Equazioni differenziali

Equazioni differenziali

In analisi matematica un’equazione differenziale è una relazione tra una funzione f(x) non nota ed alcune sue derivate.

E con la nascita del calcolo infinitesimale di Newton e di Leibniz, nella seconda metà del XVII sec., che compaiono i primi studi sulle equazioni differenziali. Essi hanno origine con il cosiddetto ‘problema inverso delle tangenti’, che consiste nel determinare la natura della curva che soddisfa una data relazione fra le coordinate e i loro elementi differenziali (o momenti delle flussioni): per esempio, una data proprietà sulla tangente o sulla normale, o sulla sottotangente. Dunque il problema inverso delle tangenti corrisponde a risolvere un’equazione differenziale del primo ordine. Il contesto iniziale è dunque geometrico, ma si estende in breve tempo ad altre branche della scienza, quali la meccanica, l’ottica, l’astronomia, l’idrodinamica e la iatromatematica. Fra i primi e più celebri problemi affrontati con successo tra l’ultimo decennio del XVII sec. e l’inizio del XVIII, ricordiamo, per esempio, quelli che portarono alla determinazione di curve trascendenti, come la catenaria, la trattrice, la brachistocrona, il discusso problema delle famiglie di traiettorie ortogonali e gli studi sul moto di un corpo soggetto a un campo di forze centrali nel vuoto o in un mezzo resistente. Da una congerie di esempi specifici di questo tipo si passa a individuare, già negli anni Novanta del Seicento, metodi adatti a risolvere particolari classi di equazioni differenziali: sostituzioni e separazione delle variabili condussero alla soluzione delle equazioni omogenee, delle equazioni lineari del primo ordine e delle equazioni di Bernoulli. Inoltre, nel volgere di pochi anni a cavallo dei due secoli, si assiste a un graduale trapasso da ricerche ancora segnate da una forte impronta geometrica a studi di carattere puramente analitico.

Derivate

Una funzione y = f(x) è rappresentata sul piano cartesiano da una curva. Anche una retta è un tipo particolare di curva : è una curva a “pendenza” costante. Una curva qualunque, invece, ha in generale, punto per punto, una pendenza diversa.

01 Pendenza

Vediamo ora di definire quantitativamente il concetto di pendenza. Già ritroviamo la pendenza indicata in percentuale nei cartelli di pericolo nelle strade di montagna.

La definizione di pendenza in matematica è analoga a quella utilizzata nei cartelli stradali. Una pendenza del 10 % ha il seguente significato geometrico:

equazioni

La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale ed il cateto orizzontale del triangolo rettangolo così come indicato in figura. Quindi, in questo caso, pendenza = 10 % = 10 / 100 = 0,1.

Se il cateto verticale fosse di 100 metri come quello orizzontale, la pendenza sarebbe del 100 %, ovvero uguale ad 1, e corrisponderebbe ad un angolo di 45° :

equazioni

Col crescere del cateto verticale si hanno pendenze sempre maggiori fino all’infinito. Per esempio, una pendenza del 700 %, ovvero uguale a 7, significa :

equazioni

Si noti che col crescere della pendenza, l’angolo alla base (a sinistra) tende ad avvicinarsi sempre più a 90°.
Quando l’angolo alla base sarà di 90°, la pendenza sarà infinita

La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale.

Se riportiamo questa definizione su una curva, possiamo definire in un punto la pendenza di quest’ultima
tracciando la tangente alla curva nel punto specificato :

equazioni

Nel grafico, la curva rappresenta la funzione y = f(x). La pendenza della curva nel punto P è la pendenza
della retta tangente alla curva tracciata  nel medesimo punto P.

Punto per punto, la pendenza in generale è diversa :

equazioni

Nell’ esempio, in P è positiva, in Q è nulla (la retta tangente è orizzontale) ed in R è negativa.

02 – Derivata

La pendenza di una curva in un punto si chiama derivata della funzione in quel punto.

Il concetto di derivata è di fondamentale importanza e costituisce la base del calcolo differenziale. Con le derivate si può studiare l’andamento di una funzione oppure calcolare le soluzioni di equazioni le cui incognite
non sono semplici numeri, ma funzioni. Questi tipi di equazioni si chiamano equazioni differenziali.

La derivata è essa stessa una funzione in quanto, punto per punto, essa assume valori in corrispondenza della x.
La derivata della funzione y = f(x) è quindi una funzione della x e si indica con la scrittura y = f ‘ (x). Essa si chiama anche derivata prima.

Essendo la derivata prima una funzione, se si fa la derivata di questa, si ottiene la derivata seconda y = f ” (x).
Dalla derivata seconda si ottiene la derivata terza e così via.

03 – Studio di funzione

Vediamo ora alcuni esempi in cui di ciascuna funzione data definiremo punto per punto sia la derivata prima che la derivata seconda.

Consideriamo la funzione y = x + 1. Essa è rappresentata nel piano cartesiano dalla retta obliqua in colore nero :

equazioni

La pendenza di una retta è ovviamente costante in ogni suo punto per cui la sua derivata è costante. In questo caso, formando la retta un angolo di 45°, la derivata è uguale ad 1 in ogni punto della retta. In rosso vediamo
raffigurata la funzione derivata prima che risulta così essere y = 1. La derivata della derivata prima è la derivata seconda. Essa è rappresentata in blu ed è 0 in ogni punto perché la derivata prima, essendo una retta orizzontale, ha pendenza nulla in ogni suo punto. La derivata seconda è quindi y = 0.

Consideriamo ora la funzione y = x². Essa è rappresentata da una parabola in ogni punto della quale la pendenza
è variabile :

equazioni

Nell’origine 0 la pendenza è nulla perché la tangente alla parabola è ivi orizzontale. A desta dell’origine, la pendenza è positiva e cresce via via che ci si allontana dall’origine verso destra. A sinistra, invece, la pendenza è negativa e cresce in valore assoluto più ci si allontana dall’origine verso sinistra. In rosso è rappresentata la derivata prima mentre in blu è rappresentata la derivata seconda.

Infine consideriamo la funzione y = x³ – 3x² +2x :

equazioni

Anche qui abbiamo rappresentato la funzione in nero, la derivata prima in rosso e la derivata seconda in blu.

E’ molto interessante notare che nei punti A e B del grafico le tangenti alla curva sono orizzontali. In questi punti quindi la derivata prima è nulla. A sinistra di A la derivata è positiva mentre a destra è negativa. In B
avviene il contrario.  Il punto A si chiama punto di massimo relativo ed il punto B si chiama punto di minimo relativo.

Come si vede dall’esempio la derivata è uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione, cioè per individuarne il comportamento. Dove cresce, dove decresce e dove vi sono massimi e minimi relativi.

Se la derivata è positiva, la funzione è ivi crescente, se la derivata è negativa, la funzione è decrescente. Se la derivata è nulla, lì ci può essere un massimo od un minimo relativo.

Il calcolo della derivata di una funzione data è fattibile in linea di principio sempre. Indichiamo qui alcune formule utilizzabili a questo scopo :

 funzione

 derivata

 y = k      (dove k è un numero qualunque)

 y ‘ = 0

 y = k x

 y ‘ = k

 y = k x²

 y ‘ = 2 k x

 y = k x³

 y ‘ = 3 k x²

 …

 …

Nel caso della funzione y = x³ – 3x² +2x il calcolo della derivata prima è il seguente :

y ‘ = 3x² – 6x + 2

mentre per la derivata seconda :

y ” = 6x – 6

Si noti che la derivata di una somma di termini si fa sommando le derivate di ciascun termine. Si noti anche che la derivata prima di y = f(x) si può indicare semplicemente col simbolo y ‘ mentre la derivata seconda
col simbolo y ”.

04 – Equazioni differenziali

In fisica si studiano le grandezze che si misurano osservando i fenomeni naturali per ricavare delle leggi matematiche che ne esprimono la interdipendenza. Questo, in sintesi, è lo scopo ed il metodo della fisica.

Supponiamo che una certa grandezza y sia rappresentabile da una funzione ad una variabile y = f(x), cioè che la grandezza y vari in funzione della grandezza x. Supponiamo anche che questa grandezza sia tale che
la sua derivata sia uguale in ogni punto alla somma fra la x e la y. In sintesi si supponga che :

y ‘ = x + y.

Questa è una equazione differenziale. Una equazione in cui l’incognita non è un numero ma una funzione.

Le equazioni differenziali sono il cuore della fisica. Tutte le leggi fisiche note sono espresse in termini di equazioni differenziali. Risolvendo queste equazioni si ricavano le grandezze fisiche nel loro variare in funzione di altre grandezze fisiche.

La soluzione delle equazioni differenziali non è sempre possibile in termini analitici, cioè esattamente. In molti casi si deve allora ricorrere a metodi di approssimazione numerica realizzabili al computer.

Nell’esempio sopra proposto, supponendo che la curva passi per 0, si ottiene:

equazioni

Si noti che nell’origine 0 il valore di x + y è ovviamente 0 e quindi anche y ‘ deve essere 0. La curva cercata è allora tangente all’asse delle x in 0.

Senza entrare nei particolari, accenniamo semplicemente che abbiamo trovato la soluzione dell’equazione differenziale usando un metodo di approssimazione numerica molto semplice basato sul fatto che la retta
tangente in un punto ad una curva  nelle vicinanze di quel punto si “confonde” con essa :

equazioni

La derivata della funzione in P è Q’H / HP. Se il punto Q è molto vicino al punto P, la derivata si può approssimare con QH / HP perché i punti Q’ e Q tendono a sovrapporsi. Con questo artifizio si può porre QH = (Q’H / HP) * HP e quindi, partendo dal punto P, si ottiene, anche se approssimato, il punto Q ed i modo analogo tutti i punti successivi. Si ottiene così la curva cercata.

Questo metodo è alla base di molte tecniche di approssimazione delle equazioni differenziali realizzabili
al computer.


DERIVAZIONE

Data una generica funzione f(x) e presi due punti x e x+h come in Fig.1

equazioni

Fig.1

possiamo definire la derivata prima f’(x) come

equazioni

Eq.3.1

se tale limite esiste ed è finito. Per estendere tale definizione ad un intervallo discreto I costituito dai punti xi+1 =xi+h considero

equazioni

Fig.2

equazioni

Eq.3.2

Per avere un miglior valore approssimato della derivata nel punto xi dovremo prendere h sufficientemente piccolo. Quindi preso assegno ad h il valore .

equazioni

equazioni

Dall’Eq.3.2 si può definire la derivata seconda nel punto xi:

equazioni

Eq.3.3

La procedura appena introdotta può essere applicata per la derivata terza e per quelle di ordine superiore (sviluppo delle potenze di un binomio). Genericamente, si può dire che per la derivata di ordine n, serve prendere in considerazione n+1 punti:

equazioni

DERIVATE MISTE

Per quanto riguarda le funzioni del tipo f(x,y), andiamo a valutare le derivate parziali:

equazioni

Per mostrare come possiamo ricavarle, prendiamo come esempio la derivata mista

equazioni

che può anche essere scritta nel seguente modo:

equazioni

da cui otteniamo

equazioni

Si nota, infine, che per sviluppare la derivata mista abbiamo bisogno dei quattro punti di Fig.3

equazioni

Fig.3


EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

PROBLEMA DI CAUCHY

Data un’equazione differenziale del tipo

equazioni

essa risulta avere una famiglia di soluzioni. Il problema dei valori iniziali o Problema di Cauchy cerca un’unica soluzione dell’equazione differenziale, che verifichi la condizione iniziale ed è formalizzato con la scrittura

equazioni

 

La curva integrale, che passa per il puntoequazioni, può essere ricavata mediante il METODO DELLA TANGENTE. Utilizzando come dati il puntoequazioni e la funzioneequazioni, possiamo scrivere l’equazione della retta tangente che approssima la curva in tale punto:

equazioni

equazioni

Fig.1

dove

equazioni

equazioni

Facendo un passo h, sull’asse x, andiamo ad intercettare la tangente ed otteniamo un nuovo puntoequazioni (vedi Fig.1). Impostando il nuovo problema di Cauchy nel puntoequazioni , si ricava l’equazione della nuova retta tangenteequazioni .

Abbiamo così impostato un metodo ricorsivo, con cui ricavare approssimativamente l’equazione integrale, soluzione dell’originario problema di Cauchy.

Infatti otteniamo:

equazioni

dove

equazioni

equazioni

Dato che l’ordine di grandezza dell’errore è lo stesso del passo h, allora per h® 0 otteniamo una migliore approssimazione della curva integrale cercata.


EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A C. COSTANTI

Vogliamo andare a studiare l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

equazioni

Eq.1

Per arrivare ad ottenere la soluzione del problema di Cauchy sopra indicato, dobbiamo seguire i seguenti procedimenti:

  • RICERCA DEGLI INTEGRALI DELL’OMOGENEA ASSOCIATA;
  • RICERCA DELL’INTEGRALE PARTICOLARE;

La somma degli integrali trovati è l’integrale generale, soluzione del problema di Cauchy.

Cominciamo a studiare l’omogenea associata

equazioni

Eq.2

Cerchiamo le soluzioni dell’Eq.2 del tipo

equazioni

con a da determinare. Affinché tale funzione sia soluzione dell’Eq.2, dovrà risultare

equazioni

Eq.3

Tale equazione viene chiamata EQUAZIONE ALGEBRICA CARATTERISTICA associata all’Eq.2. Calcolando ora il discriminante

equazioni

distinguiamo tre casi:

equazioni

Successivamente calcoliamo i coefficienti equazioniimponendo le condizioni iniziali. Per esempio, se otteniamo D >0, andiamo a risolvere il seguente sistema:

equazioni

Introducendo le seguenti matrici

equazioni

la soluzione dell’omogenea associata risulta:

equazioni

Andando invece ad analizzare tutti i casi otteniamo

equazioni

Cerchiamo ora l’integrale particolare xC(t). Un procedimento per ricavarlo è il seguente metodo di Cauchy:

equazioni

dove K(t ,t) è chiamato Nucleo di Cauchy. Tale funzione è definita dalla seguente relazione:

equazioni

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Consideriamo il seguente sistema di equazioni differenziali del primo ordine:

equazioni

Eq.1

dove u e v sono funzioni della variabile x, con u(0)=4 e v(0)=3.

L’Eq.1 può essere considerata come un’equazione differenziale del secondo ordine del tipo:

equazioni

Se poniamo

equazioni

Eq.2

otteniamo il seguente problema di Cauchy:

equazioni

Eq.3

Risolvendo l’Eq.3 (vedi Equazioni differenziali a coefficienti costanti) otteniamo la seguente soluzione particolare:

equazioni

Tenendo conto dell’Eq.2, troviamo le soluzioni del sistema Eq.1:

equazioni

Eq.4

L’Eq.1 può anche essere scritta in forma matriciale:

equazioni

Eq.5

Utilizzando l’approssimazione del metodo della tangente, possiamo scrivere:

equazioni

Eq.6

Generalizzando, consideriamo il sistema:

equazioni

Poiché le funzioni f e g non sono lineari, possiamo sviluppare quest’ultimo sistema in serie di Taylor, troncando al secondo termine, in modo da ottenere la sua linearizzazione:

equazioni



Categorie:L11- Analisi - Calculus

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