Cella, Leccese, Tramutola, Albano- Simmetrie #2 – Una breve storia

Laboratorio di Matematica e Filosofia

Liceo Galilei (Pz) IVi (2013-14)

Simmetrie #2 – Una breve storia

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La parola simmetria è di origine greca, è composta da ‘sin’ e ‘metron’ con il significato di stessa misura. La parola simmetria esprimeva originariamente un concetto legato a quello della commensurabilità, della proporzione, dell’armonia. Per i greci ‘simmetria’ significava un armonico rapporto di proporzioni ed il termine era usato principalmente in architettura.  La proporzionalità, quindi, è strettamente collegata con il concetto di bellezza e di perfezione tipiche del mondo greco. Simmetrici erano dunque quegli elementi multipli di una misura comune. Quando i pitagorici affermavano che il numero sta all’origine di ogni cosa, esprimevano la loro fiducia nell’armonia dell’universo assicurata dalla commensurabilità numerica di ogni rapporto. La scoperta di grandezze incommensurabili, come la diagonale e il lato di un quadrato, mise drammaticamente in crisi la loro visione del mondo. Nel mondo greco quel rapporto è appunto qualcosa di inconcepibile. Quei segmenti che non hanno proporzione, sono linee non simmetriche. Un esempio di simmetria nell’arte greca è il Partenone, il più famoso reperto dell’antica Grecia.

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LA SIMMETRIA EQUIVALE ALLA BELLEZZA CHE EQUIVALE A SUA VOLTA A PROPORZIONE.

Non solo i greci sfruttarono l’idea di simmetria nelle loro opere, ma anche gli egiziani ne fecero uso quando costruirono le piramidi, un esempio di simmetria spinta.

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Oltre a questi esempi di arte antica, ce ne sono molti altri risalente ad epoche più recenti a cui non prestiamo mai la giusta attenzione. Ad esempio, il famosissimo Duomo di Milano ha una facciata molto simmetrica.  Anche il campanile di Giotto a Firenze è un esempio di simmetria.

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La simmetria però non ha soltanto un valore assoluto, a volte è rotta e risulta addirittura più interessante. Questo è il caso della torre di Pisa, che non sarebbe stata altrimenti famosa in tutto il mondo per la sua inclinazione.

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La simmetria in un certo qual senso ci affascina, in quanto parte integrante del nostro corpo. Il nostro volto è un esempio di simmetria bilaterale. Una definizione circa questa simmetrica è quella data da Hermann Weyl: “Un’entità possiede una simmetria, se c’è qualcosa che possiamo fargli in modo che, dopo, che l’abbiamo fatta, l’entità continua ad apparire esattamente come prima”. Tra le personalità più influenti della prima parte del XX secolo, la sua ricerca ha avuto grande rilevanza per molti settori chiave della matematica, a partire dalla teoria dei numeri, e per la fisica teorica. Ha lasciato tracce di grande rilievo anche nella filosofia della scienza.

Dopo il nostro sublime esempio fotografico (cit. Cella & Albano, foto sotto il titolo), troviamo un altro esempio nell’uomo vitruviano. L’idea è affidata a un’immagine di Vitruvio, resa celebre da un disegno di Leonardo. Un uomo con le gambe e le braccia divaricate, il cui corpo risulta iscritto al tempo stesso in un cerchio e in un quadrato entrambi con centro nell’ombelico, «il centro naturale del corpo umano» dice Vitruvio. L’idea è quella classica di simmetria come armonia delle proporzioni. La simmetria, spiega Vitruvio nel De Architectura, «è l’accordo armonico tra le parti di una medesima opera e la rispondenza di proporzioni tra le singole parti e l’intera figura». E il corpo umano ne fornisce un esempio naturale, che serve da modello delle opere architettoniche. «Senza rispettare simmetria e proporzione nessun tempio può avere un equilibrio compositivo, com’è per la perfetta armonia delle membra di un uomo ben formato».

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IL NOSTRO CERVELLO E LA SIMMETRIA

Il nostro cervello è specializzato nel riconoscere la simmetria bilaterale, dato appunto che in Natura essa è estremamente frequente. Ma non sempre è facilmente riconoscibile perché bisogna tenere in considerazione la posizione dell’asse di simmetria. Dopo tutto viviamo in un mondo dove è presente la gravità; perciò la direzione privilegiata dal nostro cervello è quella verticale.

La simmetria però va pensata come una trasformazione e come tale può essere applicata anche a oggetti diversi, che possono sembrare a noi invarianti. Da questa semplice idea legata all’invarianza di qualcosa sotto una trasformazione, nasce uno strumento matematico potentissimo per descrivere le simmetrie stesse: il concetto di gruppo. Considerando le rotazioni del piano che lasciano invariato un quadrato: esse sono le rotazioni di 0°, 90°, 180°, 270°. Questo insieme di quattro trasformazioni gode delle seguenti proprietà:

La trasformazione identica appartiene all’insieme (0°);

La composizione successiva di due qualsiasi trasformazioni dell’insieme è ancora un elemento dell’insieme (es. 90° + 180°= 270°, 180° + 270°= 90°);

– Per ogni trasformazione dell’insieme, ne esiste una che è in grado di “annullarla” (es. 90°= 270°, 180° =  180°)

E questi tre semplicissimi assiomi definiscono un gruppo, ed accade che ogni simmetria individua un gruppo e viceversa. Una simmetria è “più grande” di un’altra quando il gruppo che essa definisce, contiene il gruppo definito dalla simmetria più piccola. Esistono gruppi continui e gruppi discreti. Gli elementi dei gruppi continui sono infiniti e sono descritti attraverso parametri reali, mentre i gruppi discreti hanno un numero finito di elementi.

La simmetria ha condotto al concetto matematico di gruppo che ci permette di trattare il problema della simmetria in modo non semplicemente descrittivo. Si è arrivati all’idea di gruppo di simmetria attraverso il problema della risoluzione delle equazioni algebriche di grado superiore al quarto.

L’idea di un’incognita di un’equazione di primo grado ax+b=c era noto forse già in epoca babilonese e si sapeva già come risolverla in epoca egiziana, cioè x= (c-b)\a.

Anche l’equazione di secondo grado ax2+bx+c=0 si sapeva risolvere già da moltissimo tempo, a partire da Diofanto (250 d.c.) in poi, anche se allora venivano cercate soluzioni solo positive (ovviamente i problemi erano pratici e i numeri relativi non erano noti), per cui, talvolta, la soluzione non esisteva.

Invece, da Gauss in poi, sappiamo che ogni equazione di grado N ammette sempre N soluzioni se le cerchiamo fra i numeri complessi. La formula risolutiva delle equazioni di secondo grado è:

Inoltre, anche le equazioni di terzo grado erano risolvibili. Ben prima di Gauss si conosceva la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado: ax3+bx2+cx+d=0. Fu Scipione Dal Ferro dell’Università di Bologna, a scoprire nel 1515 come risolverla ma non ne pubblicò mai i risultati che furono riscoperti venti anni dopo da Niccolò Tartaglia. Nemmeno costui volle pubblicare la sua scoperta affinché solo egli fosse l’unico depositario. Soltanto Gerolamo Cardano in seguito riuscì a pubblicarla. Questo portò ad una lite furibonda fra i due poiché Tartaglia aveva fatto giurare a Cardano di non rivelare il metodo. Corrisponde a x1,2,3= -a\3 +u (-p\3u). Dove u e p sono da determinare.

L’equazione di quarto grado fu risolta da un allievo di Cardona, Ludovico Ferraris, nel 1545, attraverso il metodo della risolvente ovvero riconducendosi a risolvere un’equazione di terzo grado, attraverso le cui soluzioni esprimere poi quelle di quarto grado risolvendo un’ulteriore equazione di secondo grado. Egli, inoltre, provò a risolvere quella di quinto grado ma senza successo. Nonostante poi Gauss avesse dimostrato che doveva avere cinque soluzioni, il metodo per determinarle a partire dai coefficienti non si trovava.

Évariste Galois è un personaggio unico nel panorama matematico e a causa dei suoi tormenti interiori morì in duello a soli vent’anni. Mediocre studente e indifferente agli obblighi scolastici all’età di quindici anni legge i lavori dei maggiori matematici del tempo ma litiga con la commissione esaminatrice dell’École Polytechnique in modo che la sua ammissione viene respinta definitivamente e deve ripiegare sulla meno famosa École Normale (dalla quale verrà comunque presto espulso). Era certamente, e giustamente, convinto dell’importanza dei risultati che aveva maturato sulle equazioni algebriche. Con ogni probabilità la sua visione era quella di una società nella quale il genio viene sistematicamente scoraggiato a vantaggio della mediocrità, della routine e dell’abitudine. Egli affrontò, infatti, il problema delle equazioni di quinto grado da un nuovo punto di vista: attraverso le proprietà dei polinomi a coefficienti razionali riuscì a dimostrare che essendoci due polinomi razionali che si annullavano nelle soluzioni delle equazioni, questi erano simmetrici. Il concetto di gruppo, introdotto dallo stesso  Galois, consente per così dire di misurare il grado di simmetria delle soluzioni di un’equazione algebrica. Le equazioni risolubili per radicali sono esattamente quelle il cui gruppo si può scomporre in fattori, in maniera analoga alla scomposizione di un numero in fattori primi. Nel linguaggio della teoria dei gruppi si esprimono anche le proprietà di simmetria delle figure (la simmetria indica l’invarianza di una figura rispetto a un gruppo di trasformazioni).  Analizzando attentamente il complesso teorema di Galois si arriva alla conclusione che non esiste la formula risolutiva delle equazioni di grado superiore al quarto.

Antonio Albano, Francesco Cella, Claudia Leccese, Annalisa Tramutola

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