Il concetto di retta tangente

 La tangente è la retta che “tocca” il cerchio senza attraversarlo.

“Tangente” è un termine usato anche nel linguaggio comune:  si usa dire che una persona, nella foga di una discussione, “parte per la tangente” quando incomincia a divagare, a perdere il filo e il controllo delle argomentazioni, proseguendo lungo la direzione che il discorso ha preso al momento.  Questo modo di dire deriva dal fatto che se faccio ruotare un oggetto attaccato a un filo e ad un certo punto questo si spezza, perdo il controllo dell’oggetto ed esso prosegue lungo la tangente. Questa proprietà era usata dai frombolieri: essi lasciavano partire il proiettile dalla fionda quando questo, liberato, avrebbe proseguito lungo la direzione voluta, ossia quando la retta tangente alla traiettoria del proiettile coincideva con la direzione voluta. Analogamente un treno che deragli in un tratto in cui i binari hanno andamento circolare tende a proseguire in modo rettilineo lungo la tangente all’arco di cerchio.

È anche facile tracciare la tangente in un punto P ad un cerchio, se ne conosciamo il centro: basta tracciare il raggio che passa per P e la retta per P perpendicolare a tale raggio.

Come si può descrivere e come si può tracciare la tangente in un punto ad un altro tipo di curva?

Nel caso del cerchio possiamo descrivere la tangente in un punto come la retta che ha solo quel punto in comune con esso. Questa descrizione va bene anche per l’ellisse: vedi figura (1) sottostante. Ma se prendessimo come curva solo solo il pezzo dell’ellisse selezionato con il rettangolo punteggiato, sarebbero infinite le rette che passano per il punto evidenziato e non hanno altri punti in comune con tale curva.

Proviamo a descrivere la tangente a una curva in un punto come la retta che ha solo quel punto in comune con la curva e lascia il resto della curva dalla stessa parte rispetto a sé stessa.

Questa descrizione va bene anche per il punto A della figura (2). Ma non va bene per il punto B: la retta tracciata per esso è intuitivamente tangente alla curva, ma non la lascia tutta dalla stessa parte; infatti la attraversa in un altro punto.

Possiamo rimediare alla cosa richiedendo non che tutta la curva stia dalla stessa parte, ma che questo avvenga solo in un intorno del punto, cioè per il pezzo di curva racchiuso in un cerchietto centrato nel punto.

Questa descrizione soddisfa anche il caso del punto B. Ma che dire della tangente in C?

Come tangente in C è naturale prendere la retta tracciata in figura, lungo cui tenderebbe a proseguire un veicolo che, seguendo una traiettoria come quella rappresentata in (2), perdesse improvvisamente il controllo della strada mentre passa per C.  Ma in questo caso la retta tangente taglierebbe la curva, non la lascerebbe tutta dalla stessa parte.

E nel caso della figura (3)? Per il punto A passano infinite rette che hanno un unico punto in comune con la curva e la lasciano tutta dalla stessa parte. E la tangente in B dovrebbe essere la retta passante per B che contiene la curva (è questa la traiettoria rettilinea lungo cui ci si muove passando per B), ma questa retta ha infiniti punti in comune con la curva.

Anche la curva (4) ci pone alcuni problemi: se la interpretiamo come una traiettoria, un veicolo raggiunge A con una certa direzione e ne riparte con una diversa. Quale delle due rette dovremmo considerare tangente?

Abbiamo, dunque, visto che non è facile definire in generale il concetto di retta tangente in modo che rispecchi il significato che intuitivamente gli attribuiamo.

Oltre al problema di come definire la retta tangente, dobbiamo anche porci il problema di come tracciarla. Ad es. nel caso dell’ellisse non circolare di  figura (1) è difficile tracciare una retta passante per A con l’inclinazione giusta: come riconoscere ad occhio in un disegno tra due rette diversamente inclinate che non attraversino clamorosamente la curva quale è effettivamente tangente?

Nel caso dell’ellisse, invero, si potrebbe trasformarla in un cerchio con una trasformazione di scala, tracciare la tangente nel punto A’ del cerchio che corrisponde ad A e applicare la trasformazione di scala inversa: la tangente al cerchio viene trasformata nella tangente all’ellisse. Ma nel caso della figura (2) non si può usare questo trucco.

Precisare il concetto e il modo di tracciare le tangenti ci serve anche per affrontare situazioni come quella illustrata a lato: qual è l’angolo formato da due traiettorie non rettilinee che si intersecano? È naturale prendere l’angolo formato dalle rette tangenti alle due traiettorie nel punto di intersezione.

Problemi analoghi dobbiamo porci se vogliamo capire come fa una applicazione grafica per computer a realizzare le tangenti a una curva? o, viceversa, a tracciare, data una certa retta e un certo punto, una curva che in quel punto abbia tale retta come tangente?

Consideriamo ad es. il tracciamento di tratti curvilinei usando in Paint o usando “bottoni”, menu o comandi simili in altri tipi di applicazioni:
(1) si individuano, cliccando, due punti P e Q; appare un segmento che li ha come vertici; (2) si clicca su un punto P₁; il segmento si incurva nella direzione di esso; (3) se poi clicco su un altro punto P₂ la curva si deforma ulteriormente, in modo tale da assumere un andamento che richiama la forma della spezzata PP₁P₂Q

(1)

(2)

(3)

Osservando le figure si intuisce che la curva si dispone prima in modo che i segmenti PP1 e QP1 siano tangenti alla curva in P e Q, poi in modo che lo siano i segmenti PP1 e QP2. Questa osservazione è confermata se si clicca sul punto P2 nel modo illustrato a lato: la curva viene tirata verso P1 e verso P2 in modo che PP1 sia tangente in P e QP2 lo sia in Q.

(3′)

Come fa questo programma a comportarsi in questo modo? Che cosa vuol dire per esso che una retta sia tangente a una curva?

Come definire la retta tangente a una curva in un punto

Precisiamo meglio il concetto di retta tangente. Considero il punto P0 della curva a fianco. La retta PP0 man mano che P si avvicina a P0 muovendosi lungo la curva tende a disporsi come la retta che intuitivamente consideremmo la tangente. Potrei dunque pensare di descrivere tale tangente con l’espressione lim P → P0 P0P ma dovrei chiarire meglio che cosa significa “P → P0“. Se descrivo la curva come P(t) e se P0 = P(t0) posso considerate che P → P0 per t → t0 ed esprimere la retta tangente alla curva in P0 come:

            lim _{t → t0} P₀P(t)
dove la retta P₀P(t) posso pensarla rappresentata dal numero che ne esprime la pendenza o quello che ne esprime l’inclinazione.
Nel caso della curva sopra raffigurata il punto P₂, in cui si presenta un nodo, può essere individuato con due diversi valori di t: se pensiamo la curva come una traiettoria, si tratta di un punto che viene percorso due volte, in due successivi istanti. Punti analoghi sono presenti nell’ultima delle cicloidi sopra raffigurate. A seconda del t che consideriamo abbiamo due diverse tangenti, ovvero a seconda di quale sia il momento in cui attraversiamo il punto diversa è la direzione in cui stiamo procedendo.
Nel caso di P₁ abbiamo un’unica tangente, ovvero, se P₁=P(t₁),
lim _{t → t1–} P₁P(t)  =  lim _{t → t1+} P₁P(t)
Nel caso del punto A della figura (4) considerata  in precedenza, limiti analoghi sarebbero invece stati diversi.

Un esempio. A lato è rappresentata una curva e vogliamo determinarne esattamente la tangente nel punto che corrisponde a t = –1. È il punto (-1(-1+1), (-1)3) = (0, -1). È il punto già evidenziato in figura. La pendenza di una retta che passa per (0,-1) e per P(t) è: 3 3 Δy t - (-1) t + 1 t+1 1 —— = —————————— = ————— = t-1 + ———— = t-1+— Δx t(t+1) - 0 2 2 t t + t t+t che per t → –1 tende ad assumere il valore –3. La tangente cercata è dunque la retta passante per (0,–1) con pendenza –3, ossia y = –3x–1.

A lato è raffigurata la curva precedente e le rette  (0,-1)P(t)  per t = 1, 0.75, 0.5, 0.25, 0, -0.25, -0.5, -0.75 e infine la retta tangente alla curva in (0,–1). Mettere a punto il modo in cui determinare la tangente a una curva ci consentirà di affrontare anche problemi di tipo fisico, simili a quelli da cui abbiamo tratto spunto  all’inizio di questa voce, ad es. quello di individuare la direzione in cui si muove, istante per istante, un’auto in movimento (che è la tangente alla  traiettoria) ovvero quello di trovare come è diretta la forza centripeta che occorre esercitare per curvare, a cui corrisponde, in direzione opposta, la forza centrifuga a cui “crede” di essere soggetto il passeggero (sono entrambe perpendicolari alla tangente).

Si vedrà come le idee con cui abbiamo affrontato il problema di come determinare la tangente a una curva in un punto possono essere generalizzate e formalizzate per mettere a punto il concetto di derivata, che ci permetterà di affrontare in modo più semplice lo studio delle curve.

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Fonte: http://macosa.dima.unige.it/om/voci/tangente/tangente.htm

Categorie:K09- Analisi - Calculus

Tag:Analisi matematica, Calculus, Retta tangente