Storia di pi greco

Storia di pi greco

I popoli antichi spesso utilizzavano valori approssimati per esprimere il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio. I babilonesi invece usavano per  \pi il valore di 25/8 (usato anche da Vitruvio) mentre nel Papiro di Rhind i dice che un cerchio con diametro 9 unità è equivalente a un quadrato di lato 8. In questo modo gli Egizi assumevano il valore di (16/9)^2. Nell’Antico Testamento si dice in modo non esplicito che  \pi = 3. Si trova infatti scritto:

« Egli fece il mare come una gran vasca di bronzo fuso, dieci cubiti da una sponda all’altra: era perfettamente circolare. La sua altezza era cinque cubiti e una linea di trenta cubiti misurava la sua circonferenza »
(Cronache, 4:2)

Nel medioevo in India Brahmagupta utilizza il valore \sqrt {10} mentre in Cina Zu Chongzhi utilizza 355/113 valore che si discosta meno di 3 milionesimi dal valore corretto.

Il primo ad approssimare scientificamente pi greco fu Archimede di Siracusa che nel III secolo a.C. utilizzò poligoni regolari inscritti e circoscritti a una circonferenza. Aumentando il numero di lati il rapporto tra il perimetro e l’area limita superiormente e inferiormente  \pi (vedi anche metodo di esaustione).

Utilizzando poligoni di 96 lati lo scienziato greco scoprì che 223/71 < π < 22/7. Il metodo di Archimede verrà applicato fino all’epoca moderna. Nel 1610 Ludolph van Ceulen calcola le prime 35 cifre decimali di  \pi utilizzando poligoni con più di 2 miliardi di lati. Ceulen, fiero di questo risultato, lo farà scrivere sulla sua tomba.

Sempre nell’epoca moderna vengono trovate importanti espressioni infinite:

Formula di Viète:

2<br /><br /> \frac {2}{\sqrt2}<br /><br /> \frac {2}{\sqrt {2+\sqrt2}}<br /><br /> \frac {2}{\sqrt {2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\ldots = \pi

Formula di Leibniz:

 \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}

Prodotto di Wallis:

<br /><br /> \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}<br /><br />

Nel XVIII secolo Eulero, risolvendo il problema di Basilea trovò un’altra elegante serie:

 \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}

Sempre al matematico svizzero è dovuta l’identità di Eulero, talvolta considerata la formula più bella di tutta la matematica,[22] che collega  \pi ad altre importanti costanti matematiche tra cui e e i:

e^{i \pi} = -1

Eulero rese inoltre popolare il simbolo π, introdotto da William Jones.

Queste formule, pur essendo di scarsa o nulla utilità nel calcolo della costante matematica, hanno un importante valore estetico e rivelano collegamenti inaspettati tra varie branche della matematica.

Restava ancora in sospeso la questione della natura di  \pi: Johann Heinrich Lambert dimostrò nel 1761 che si trattava di un numero irrazionale (si dimostrava che l’arcotangente di un qualsiasi numero razionale è irrazionale). Si veda anche dimostrazione della irrazionalità di π. Adrien-Marie Legendre dimostrò nel 1794 l’irrazionalità di {\pi}^2. Bisognerà tuttavia aspettare fino al 1882 perché Ferdinand von Lindemann dimostri che  \pi è un numero trascendente, ossia non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.

Quest’ultimo fatto dimostrava inequivocabilmente che la quadratura del cerchio tramite riga e compasso è impossibile.

Attualmente si conoscono 1 241 100 000 000 cifre di  \pi.



Categorie:L07.1- Geometria euclidea - Euclidean Geometry, L08- Trigonometria - Trigonometry

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