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Risoluzione dei triangoli qualsiasi

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Risoluzione dei triangoli qualsiasi

Convenzione per la nomenclatura degli elementi di un triangolo

Convenzione per la nomenclatura degli elementi di un triangolo

Nel gergo matematico risolvere un triangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo.

Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi dei quali almeno uno deve essere un lato. Si possono presentare quattro casi:

  1. sono noti un lato e due angoli
  2. sono noti tre lati
  3. sono noti due lati e l’angolo compreso
  4. sono noti due lati e uno dei due angoli opposti ai lati dati

La nomenclatura dei lati e degli angoli segue la convenzione in figura.

Risolvere un triangolo noti un lato (a) e due angoli ( \alpha, \beta )

Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le seguenti condizioni

\alpha+\beta < 180^o

in caso contrario il problema non ha soluzione.

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente

  1. Calcolare l’angolo mancante \gamma = 180^o -(\alpha + \beta)
  2. Calcolare il lato incognito b utilizzando il teorema dei seni: \frac a {\sen \alpha} = \frac b {\sen \beta}
  3. Calcolare il lato incognito c utilizzando il teorema dei seni: \frac a {\sen \alpha} = \frac c {\sen \gamma}

Risolvere un triangolo noti i tre lati (a, b, c)

Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le disuguaglianze triangolari in caso contrario il problema non ha soluzione.

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente

  1. calcolare l’angolo \alpha mediante il teorema del coseno: \cos \alpha = \frac {b^2+c^2 -a^2}{2bc}
  2. calcolare l’angolo \beta mediante il teorema del coseno: \cos \beta = \frac {a^2+c^2 -b^2}{2ac}
  3. calcolare l’angolo mancante \gamma = 180^o -(\alpha + \beta)

Risolvere un triangolo noti due lati (a e b) e l’angolo compreso ( \gamma )

Il problema ha sempre una sola soluzione

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente

  1. calcolare il lato c (opposto all’angolo \gamma ) mediante il teorema del coseno: c = \sqrt {a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma}
  2. calcolare l’angolo \alpha (opposto al lato a) mediante il teorema del coseno: \cos \alpha = \frac {b^2+c^2 -a^2}{2bc}
  3. calcolare l’angolo mancante \beta = 180^o -(\gamma + \alpha)

Risolvere un triangolo noti due lati (a e b) e l’angolo \alpha opposto al lato a

Il problema può avere nessuna soluzione, una soluzione o due soluzioni.

  1. Si calcola l’angolo incognito \beta con il teorema dei seni \frac b {\sen \beta}=\frac a {\sen \alpha}
  2. Se \alpha è ottuso si otterrà un solo angolo \beta_1 acuto, altrimenti si trova anche \beta_2=180^o-\beta_1.
  3. Si calcola \gamma_1=180^o-(\beta_1+\alpha) ed eventualmente \gamma_2=180^o-(\beta_2+\alpha)
  4. Si calcola c_1 e eventualmente c_2 utilizzando il teorema dei seni \frac a {\sen \alpha}=\frac c {\sen \gamma}
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Categorie:K06- Trigonometria - Trigonometry

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