Introduzione alla Logica matematica

Introduzione alla Logica matematica

La logica è la disciplina filosofica che studia le forme del ragionamento corretto. Da Aristotele al secolo scorso la logica è stata impiegata in campo filosofico nelle argomentazioni di tipo essenzialmente metafisico. A partire dalla seconda metà del XIX secolo la logica è andata progressivamente liberandosi dei legami con psicologia e metafisica per avvicinarsi sempre più alla matematica.

La logica matematica nasce con Boole e con la sua idea di quantificare i predicati, cioè di applicare alla vecchia logica formale di derivazione aristotelica le regole e i procedimenti dell’algebra. Essa riprendeva su basi nuove le intuizioni svolte da Leibniz in questa direzione molto tempo prima (due persone che discutono riguardo una questione potranno dire: calculemus!). Frege sviluppò genialmente questo progetto e Giuseppe Peano gli conferì quel rigore e quella chiarezza simbolica che ispirò i logici formali di questo secolo: ogni ragionamento poteva venir ridotto ad un puro calcolo formale.

La logica simbolica si occupa della formalizzazione del linguaggio naturale (affetto da ambiguità e ridondanze) e della costruzione di calcoli capaci di garantire ragionamenti rigorosi e non intuitivi. Possiamo dire che la logica è la scienza che ha per oggetto le strutture deduttive dei linguaggi esatti.

La logica formale fornisce, fra l’altro, uno strumento per formalizzare il linguaggio naturale. Dato un frammento di linguaggio naturale, lo si analizza individuando le componenti che hanno rilevanza logica.

Il linguaggio della logica è detto linguaggio oggetto; il linguaggio con cui parliamo del linguaggio oggetto è detto metalinguaggio.

La logica viene utilizzata per l’analisi e la costruzione di teorie; esistono diverse logiche appropriate alle diverse teorie cui si riferiscono. Ogni teoria è un linguaggio che parla di un universo oggettuale, cioè un ambito di realtà in cui i fatti accadono, possono accadere, devono accadere. È possibile, dunque, ripartire le teorie fra quelle che hanno come universo oggettuale la modalità dell’attualità, quella della possibilità e quella del dover essere. A queste teorie corrispondono rispettivamente le:

Logiche dichiarative

La logica proposizionale e la logica dei predicati del primo ordine e degli ordini superiori sono logiche dichiarative e concernono la modalità dell’attualità, cioè si occupano delle cose come stanno.

  • Logica proposizionale

La logica proposizionale ci permette di rappresentare semplicemente il valore di verità di intere proposizioni, e di trarre conclusioni circa il valore di verità di proposizioni complesse quando sia dato il valore di verità di altre proposizioni, semplici o complesse.

  • Logica predicativa del primo ordine

Nella logica matematica il linguaggio del primo ordine è un linguaggio formale che serve per gestire meccanicamente enunciati e ragionamenti che coinvolgono i connettivi logici, le relazioni e i quantificatori “per ogni …” (∀) ed “esiste…” (∃). L’espressione “del primo ordine” indica che c’è un insieme di riferimento e i quantificatori possano riguardare solo gli elementi di tale insieme e non i sottoinsiemi; ad esempio si può dire “per tutti gli x elementi dell’insieme vale P(x)” ma non si può dire “per tutti i sottoinsiemi A vale P(A)” (le teorie in cui ci sono quantificatori che spaziano sui sottoinsiemi dell’insieme di riferimento sono dette invece del secondo ordine).

La logica proposizionale non possiede simboli per rappresentare oggetti, proprietà, relazioni o classi, ma solo simboli per rappresentare interi fatti. Essa perciò non è in grado di rappresentare la realtà in modo sufficientemente analitico e completo, e le sfuggono quelle relazioni tra fatti che dipendono dalla loro struttura interna; in tal modo essa non consente di compiere inferenze che pure le relazioni logiche tra fatti renderebbero possibili. Ad esempio, dal fatto che (1) tutti gli animali sono mortali, e (2) tutti gli uomini sono animali, segue il fatto che (3) tutti gli uomini sono mortali. Ma questi fatti sarebbero rappresentati dalla logica proposizionale con le formule p, q ed r, e da p e q non è possibile alcuna inferenza a r.

Queste limitazioni sono superate dalla logica predicativa, più ricca nella sintassi e corrispondentemente nella semantica.

  • Logica predicativa degli ordini superiori

La logica predicativa del primo ordine permette di quantificare solo su oggetti, e non su proprietà, classi o relazioni; essa consente dunque di parlare di oggetti, dicendo che oggetti di un certo tipo esistono, e che alcuni di essi, o tutti, hanno determinate proprietà o relazioni o appartengono a determinate classi; ma non permette di parlare allo stesso modo delle proprietà, relazioni o classi, dicendo per esempio se esistono o meno, e se godono o meno di certe proprietà o sono classificabili in un certo modo. Ad esempio, non ci mette in grado di affermare che alcune proprietà (ad es. il verde, o il coraggio, ecc.) hanno altre proprietà (ad es. di essere riposante, o ammirevole, ecc.); o di affermare che una classe (ad es. il corpo degli alpini) è membro di un’altra classe (quella dei corpi speciali delle Forze Armate). Questa limitazione cade nella logica predicativa degli ordini superiori, in cui i quantificatori si applicano anche a variabili che indicano proprietà di proprietà o classi di classi (logica predicativa del secondo ordine), proprietà di proprietà di proprietà, o classi di classi di classi (logica predicativa del terzo ordine), ecc. Ciò è particolarmente importante in quanto solo una logica in grado di parlare delle proprietà delle proprietà o delle classi di classi ci consente di definire i concetti fondamentali della matematica, come fecero A.N. Whitehead e Bertrand Russell nei Principia Mathematica (1910. Essi definirono i numeri naturali, in particolare, come insiemi di insiemi).

Logiche modali

Si indica come logica modale una qualsiasi logica in cui è possibile esprimere il “modo” in cui una proposizione è vera o falsa. Generalmente la logica modale si occupa dei concetti di possibilità e necessità, ma può essere utilizzata anche per esprimere l’obbligo morale o la credenza. Esempi di proposizioni modali sono quindi “È possibile che piova” o “È necessario che Socrate sia mortale o non mortale”, ma anche “È doveroso andare a votare” o “Socrate crede che piova”.

Gli operatori modali basilari sono \Box per esprimere la necessità e \Diamond la possibilità. Nella logica modale classica, ciascuno dei due operatori può essere espresso nei termini dell’altro e dell’operatore di negazione.

\Diamond p \leftrightarrow \lnot \Box \lnot p;
\Box p \leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p.

Quindi si dirà che “È possibile che Socrate sia stato ucciso” se e solo se “Non è necessario che Socrate non sia stato ucciso”.

Lo studio delle logiche modali trova applicazione in filosofia, nell’investigazione dei fondamenti della matematica, in informatica e nelle scienze cognitive.

Logiche deontiche

La nascita della logica deontica nella sua forma attuale si fa risalire a un articolo di G.H. von Wright del 1951, in cui per la prima volta si analizzava l’affinità strutturale tra le nozioni deontiche (obbligatorio, permesso, vietato, facoltativo) e le nozioni modali corrispondenti (necessario, possibile, impossibile, contingente). La logica deontica si presenta quindi come un ramo della logica modale  con caratteristiche proprie, evidenziate anche dall’uso di una simbologia particolare (O per ”obbligatorio” in luogo di η, P per ”permesso” in luogo di ◇). Il modo più semplice di caratterizzare questa logica sta nel dire che si tratta di una logica modale in cui l’assioma modale Op (p è rimpiazzato dal più debole Op ⊃ Pp (tutto ciò che è obbligatorio è permesso), e in alcuni casi surrogato da O(Opp). I mondi possibili possono essere visti come mondi deonticamente perfetti (mondi cioè in cui gli agenti si comportano in conformità a un codice morale vigente). L’esclusione di Opp dipende dal fatto che il mondo attuale non è un mondo deonticamente perfetto: Opp equivale infatti a p ⊃ Pp, cioè all’affermazione che tutto ciò che accade è permesso dal codice morale vigente.

Oltre a queste esistono molte altre logiche come quelle epistemiche riguardanti le varie modalità del conoscere, o le logiche temporali e molte altre.



Categorie:L04- Logica - Logic

Tag:

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

SCIENZA E CULTURA - SCIENCE AND CULTURE

Lo stato dell'arte tra storia e ricerche contemporanee - State of the art: history and contemporary research

ORIENTALIA

Studi orientali - Études Orientales - Oriental Studies

NUOVA STORIA CULTURALE / NETWORK PHILOSOPHY

NUOVA STORIA CULTURALE / NEW CULTURAL HISTORY

TEATRO E RICERCA - THEATRE AND RESEARCH

Sito della Compagnia Lost Orpheus Teatro

LOST ORPHEUS ENSEMBLE

Modern Music Live BaND

Il Nautilus

Viaggio nella blogosfera della V As del Galilei di Potenza

Sonus- Materiali per la musica moderna e contemporanea

Aggiornamenti della Rivista "Sonus"- Updating Sonus Journal

The WordPress.com Blog

The latest news on WordPress.com and the WordPress community.

Antonio De Lisa - Scritture / Writings

Teatro Musica Poesia / Theater Music Poetry

In Poesia - Filosofia delle poetiche e dei linguaggi

Blog Journal and Archive diretto da Antonio De Lisa

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: