Storia dei concetti di successione e di limite

Storia dei concetti di successione e di limite

Il processo che ha portato a introdurre il concetto di successione non è del tutto parallelo a quello che ha portato a definire i fondamenti del calcolo infinitesimale.  Semmai, il concetto di successione e quello di limite sono seguiti all’assiomatizzazione dell’analisi matematica moderna.

Essendo un concetto che non è apparso in metodi noti dall’antichità, fino al ‘600 in rari casi la matematica ha fatto uso dello strumento delle successioni. L’unico caso noto ai più è forse quello di quella che oggi è nota come successione di Fibonacci (Leonardo Pisano detto Fibonacci, 1180-1250), descritta nel suo Liber abaci (1202 circa), scritto prevalemente per risolvere problemi algebrici legati alla sua attività di mercante.

La successione di Fibonacci segue la seguente “legge”:

a1 1

a2 1

an+2 = an + an+1

Con questa successione si generano i cosiddetti numeri di Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

La successione di Fibonacci è un esempio di successione definita per ricorrenza.

Il primo tentativo di dare una definizione all’idea di successione si può collocare nel 1659, quando Pietro Mengoli (1625-1686), noto matematico del tempo e uomo di Chiesa, nella sua opera Geometria speciosa (1659) cercò di dare ordine ad alcuni concetti che oggi stanno alla base del calcolo, in particolare quello di serie.

Una serie è una successione di somme parziali, ossia un oggetto matematico del tipo:

………………….

………………………

 è, quindi, una successione di numeri reali.

Una serie, in genere, si indica in questo modo:

Tuttavia, tale tentativo non fu ascoltato dai matematici suoi contemporanei poiché le successioni non intervenivano direttamente nei problemi del tempo.  In realtà, ci rese poi conto, come intuito da Mengoli, che definire in modo formale l’idea di successione avrebbe portato progressi anche nel campo delle serie, che interessava quasi tutti gli analisti dell’epoca. Quindi, i pochi risultati raggiunti dai più illustri matematici sulle successioni nel ‘600 e nel ‘700 furono prevalentemente legati a questioni relative alla convergenza delle serie.

La definizione del concetto di successione e di limite viene introdotta in maniera compiuta ed accolta dalla comunità matematica all’inizio dell’800. In particolare, si può collocare nel 1821, quando Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) nel suo Cours d’analyse pour L’Ecole polytechnique descrive in modo organico i fondamenti del calcolo moderno e quindi anche i primi passi riguardanti le successioni. E’ dovuto anche a Cauchy il concetto di successione di Cauchy, utile anche in quanto se ne può ricavare un criterio di convergenza per le serie.

Una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale per cui, data una distanza definita positiva, vi sono infiniti elementi la cui distanza reciproca è inferiore a una distanza data arbitrariamente piccola. Ogni successione convergente è di Cauchy.

Si definisce successione di Cauchy una successione  \{x_n \}_{n\in \mathbb N} a valori in uno spazio metrico  (X,d) tale che per ogni \varepsilon >0 esiste N(\varepsilon) = N tale che per tutti gli m,n \geq N si verifica:

d(x_n, x_m ) <\varepsilon

Uno spazio metrico è una struttura matematica costituita da una coppia di elementi, dove  X è un insieme e  d una funzione distanza, detta anche metrica, che associa a due punti  x e  y di  X un numero reale non negativo  d(x,y) in modo che le seguenti proprietà valgano per ogni scelta di  x,y,z in  X :

  • d(x,y) > 0 \quad x \ne y
  • d(x,y) = 0 \quad x = y
  • d(x,y) = d(y,x)\
  • d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)

L’ultima proprietà è detta disuguaglianza triangolare.

Quindi la definizione della successione- data in precedenza-   \{x_n \}_{n\in \mathbb N} a valori in uno spazio metrico  (X,d) tale che per ogni \varepsilon >0 esiste N(\varepsilon) = N tale che per tutti gli m,n \geq N si verifica:

d(x_n, x_m ) <\varepsilon

indica che, al tendere dell’indice all’infinito, la distanza nello spazio X tra i due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in X è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente  \{x_n \}_{n\in \mathbb N} \to x.

Esiste allora un indice N tale per cui:

d(x_n, x ) <\frac {\varepsilon}{2} \qquad \forall n > N

Considerando allora n e m maggiori di N si ha di conseguenza:

d(x_n, x_m ) <\frac {\varepsilon}{2} +\frac {\varepsilon}{2} = \varepsilon

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere né che, se converge, l’elemento al quale converge appartenga allo spazio.

Se tutte le successioni fondamentali dello spazio metrico (X,d) hanno un limite in X, allora (X,d) viene chiamato spazio completo.

Ogni successione di Cauchy è limitata, e ogni sottosuccessione di una successione di Cauchy che tende a un limite L tende a L.

I progressi notevoli del calcolo ottenuti in seguito in ogni campo (compreso, quindi, anche quello delle serie, da secoli seguito dai matematici per i molti problemi analitici e geometrici collegati) mostrarono come una compresione adeguata degli oggetti matematici porta anche ad una maggiore facilità nel risolvere problemi pratici. Citiamo, tra i molti analisti del periodo in cui visse Cauchy, anche Bernhard Bolzano (1781-1848) che introdusse altri notevoli risultati sulle successioni, alcuni dei quali ancora oggi portano il suo nome.

Dopo il periodo di Cauchy il concetto di successione diventò centrale in matematica, quando in particolare alla fine dell’800, con analisti come Karl Weierstrass (1815-1897), Georg Cantor (1845-1918) e Julius Wilhelm Dedekind (1831-1916), crebbe l’interesse per il concetto di infinito.

Nel’900 l’idea di successione di numeri reali fu estesa ad ambiti molto più ampi di quanto si occupa la matematica elementare, confermandosi un oggetto fondamentale di studio nell’analisi infinitesimale.



Categorie:L01- I concetti della matematica - The concepts of Mathematics

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