Laboratorio di Matematica e Filosofia

Liceo Galilei (Pz) IVi (2013-14)

Simmetrie #1

La natura ci parla attraverso la matematica. Questo è ciò che ha detto Galilei, che hanno confermato Newton e Keplero e che oggi non lascia più dubbi. C’è un’armonia fatta di leggi, di formule e funzioni che dà a tutto ciò che ci circonda un equilibrio e una perfezione incredibili. Tutto combacia perfettamente, quando è visto sotto la lente di un matematico. Uno degli aspetti più evidenti della presenza di questa disciplina nella natura è la simmetria. Ne siamo completamente circondati: basta guardarsi allo specchio per vedere nel nostro stesso corpo un esempio perfetto di simmetria, basta guardare il riflesso di un paesaggio nell’acqua.  Come disse il poeta William Blake:

“Tigre! Tigre!Divampante fulgore

nelle foreste della notte,

quale fu l’immortale mano o l’occhio

 ch’ ebbe la forza di formare la tua agghiacciante simmetria?”

L’uomo non è mai stato immune dal fascino della simmetria. La maggior parte dei simboli utilizzati nelle varie epoche nel corso del tempo sono simmetrici, ad esempio i “semi della vita” egiziani (1), la croce uncinata (2), diventata il triste simbolo della svastica, la “stella di David” ebraica (3) e il “lakshmi” indiano (4). Un esempio particolare è lo “yin e lo yang” (5): ha una parvenza di simmetria, ma in realtà non lo è assolutamente, anche se il senso di rotazione e il cambio di colore ce ne  trasmettono la sensazione. Si tratta di una funzione che in matematica è detta antisimmetria e caratterizza le funzioni “dispari”, mentre la simmetria classica è quella tipica delle funzioni “pari”.

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La simmetria è anche una caratteristica dei mosaici, formati da figure che rendono la decorazione simmetrica ovunque, o almeno in alcune delle sue parti. Due matematici, Fedorov e Polya, hanno dedicato il loro lavoro proprio allo studio dei vari tipi di mosaici in grado di rivestire un piano illimitato, individuandone 17 tipi diversi di combinazioni delle figure geometriche.

L’esempio più classico di simmetria ci è dato dall’immagine riflessa nello specchio, che ci fornisce il più semplice esempio di chiralità. L’immagine che vediamo nello specchio non coincide perfettamente con l’oggetto di partenza, perché è diverso il loro orientamento. Si diranno quindi “levogiri” le immagini orientate verso sinistra e “destrogiri” quelle orientate a destra. Le proteine, ad esempio, sono molecole chirali e le uniche presenti nel nostro corpo sono tutte levogire. Per ovviare alla “torsione” dell’immagine, basta utilizzare due superfici riflettenti, che ci restituiscono l’immagine come appare anche nella realtà. Si tratta della cosiddetta “simmetria speculare” che è anche alla base del caleidoscopio, uno strumento in cui gli specchi sono disposti ad angoli particolari che fanno “rimbalzare” l’immagine per formare figure straordinariamente complicate.

Ma ritorniamo alla simmetria in matematica. Il numero di simmetrie delle figure geometriche dipende principalmente dalle dimensioni dell’oggetto. Per le figure bidimensionali il loro numero è relativamente limitato: se si pensa alle simmetrie possibili in un triangolo equilatero, se ne possono individuare 6, tre rotazioni di 120° e tre simmetrie lungo gli assi. Le simmetrie vengono raggruppate in tabelle che mostrano tutte le possibili combinazioni di rotazioni e simmetrie che ci restituiscono ancora un triangolo simmetrico. In questo caso il gruppo conterrà naturalmente 36 possibili combinazioni, raccolte in un insieme chiamato D₃. Naturalmente maggiori saranno le rotazioni e le simmetrie possibili e maggiore sarà il numero delle loro combinazioni. Ad esempio le simmetrie del quadrato, che comprendono 4 rotazioni di 90°, 2 rotazioni lungo gli assi e 2 lungo le diagonali, vengono raggruppate in D₄ con 64 elementi, mentre il cubo, che gode complessivamente di 48 movimenti simmetrici, arriva a ben 2304 combinazioni e così via fino ad arrivare alla sfera, con infinite simmetrie. Ma non solo i gruppi possono contenere combinazioni di simmetrie, essi stessi possono essere simmetrici rispetto alla diagonale. Si tratta dei cosiddetti gruppi commutativi o gruppi “abeliani”, che rappresentano i gruppi meno complessi tra i “gruppi semplici”, gruppi che a discapito del loro nome possono essere anche talmente complessi da contenere miliardi di elementi.

La simmetria, però, è un concetto importante non solo nella matematica pura, anzi è alla base di uno dei più importanti teoremi della storia della fisica. Si tratta del “teorema dell’invarianza”, scoperto da Amalie Emmy Noether, una sfortunata matematica che per il semplice fatto di essere donna non riuscì mai ad ottenere il successo e la riconoscenza che le erano dovuti. Secondo questo teorema per ogni formula fisica simmetrica, esiste un’entità fisica che si conserva invariata, ad esempio l’energia, la quantità di moto, il momento angolare ecc…

L’ultimo tipo di simmetria è riscontrabile proprio nella natura: il DNA è un esempio di simmetria elicoidale, cioè una simmetria che si sviluppa grazie a una rotazione tridimensionale. Come per le immagini speculari, le spirali sono oggetti chirali.

Ma non è solo in campo squisitamente scientifico che la simmetria trova la sua applicazione: anche  in campo artistico se ne riscontrano innumerevoli esempi. In architettura la simmetria è particolarmente evidente nella costruzione di grandi edifici, come chiese e palazzi reali. Anche in pittura la simmetria è un elemento fondamentale che permette di dare equilibrio compositivo ai quadri, anche se non si tratta di simmetria vera e propria, ma di semplice ponderazione delle figure nello spazio. Fu Maurits Cornelius Escher che, invece, sfruttò la simmetria nel massimo delle sue potenzialità, in quadri come “Mani che si disegnano” o la serie di incisioni “Circle Limit”. Ma la simmetria non è per forza un elemento di impatto visivo: anche la musica può essere “simmetrica”. Se ne possono riscontrare esempi nei canoni “retrogradi”, in cui una voce procede dall’inizio alla fine, mentre la seconda voce parte dall’ultima nota per risalire alla prima, come nel canone “Lo specchio” di Mozart, e anche molti brani di Bach tratti dall’”Arte della fuga” presentano evidenti esempi di simmetria.

Escher- Drawing Hands

Escher. Circle Limit

Escher- Hand with reflexing sphere

Noemi Franco, Antonio Malatesta, Daniela Moles, Laura Cammarota

Liceo Galilei (Pz) IVi (2013-14)

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Categorie:A00.13- Mathesis universale

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