendendo il problema di trovare un numero che al quadrato faccia 2.  Possiamo considerare dei numeri decimali finiti che approssimino  per difetto oppure per eccesso la quantità  cercata.

Consideriamo i numeri:    1 ; 1,4  ;  1,41  ;   1,414 ; ……  (cioè i razionali che elevati al quadrato  danno un valore  < 2),

E poi i numeri:                2 ;  1,5 ;  1,42 ;  1,415 ; ………  (cioè i razionali che elevati al quadrato danno un valore  > 2).

Come possiamo allora “riempire il buco” che abbiamo sulla retta in corrispondenza del “numero che al quadrato fa 2” ? Lo faremo aggiungiendo all’insieme Q tutti i  decimali infiniti non periodici.

Fatto ciò, avremo che il numero: 1,4143562… sta fra tutti i decimali finiti che al quadrato sono < 2  e tutti quelli che al quadrato sono maggiori di due (naturalmente questo decimale non può essere periodico, altrimenti sarebbe un numero razionale). Esso sarà il numero che cerchiamo: infatti per quanto abbiamo appena detto, elevato al quadrato esso non può essere né maggiore né minore di due, quindi ci darà proprio 2!  Tali decimali non periodici (quindi non in  Q ) si dicono numeri irrazionali.

Chiamiamo R, insieme dei numeri reali, l’insieme ottenuto, cioè quello ove abbiamo tutti i possibili decimali finiti ed infiniti, periodici (razionali) o meno (irrazionali).  Rappresentano ad esempio dei numeri reali (irrazionali) espressioni come:

3,101001000100001…  ;   0,1234567891011121314151617… ;  13,248163264128256…,

dove la “legge” con si succedono le cifre è chiara, ma non c’è periodicità.

In R si possono definire le operazioni analoghe a quelle che avevamo in Q , ed esse godranno ancora delle proprietà citate negli insiemi precedenti, inoltre R è completo cioè “non ci sono buchi”: se riportiamo i numeri reali sulla retta, ad ogni punto della retta corrisponde uno di essi e viceversa.

In  R si ha poi la seguente proprietà, che non si aveva in  Q  :

Ogni equazione del tipo  x2 = r , con  r numero reale , r > 0 ,  ha soluzione in  R.

Cioè in  R è sempre eseguibile l’operazione di radice quadrata dei numeri positivi, dove per “radice quadrata di r ³0″ , si intende un numero positivo che moltiplicato per se stesso dia  r Tale numero si indica con . Anzi , per ogni r >0, esistono due numeri che elevati al quadrato danno r : e cioè   ± .

Più in generale, per ogni numero naturale n > 0, si definisce l’operazione di radice n-esima di un numero reale r ³ 0 , come quel numero, se esiste, che elevato alla  n  dà   r .

In simboli:   .

Non è invece eseguibile in R la radice quadrata dei numeri negativi; infatti ogni numero reale elevato al quadrato risulta sempre positivo; un’espressione come non ha alcun senso in  R.

Cenni sui numeri complessi,  C

L’ultima estensione del “campo dei numeri” (a cui accenniamo soltanto) è quella nella quale rendiamo possibile l’estrazione di radice quadrata di numeri negativi.  L’ampliamento rispetto all’insieme dei reali avviene essenzialmente attraverso l’introduzione di un  solo nuovo “numero”, il numero  i , detto “unità immaginaria”  il quale ha la proprietà:

i2= -1

Praticamente abbiamo quindi aggiunto ai numeri reali una  .

Definiamo l’insieme dei  Numeri complessi, C, come l’insieme delle espressioni del tipo a+ib , ove a,b siano numeri reali,  ed i è quella che abbiamo denotato come unità immaginaria.
Nell’
espressione di un numero complesso  z = a+ib,   a  viene detta  parte immaginaria  di z  e  b  parte reale  di z .

Le operazioni di somma e prodotto in  C si svolgono secondo le regole usuali del calcolo letterale, ma  tenendo conto che  i2= -1; ad esempio:

(12 + i) + (1+4i) = 13 + 5i   ;   (2+3i)(1-i)  =  2 -2i +3i -3i2 =  2 + i – (- 3) = 5 + i ;

(2+i)(2-i)  =  4 – i2 4 – (-1)  = 5  ;   [(1+i)/]2 = (1+i)2/2 =  (1-1+2i)/2  =  i .

Per rappresentare geometricamente i numeri complessi una retta non basta più; avremo invece bisogno di un piano:


I numeri reali si vedono “dentro” i complessi sull’asse orizzontale della figura (asse reale), mentre sull’asse verticale appariranno i numeri immaginari puri (e cioè  i, 2i, 5i, –3i ; tutti quelli della forma ai, dove è un numero reale).

Anche in  C varranno le proprietà delle operazioni che avevamo in R , ne avremo inoltre altre come il fatto che nei numeri complessi ogni equazione polinomiale (di qualsiasi grado) ha soluzioni, ed ogni numero possiede due radici quadrate, tre radici cubiche, quattro radici quarte, e così via.


Esempi:

    Se   z2= -25 ,  allora  z±5i ;   se   z2= -2 ,  allora  z±i .

    Se   z3= -1,  allora i possibili valori di  z sono:  

            z1 = -1 ,  z2 = (1+i)/2 ,   z3 = (1-i)/2   (queste sono le 3 radici cubiche dell’unità).

    Se  z4= -1,  allora   z1 = 1 ,  z2 = -1 ,  z3 = i ,   z4 = –i   (queste sono le 4 radici quarte dell’unità).



Categorie:J06- Logica e Teorie del ragionamento, L04- Logica - Logic

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