Esempi di studio di una funzione

Esempi di studio di una funzione

Vediamo alcuni esempi in cui di ciascuna funzione data definiremo punto per punto sia la derivata prima che la derivata seconda.

Consideriamo la funzione y = x + 1. Essa è rappresentata nel piano cartesiano dalla retta obliqua in colore nero :

equazioni

La pendenza di una retta è ovviamente costante in ogni suo punto per cui la sua derivata è costante. In questo caso, formando la retta un angolo di 45°, la derivata è uguale ad 1 in ogni punto della retta. In rosso vediamo
raffigurata la funzione derivata prima che risulta così essere y = 1. La derivata della derivata prima è la derivata seconda. Essa è rappresentata in blu ed è 0 in ogni punto perché la derivata prima, essendo una retta orizzontale, ha pendenza nulla in ogni suo punto. La derivata seconda è quindi y = 0.

Consideriamo ora la funzione y = x². Essa è rappresentata da una parabola in ogni punto della quale la pendenza
è variabile :

equazioni

Nell’origine 0 la pendenza è nulla perché la tangente alla parabola è ivi orizzontale. A desta dell’origine, la pendenza è positiva e cresce via via che ci si allontana dall’origine verso destra. A sinistra, invece, la pendenza è negativa e cresce in valore assoluto più ci si allontana dall’origine verso sinistra. In rosso è rappresentata la derivata prima mentre in blu è rappresentata la derivata seconda.

Infine consideriamo la funzione y = x³ – 3x² +2x :

equazioni

Anche qui abbiamo rappresentato la funzione in nero, la derivata prima in rosso e la derivata seconda in blu.

E’ molto interessante notare che nei punti A e B del grafico le tangenti alla curva sono orizzontali. In questi punti quindi la derivata prima è nulla. A sinistra di A la derivata è positiva mentre a destra è negativa. In B
avviene il contrario.  Il punto A si chiama punto di massimo relativo ed il punto B si chiama punto di minimo relativo.

Come si vede dall’esempio la derivata è uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione, cioè per individuarne il comportamento. Dove cresce, dove decresce e dove vi sono massimi e minimi relativi.

Se la derivata è positiva, la funzione è ivi crescente, se la derivata è negativa, la funzione è decrescente. Se la derivata è nulla, lì ci può essere un massimo od un minimo relativo.

Il calcolo della derivata di una funzione data è fattibile in linea di principio sempre. Indichiamo qui alcune formule utilizzabili a questo scopo :

 funzione

 derivata

 y = k      (dove k è un numero qualunque)

 y ‘ = 0

 y = k x

 y ‘ = k

 y = k x²

 y ‘ = 2 k x

 y = k x³

 y ‘ = 3 k x²

 …

 …

Nel caso della funzione y = x³ – 3x² +2x il calcolo della derivata prima è il seguente :

y ‘ = 3x² – 6x + 2

mentre per la derivata seconda :

y ” = 6x – 6

Si noti che la derivata di una somma di termini si fa sommando le derivate di ciascun termine. Si noti anche che la derivata prima di y = f(x) si può indicare semplicemente col simbolo y ‘ mentre la derivata seconda
col simbolo y ”.

Esercizio:

Determinare l’insieme di definizione della funzione

Imes1430

È una funzione trascendente esponenziale:
D = (, )

Ricercare le eventuali simmetrie e periodicità

f(x) ¹ ±f(x)

la funzione non è né pari, né dispari
La funzione non è periodica poiché non contiene elementi di periodicità

Studiare il segno della funzione e determinare le intersezioni con gli assi

f(x) > 0            per x > 0

la funzione esponenziale è strettamente positiva


il grafico della funzione passa per il punto O(0, 0)

  grafico parziale

Calcolare i limiti nei punti di frontiera dell’insieme di definizione e determinare gli eventuali asintoti

è una forma di indecisione del tipo [ · 0]

per la scala degli infiniti il denominatore è infinito di ordine superiore rispetto al numeratore per x ® -¥


y = 0 è l’equazione di un asintoto orizzontale per x ®

essendo verificata la condizione necessaria, non sufficiente,
per l’esistenza dell’asintoto obliquo
a +¥ si procede nella ricerca:


la funzione non presenta asintoto obliquo

  grafico parziale

Studiare la continuità della funzione e individuare gli eventuali punti di discontinuità
La funzione è continua poiché composizione di funzioni continue

Calcolare la derivata prima

 – determinare l’insieme di definizione della derivata prima

Df ‘(x) = D
La funzione è derivabile in tutto il proprio insieme di definizione

 – studiare il segno della derivata prima

f ‘(x) > 0            1 + x > 0            x > 1

 la funzione esponenziale è strettamente positiva

– determinare gli intervalli nei quali la funzione è crescente o decrescente

la funzione è crescente per x > 1

la funzione è decrescente per x < 1

– ricercare gli eventuali massimi e minimi, relativi o assoluti

x = 1 è punto di minimo assoluto f(1) = e2

   grafico parziale

studiare il comportamento della funzione negli eventuali punti di non derivabilità

-determinare eventuali cuspidi, punti angolosi o flessi a tangente verticale

Non ce ne sono poiché la funzione è derivabile in tutto il proprio insieme di definizione

Calcolare la derivata seconda

 – studiare il segno della derivata seconda

f “(x) > 0            x + 2 > 0            x > 2

– determinare gli intervalli nei quali la funzione è convessa o concava

la funzione è concava per x < 2

la funzione è convessa per x > 2

– ricercare gli eventuali punti di flesso a tangente non verticale

x = 2 è punto di flesso ascendente a tangente obliqua
f(2) = e3

Tracciare il grafico

Determinare l’immagine della funzione f (x): Im f

Im f = [e2, )

Schema sintetico dello studio di una funzione

In forma più sintetica, i passi per lo studio di una funzione sono riassumibile nel seguente schema:

Individuare il dominio della funzione.

Terminologia:

  1. L’elemento prende il nome di immagine dell’elemento x tramite la funzione f.
  2. L’elemeno x si chiama controimmagine di y.
  3. L’insieme A prende il nome di dominio, o insieme di definizione, o insieme di esistenza della funzione, mentre l’insieme B prende il nome di insieme di arrivo della f.
  4. L’insieme delle immagini, indicato con prende il nome di codominio della funzione.

Osservazioni: Non tutti gli elementi di B devono necessariamente essere l’immagine di un elemento di A, ci possono essere elementi di B che non fanno parte di e per tale ragione il codominio della funzione è un sottoinsieme dell’insieme di arrivo, cioè .

Definizione: Una funzione si dice costante quando tutti gli elementi del dominio hanno la stessa immagine.

– Ricercare eventuali simmetrie:

Se f(-x)=f(x) si ha che la funzione è pari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate;

Definizione: Una funzione di dominio D si dice pari ,ovvero simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, se per ogni si ha:

se f(-x)=-f(x)  si ha che la funzione è dispari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine degli assi.

Definizione: Una funzione di dominio D si dice dispari, ovvero simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani, se per ogni si ha:

“Come stabilire se una funzione è pari o dispari?”

Basta sostituire nella funzione al posto della variabile x il valore -x e si possono verificare le tre seguenti situazioni:

  • la funzione ottenuta è identica a quella di partenza funzione pari;
  • la funzione ottenuta è opposta a quella di partenza funzione dispari;
  • la funzione ottenuta non è nè identica, nè opposta a quella di partenza funzione né pari né dispari.

Esempi:

  1. La funzione è pari in quanto .
  2. La funzione è dispari in quanto .
  3. La funzione non è né pari né dispari in quanto .

– Calcolare le coordinate dei punti di intersezione della curva con gli assi cartesani.

– Individuare il comportamento della funzione agli estremi del suo dominio e ricerca di eventuali asintoti orizzontali, verticali o obliqui.

– Studio del segno della funzione, per determinare in quali regioni del dominio la funzione è positiva o negativa.

– Calcolo della derivata prima della funzione per determinare:

i punti a valore stazionario (f'(x)=0),

gli intervalli del dominio in cui la funzione è crescente o decrescente (studiando il segno di f'(x)),

individuazione dei punti di massimo o di minimo.

– Calcolo della derivata seconda per  evidenziare:

concavità della curva (studiando il segno i f”(x))

punti di flesso.



Categorie:L11- Analisi - Calculus

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