Il concetto di curva

   Che cosa è una curva?

Innanzi tutto osserviamo che nel linguaggio comune mentre della linea A sopra tracciata si dice che è una curva oppure un profilo, una traiettoria, … curvilinea, la stessa cosa non viene detta di B, che ha andamento rettilineo, né di C o di D, che presentano dei punti angolosi, ossia dei punti in cui, percorrendo la linea da un capo all’altro, si arriva con una direzione e se ne riparte con un’altra.
In matematica, invece, tutte e quattro le linee vengono chiamate curve; si dice eventualmente che A è una curva non rettilinea.  Questo uso più generale della terminologia che si fa in matematica è presente in moltissime altre situazioni:

• nell’usuale comunicazione – anche quando si parla di matematica – dicendo «ho un tavolo rettangolare», «non arrivo a 38° di febbre», «disegna un’ellisse» … voglio dire anche che il tavolo non è quadrato, informare che la mia temperatura corporea supera i 37°, chiedere di non disegnare un cerchio, … in quanto altrimenti avrei specificato diversamente la forma del tavolo, la mia temperatura, la figura da disegnare, …;
• nell’enunciare una proprietà o una definizione matematica, invece, se parlo di un rettangolo o di una ellisse o ad esempio di un trapezio non escludo che sia, rispettivamente, un quadrato o un cerchio o un rettangolo, se scrivo “x < 38” includo la possibilità che x sia “molto” più piccolo di 38, ….

Questo uso di definizioni più estese rispetto al linguaggio comune è indispensabile per poter descrivere procedimenti, svolgere argomentazioni,  in modo generale.  Per fare un esempio chiarificatore, si pensi alla descrizione del metodo dei trapezi per detereminare l’ area di un poligono a partire dalle coordinate dei suoi vertici:  il poligono viene interpretato come somme e differenze di trapezi con “basi” verticali, e se si escludessero dai trapezi i rettangoli (come si fa nel linguaggio comune) la descrizione non funzionerebbe nel caso in cui il poligono abbia dei lati orizzontali..

Una delle difficoltà dello studio della matematica consiste nel fatto che, spesso, nei libri e nelle spiegazioni dei docenti si intrecciano frasi ora da interpretare come nel linguaggio comune, ora come nel “linguaggio matematico”. Lo studente, se non è motivato o non comprende il senso complessivo di quanto sta studiando, può, incontrare difficoltà a capire in quale modo deve interpretare una proprietà o il testo di un problema.

Diversi modi per descrivere una curva

In matematica esistono diversi modi per descrivere una “curva”. Soffermiamoci per adesso sul caso “piano”, rinviando a voci successive il caso delle curve nello spazio tridimensionale.

Abbiamo descritto curve come grafici di funzioni o, nel caso in cui non fossero interpretabili in questo modo, come equazioni del tipo F(x,y)=0 [rette anche verticali, parabole con asse orizzontale, cerchi e quadrati).

Altre curve le abbiamo descritte mediante la  applicazione di trasformazioni geometriche ad altre figure. Le nuove curve, comunque, potrebbero anch’esse essere descritte sotto forma di equazione.

La figura sotto (in cui sono illustrati il cerchio goniometrico sottoposto a una dilatazione orizzontale e a una successiva traslazione, e una retta per l’origine sottoposta a una traslazione) richiama come una curva del tipo F(x,y)=0 sottoposta a una trasformazione di scala del tipo

(x,y) → (hx, ky)

assuma l’equazione F(x/h,y/k) = 0 e, sottoposta a una traslazione del tipo

(x,y) → (x+h, y+k),

assuma l’equazione F(x-h, y-k) = 0.
In voci successive si vedrà come cambia l’equazione nel caso di rotazioni.

Come grafici di funzioni o di equazioni del tipo F(x,y)=0 si può ottenere un po’ di tutto. Ad esempio se consideriamo la funzione segno, che indicheremo sgn, che associa 1 ai numeri positivi, –1 a quelli negativi e 0 a 0, y = sgn(x) (vedi sotto a sinistra) è l’unione di due semirette e un punto non allineati.  Invece sgn(x²+y²–1)+1=0 (figura sotto al centro) è l’insieme dei punti che distano meno di 1 da (0,0); è la parte interna di un cerchio.  Queste stranezze sono legate alla presenza di una funzione che, come sgn, non è  continua.

Ma anche in assenza di funzioni di questo tipo si può ottenere una figura che non sembrerebbe sensato chiamare curva. Ad esempio (y–1)(y+1)=0 ha per grafico le rette parallele y=1 e y=–1, ossia le rette ottenibili prolungando le semirette della figura sopra a sinistra. La figura sopra a destra è il grafico di (x–1)(y+1)=0; è l’unione di due rette (x=1 e y=–1) che si intersecano in un punto.  L’equazione x·y=12, ovvero la funzione x 12/x (che è continua nel suo dominio), ha un grafico, rappresentato a destra, che si chiama  iperbole e viene spesso chiamato “curva“. Ma è una “curva” formata da due curve distinte, i cosiddetti rami dell’iperbole.

Abbiamo descritto curve anche in altri modi. Ad esempio come insiemi di punti soddisfacenti a certe condizioni descritte a parole, non mediante equazioni (anche se in alcuni casi queste condizioni possono essere espresse mediante equazioni). Abbiamo fatto ciò  nel caso dell’asse di un segmento e della bisettrice di un angolo, ma anche  in quello del cerchio.

La semiretta la abbiamo descritta formalizzando  l’idea che essa sia generata da un punto che si muove secondo una direzione fissata. Seguiremo questa idea, quella della traiettoria di un punto che si muove con continuità, senza salti, ossia della linea a tratto continuo che possiamo ottenere facendo scorrre la punta di una penna su un foglio senza mai staccarla da esso, per fissare un particolare concetto di curva, che chiameremo curva continua. Questa sarà la nostra idea ispiratrice. Come abbiamo già visto in molte altre occasioni (per le rappresentazioni grafiche, i numeri reali, le distanze, …) dovremo poi mettere meglio a fuoco le differenze tra il concetto intuitivo e la sua “controparte”, il suo modello matematico.

Partiamo da un esempio. Una barca attraversa un canale dirigendosi con velocità costante perpendicolarmente alla riva. Il suo moto è descritto a sinistra, nel caso in cui l’acqua del canale sia ferma. Se in seguito alla apertura di una chiusa si forma una corrente tale che l’acqua avanzi con la stessa velocità in tutti i punti del canale, la barca, senza interventi da parte del guidatore, cambia traiettoria: vedi figura a destra. Una situazione analoga si verifica se stando su un tapis roulant ci spostiamo perpendicolarmente alla direzione di avanzamento: per chi osserva la scena da fuori il nostro movimento non è perpendicolare al tapis roulant.

Come posso descrivere il moto della barca se essa, a canale fermo, si muove alla velocità di 35 m/min e se il canale ha una corrente di 30 m/min verso sinistra? Posso fissare un sistema di riferimento come quello a lato, dove x e y esprimono metri e t esprime minuti, e considerare il sistema: x = -30 t AND y = 35 t, ovvero, più in breve: P = (-30 t, 35 t) Al variare di t ho l’insieme dei punti che formano la traiettoria della barca. Questa è una traiettoria rettilinea, e potrei descriverla anche come il grafico della funzione x -35/30 x ovvero mediante l’equazione y = -35/30 x.

Esempio

Sia  P(t) = ( x(t), y(t) )  la posizione che un oggetto ha (rispetto a un sistema di coordinate x,y fissato) all’istante t (espresso in secondi assumendo come riferimento un dato istante fissato).  Sappiamo che l’oggetto si muove lungo una traiettoria rettilinea, che all’istante t = 1 ha la posizione P(1) = (1, 1) e che all’istante t = −3 (ossia 3 secondi prima dell’istante scelto come riferimento) ha la posizione P(−3) = (2, −1).
Si descriva la traiettoria dell’oggetto mediante una coppia di equazioni:
x(t) = …         y(t) = …
La si descriva, poi, mediante una equazione del tipo y = f(x).

Soluzione

In 4 secondi l’oggetto varia la x di −1 e la y di 2.
Quindi, per Δt = 1, Δx = −1/4 e Δy = 1/2.
All’istante t = 0 l’oggetto è dunque in  (1,1) − (−1/4,1/2) = (5/4,1/2).
Posso quindi descrivere il moto con  x = 5/4 − t/4,  y = 1/2 + t/2.
Controllo:  per t = 1 ottengo x = 1, y = 1;  per t = −3 ottengo x = 2, y = −1.
Alternativa.  Se l’oggetto fosse in (1,1) all’istante t = 0 il moto sarebbe:
x = 1 − t/4, y = 1 + t/2.  Se traslo il tempo di 1 devo cambiare le equazioni in:
x = 1 − (t−1)/4, y = 1 + (t−1)/2   che, come si vede, equivalgono a quelle trovate nell’altro modo.
Equazione della retta.  Retta per (1,1) con pendenza −2:
y = 1 − 2(x−1).
Controllo: per x = 1 y = 1, per x = 2 y = −1.

Una traiettoria circolare

Vediamo come descrivere in modo simile una traiettoria circolare, quella di centro C = (4,3) e raggio 2. Se P sta sul cerchio e il vettore CP ha direzione α, le componenti di questo sono Δx = 2·cos(α), Δy = 2·sin(α), per cui P = (4 + 2·cos(α), 3 + 2·sin(α)). Al variare di α tra 0 e 2π, ovvero tra 0° e 360° (1° = π/180), le equazioni seguenti descrivono il cerchio: x = 4 + 2 cos(α) y = 3 + 2 sin(α). Questa curva non avremmo potuta descriverla come grafico di una funzione; avremmo tuttavia potuta descriverla con l’equazione: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4. Sotto è illustrata un’altra situazione:

raggio=2 – y=3 | x=4  x = 4 + 2 cos(α) y = 3 + 2 sin(α) 0° ≤ α ≤ 360°

	il movimento di un punto P che avanza con velocità costante lungo la direzione dell’asse x e che oscilla lungo la direzione dell’asse y allo stesso modo in cui lo farebbe un punto ruotante con velocità costante attorno a un centro collocato sull’asse x. Ovviamente anche nella descrizione di questo moto entrerà in gioco la funzione seno. Se R è la lunghezza (in m) del raggio di rotazione, se φ è la sua direzione iniziale, se la velocità di avanzamento orizzontale è di h m·s–1 e quella di rotazione è di ω s–1 (o ω rad·s–1), la traiettoria di P, esprimendo x e y in metri e il tempo t in secondi, è:
x = ht,   y = R sin(ω t + φ),   ovvero   y = R sin(k x + φ), con k = ω/h.   Curve di questo tipo vengono dette sinusoidi.
	Nota.  Una funzione del tipo t R sin(ω t + φ) viene detta funzione sinusoidale. R, ωt+φ e φ vengono chiamate, rispettivamente, ampiezza, fase e fase iniziale. Il periodo è 2π/ω. Anche nel caso in cui t non sia un tempo il reciproco del periodo, ω/(2π), viene chiamato frequenza; ω viene chiamata frequenza angolare in quanto non esprime “giri al secondo” ma “ampiezza angolare al secondo”. Un moto rettilineo descrivibile mediante una relazione y = f(t) del tipo y = Rsin(ωt+φ) viene detto armonico.
Vediamo ora una situazione in cui non si riesce a decrivere la traiettoria mediante una funzione o una sola equazione.

Un uomo si allontana dal centro di una piattaforma girevole procedendo in modo rettilineo e con velocità costante, di 0.5 m/s; sotto a destra è riprodotto come l’uomo si muoverebbe se la piattaforma rimanesse ferma. Se la piattaforma ha una velocità di rotazione costante, di 10° al secondo, l’uomo, visto dall’alto, descrive una traiettoria a spirale, come illustrato sotto al centro:

R = 0.5 t α = 10° t

x = 0.5 t · cos(10°t)
y = 0.5 t · sin(10°t)

x

Se l’uomo mantenesse la direzione iniziale, che indichiamo con l’asse x, la sua posizione dopo t secondi sarebbe x=0.5t. Se la piattaforma ruota, 0.5t diventa la distanza R dal centro raggiunta dopo t secondi; mentre la direzione α verso cui l’uomo sta puntando diventa 10°·t. Da R e α usando cos e sin posso ricavare x e y, come è indicato sopra.

Queste descrizioni ( R = 0.5 t, α = 10° t;  x = 0.5 t · cos(10°t), y = 0.5 t · sin(10°t) ), in coordinate sia cartesiane (in questo paragrafo indicate con x,y) che polari (qui indicate con R e α), vengono dette parametriche in quanto viene impiegata una terza variabile (t) rispetto a quelle usate per individuare la posizione dei punti che formano la figura.

Chiameremo, dunque, curva continua l’insieme dei punti P(t) al variare di t in un intervallo I, dove P(t) = (F(t), G(t)) e F e G siano funzioni continue in I. La chiameremo in particolare arco di curva nel caso in cui I sia un intervallo limitato del tipo [a,b]; P(a) e P(b) ne sono gli estremi; le lunghezze degli archi sono determinabili (quando esistono) in modo simile a quanto si è visto per la  lunghezza del grafico di una funzione continua.

A destra la rappresentazione di x = t AND y = t2, che è la figura simmetrica rispetto alla retta y=x di y = x2. Sotto è raffigurata la curva descritta da un foro centrato nel punto medio di un raggio di un disco che rotola: il raggio è 1, t è la lunghezza dell’arco di cui rotola il disco (-t è l’angolo, essendo la rotazione antioraria) ed è anche la strada di cui avanza il centro del disco. Quando il centro del disco, dalla posizione iniziale (x=0, y=0) ha raggiunto la posizione x=t, y=0, il foro nel frattempo è ruotato di un arco di cerchio di raggio 1/2 e le sue coordinate, rispetto al centro del disco, sono diventate x=cos(-t)/2 e y=sin(-t)/2; tenendo conto che la x del centro è variata si ottiene che la sua posizione è quella descritta dalle equazioni scritte a sinistra della figura.

Più sotto sono rappresentate le traiettorie descritte da un punto collocato sul bordo del disco e da un punto collocato sul prolungamento esterno di un raggio. Tutte queste tre curve sono chiamate cicloidi.

x = t + cos(–t)/2, y = sin(–t)/2
x = t + cos(–t), y = sin(–t)
x = t + cos(–t)·1.3, y = sin(–t)·1.3

Esempio

Le coordinate polari permettono di descrivere facilmente varie curve che non sono descrivibili esprimendo l’ordinata (y) in funzione dell’ascissa (x). Ad es. le seguenti quattro equazioni, che esprimono ρ in funzione di θ espressa in gradi,ρ = 2,  ρ = θ,  ρ = θ2,  ρ = √θcorrispondono ciascuna a una delle quattro curve rappresentate parzialmente a lato, in scale diverse.Per ciascuna equazione trova i valori di ρ corrispondenti a diversi valori di θ (0, 45, 90, 180, 270, 360, 450, 540, …), confronta quanto ottieni con le curve a fianco e associa a ciascuna di queste la relativa equazione.

Soluzione

ρ = 2 rappresenta un cerchio di raggio 2, quindi ha per grafico B; a questo punto capisco anche la scala: sono rappresentate le ascisse e le ordinate comprese tra −3 e 3.

ρ = θ è una curva i cui punti hanno distanza dall’origine che aumenta proporzionalmente all’aumento di θ; questo mi fa capire che si tratta di D. Per trovare la scala trovo ad es. quanto dista da O il punto più a destra del grafico, che corrisponde al 4° giro; ρ = 4·360 = 1440; quindi le ascisse e le ordinate rappresentate sono comprese tra −1500 e 1500.

ρ = θ² è una curva i cui punti hanno distanza dall’origine che aumenta più velocemente di quanto aumenti θ: si tratta di A. Per trovare la scala trovo ad es. quanto dista da O il punto più a destra del grafico: circa due “quadrati” dall’origine, che corrispondono a (4·360)^2 = 2073600. Quindi i lati valgono 1000000 = 10^6, e le ascisse e le ordinate rappresentate sono tra −3·10^6 e 3·10^6.

ρ = √θ è una curva i cui punti hanno distanza dall’origine che aumenta più lentamente di quanto aumenti θ: si tratta di C. Per trovare la scala trovo ad es. quanto dista da O il punto che corrisponde al primo quarto di giro, che passa quasi alla fine del primo quadrato che sta sopra ad O: ρ = √90 ≈ 10; quindi le ascisse e le ordinate rappresentate sono comprese tra −30 e 30.

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Fonte: http://macosa.dima.unige.it/om/voci/tangente/tangente.htm

Categorie:K09- Analisi - Calculus

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