Relazioni e formule trigonometriche

Relazioni e formule trigonometriche

La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l’etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni. Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.

Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.

Per molti secoli, la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all’opera di grandi astronomi e geografi. Infatti, la fondazione di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo, entrambi più astronomi e geografi che matematici. Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese Levi ben Gershon e, successivamente, da Niccolò Copernico e Tycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini.

Funzioni trigonometriche

Strumento indispensabile della trigonometria sono le funzioni trigonometriche. Sono queste funzioni che associano lunghezze ad angoli, e viceversa.

Le tabelle in questa sezione mostrano le funzioni trigonometriche insieme alle loro principali proprietà; per ulteriori caratteristiche, consultare la voce relativa alla particolare funzione.

Funzioni trigonometriche dirette

Sono dette funzioni trigonometriche dirette quelle che ad un angolo, solitamente espresso in radianti, associano una lunghezza o un rapporto fra lunghezze. A causa dell’equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche funzioni periodiche con periodo \pi o 2\pi.

Funzioni trigonometriche dirette
Funzione Notazione Dominio Codominio Radici Periodo Funzione inversa
seno sen, sin \mathbb R \left[-1, 1\right] \mathbb Z \pi 2\pi arcoseno
coseno cos \R \left[-1, 1\right] \frac\pi2+\Z\pi 2\pi arcocoseno
tangente tan, tg \R\setminus\left(\frac\pi{2}+\Z\pi\right) \R \Z\pi \pi arcotangente
cotangente cot, cotg, ctg \R\setminus\Z\pi \R \frac\pi2+\Z\pi \pi arcocotangente
secante sec \R\setminus\left(\frac\pi{2}+\Z\pi\right) \left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right) nessuna 2\pi arcosecante
cosecante csc, cosec \R\setminus\Z\pi \left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right) nessuna 2\pi arcocosecante

Funzioni trigonometriche inverse

Ad ogni funzione trigonometrica diretta è associata una funzione inversa. Il dominio di ciascuna funzione trigonometrica inversa corrisponde, com’è prevedibile, al codominio della rispettiva funzione diretta. Poiché le funzioni dirette sono, tuttavia, periodiche, e perciò non iniettive, per poterle invertire è necessario restringerne il dominio rendendole biiettive. La scelta della restrizione è teoricamente irrilevante e le possibilità sono infinite. La convenzione (rigida, in questo campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] oppure \left[0, \pi\right], in cui le funzioni — e dunque anche le loro inverse — siano monotone. Anche le funzioni arcosecante ed arcocosecante vengono definite dall’inversione delle funzioni dirette ristrette ad uno di tali intervalli.

Funzioni trigonometriche inverse
Funzione Notazione Dominio Codominio Radici Andamento Funzione inversa
arcoseno arcsen, arcsin, asin,sen−1[1] \left[-1, 1\right] \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] 0 \nearrow seno
arcocoseno arccos, acos,cos−1 \left[-1, 1\right] \left[0, \pi\right] 1 \searrow coseno
arcotangente arctan, arctg, atan,tan−1 \mathbb R \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) 0 \nearrow tangente
arcocotangente arccot, arccotg, arcctg, acot,cot−1 \mathbb R \left(0, \pi\right) +\infty \searrow cotangente
arcosecante arcsec, asec,sec−1 \left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right) \left[0, \pi\right] 1 crescente, con una discontinuità in \left[-1, 1\right] secante
arcocosecante arccsc, arccosec, acsc,csc−1 \left(-\infty, {-1}\right]\cup\left[1, +\infty\right) \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] \pm\infty decrescente, con una discontinuità in \left[-1, 1\right] cosecante

Relazioni fondamentali della goniometria

Prima relazione fondamentale

\cos^2\alpha+\sen^2\alpha=1

da questa si ricavano

\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sen^2\alpha}

\sen\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}

ricordare di valutare la posizione di \alpha per la scelta opportuna dei segni

Seconda relazione fondamentale

\tan\alpha=\frac{\sen\alpha}{\cos\alpha}

che vale solo per \alpha \neq \frac{\pi}2+k\pi con k \in Z

Terza relazione fondamentale

\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\tan^2\alpha}

che vale solo per \alpha \neq \frac{\pi}2+k\pi con k \in Z

da questa si ricava

\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}

ricordare di valutare la posizione di \alpha per la scelta opportuna dei segni

Formule degli angoli associati

Nella circonferenza goniometrica chiamiamo angoli associati gli angoli \alpha, \pi-\alpha, \pi+\alpha e 2\pi-\alpha. Tali angoli hanno in valore assoluto stesso seno e stesso coseno.

Formule degli angoli associati del secondo quadrante

\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha

\sen(\pi-\alpha)=\sen\alpha

\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha

Formule degli angoli associati del terzo quadrante

\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha

\sen(\pi+\alpha)=-\sen\alpha

\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha

Formule degli angoli associati al quarto quadrante

\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha

\sen(2\pi-\alpha)=-\sen\alpha

\tan(2\pi-\alpha)=-\tan\alpha

Formule degli angoli opposti

\cos(-\alpha)=\cos\alpha

\sen(-\alpha)=-\sen\alpha

\tan(-\alpha)=-\tan\alpha

Si dice che \cos\alpha è una funzione pari, mentre \sen\alpha e \tan\alpha sono dispari.

Formule degli angoli complementari (la loro somma è un angolo retto)

\cos(\frac{\pi}2-\alpha)=\sen\alpha

\sen(\frac{\pi}2-\alpha)=\cos\alpha

\tan(\frac{\pi}2-\alpha)=\cot\alpha

Formule degli angoli che differiscono di un angolo retto

\cos(\frac{\pi}2+\alpha)=-\sen\alpha

\sen(\frac{\pi}2+\alpha)=\cos\alpha

\tan(\frac{\pi}2+\alpha)=-\cot\alpha

Formule goniometriche

In trigonometria, le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un’espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.

Formule di addizione

  • \mathbb { \operatorname{sen} }(\alpha + \beta)= { \operatorname{sen} } \alpha \, \cos\beta + \cos\alpha \, { \operatorname{sen} } \beta
  • \mathbb \cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha \, \cos\beta - \mathrm{sen} \, \alpha \, \mathrm{sen} \, \beta
  • \tan(\alpha + \beta)=\frac {\tan\alpha + \tan\beta} {1 - \tan\alpha \, \tan\beta}
  • \cot(\alpha + \beta)=\frac {\cot\alpha \cot\beta - 1} {\cot\alpha + \cot\beta}

La formula della tangente vale per \alpha, \beta, \alpha+\beta \neq \frac\pi 2 +k\pi con k \in Z

La formula della cotangente vale per \alpha, \beta, \alpha+\beta \neq k\pi con k \in Z

Formule di sottrazione

  • \mathbb \mathrm{sen} \, (\alpha - \beta)=\mathrm{sen} \, \alpha \, \cos\beta - \cos\alpha \, \mathrm{sen} \, \beta
  • \mathbb \cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha \, \cos\beta + \mathrm{sen} \, \alpha \, \mathrm{sen} \, \beta
  • \tan(\alpha - \beta)=\frac {\tan\alpha - \tan\beta} {1 + \tan\alpha \tan\beta}
  • \cot(\alpha - \beta)=\frac {\cot\alpha \cot\beta + 1} {\cot\beta - \cot\alpha}

La formula della tangente vale per \alpha, \beta, \alpha-\beta \neq \frac\pi 2 +k\pi con k \in Z

La formula della cotangente vale per \alpha, \beta, \alpha-\beta \neq k\pi con k \in Z

Formule di duplicazione

  • \mathbb \mathrm{sen} (2\alpha)=2\mathrm{sen} \, \alpha \, \cos\alpha
  • \mathbb \mathrm{cos} (2\alpha)=\cos^2\alpha - \mathrm{sen}^2\alpha = 1 - 2\mathrm{sen}^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1
  • \tan(2\alpha)=\frac {2\tan\alpha} {1 - \tan^2\alpha}

L’ultima formula vale per \alpha\neq \frac\pi 2 +k\pi e \alpha\neq \pm\frac\pi 4+ k \pi con k \in Z

Formule di linearità

  • \cos^2\alpha=\frac {1+\cos(2\alpha)} 2
  • \sen^2\alpha=\frac {1-\cos(2\alpha)} 2
  • \tan^2\alpha=\frac {\sen^2\alpha} {\cos^2\alpha}=\frac {1-\cos(2\alpha)} {1+\cos(2\alpha)}

L’ultima formula vale per \alpha\neq \frac\pi 2 +k\pi con k \in Z

Formule di bisezione

Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade \frac{\alpha} 2 per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule

  • \cos\left(\frac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\frac {1+\cos\alpha} 2 }
  • \sen\left(\frac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\frac {1-\cos\alpha} 2 }
  • \tan\left(\frac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\frac {1-\cos\alpha} {1+\cos\alpha}}

L’ultima formula vale per \alpha\neq \pi+2k\pi

Formule parametriche

  • \cos\alpha=\frac {1-t^2} {1+t^2}
  • \sen\alpha=\frac {2t} {1+t^2}

dove t=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) con  \alpha\neq \pi+2k\pi

Formule di prostaferesi

  • \sen p+\sen q=2\sen \left(\frac {p+q}{2}\right)\cos \left(\frac {p-q}{2}\right)
  • \sen p-\sen q=2\cos \left(\frac {p+q}{2}\right)\sen \left(\frac {p-q}{2}\right)
  • \cos p+\cos q=2\cos \left(\frac {p+q}{2}\right)\cos \left(\frac {p-q}{2}\right)
  • \cos p-\cos q=-2\sen \left(\frac {p+q}{2}\right)\sen \left(\frac {p-q}{2}\right)

Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti

Formule di Werner (inverse delle formule di prostaferesi)

  • \sen\alpha\cos\beta=\frac {1}{2} \left[ \sen (\alpha+\beta) + \sen (\alpha-\beta)\right]
  • \cos\alpha\cos\beta=\frac {1}{2} \left[ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta)\right]
  • \sen\alpha\sen\beta=-\frac {1}{2} \left[ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta)\right]

Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme

Formule dell’angolo aggiunto

  •  a \sen x +b \cos x = A \sen (x+\phi)

La seguente uguaglianza è verificata sotto le seguenti condizioni

A=\sqrt{a^2+b^2}

<br /><br /><br /> \begin{cases} \cos \phi = \frac a {\sqrt{a^2+b^2}}\\<br /><br /><br /> \sen \phi = \frac b {\sqrt{a^2+b^2}} \end{cases}<br /><br /><br />
 \tan \phi = \frac b a

Fare attenzione che la tangente goniometrica è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di \phi dunque

<br /><br /><br /> \phi = \begin{cases} \arctan(\frac b a) &\mbox{se } a>0 \\<br /><br /><br /> \arctan(\frac b a)+\pi &\mbox{se } a<0 \end{cases}<br /><br /><br />

Risoluzione dei triangoli rettangoli

Convenzione per la nomenclatura degli elementi di un triangolo rettangolo

Nel gergo matematico risolvere un triangolo rettangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo. Per convenzione esiste una nomenclatura nei triangoli rettangoli che si può vedere in figura. Si ricorda che

  •  \alpha=90^o e  \beta + \gamma =90^o
  • un angolo è adiacente ad un cateto se il cateto risulta essere uno dei lati dell’angolo in questione.
  • un angolo è opposto ad un cateto se il cateto non è uno dei lati dell’angolo in questione.

Ad esempio  \beta è opposto al cateto b e adiacente al cateto c.

Sotto queste convenzioni in un triangolo rettangolo valgono i seguenti teoremi

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa con il seno dell’angolo opposto al cateto

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa con il coseno dell’angolo acuto adiacente al cateto.

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto con la tangente dell’angolo opposto al cateto da calcolare.

Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto con la cotangente dell’angolo acuto adiacente al cateto da calcolare.

Tali teoremi si traducono nelle seguenti formule per la risoluzione dei triangoli rettangoli

 a = \frac c {\sen \gamma} \quad \Rightarrow \quad c = a \cdot \sen \gamma
  a = \frac b {\cos \gamma} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \cos \gamma 
 \frac c b =\frac {\sen \gamma} {\cos \gamma} \quad \Rightarrow \quad c = b \cdot \tan \gamma
  \frac b c =\frac {\cos \gamma} {\sen \gamma} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \cot \gamma 
 a = \frac b {\sen \beta} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \sen \beta
  a = \frac c {\cos \beta} \quad \Rightarrow \quad c = a \cdot \cos \beta 
 \frac b c =\frac {\sen \beta} {\cos \beta} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \tan \beta

 \frac c b =\frac {\cos \beta} {\sen \beta} \quad \Rightarrow \quad c = b \cdot \cot \beta



Categorie:L08- Trigonometria - Trigonometry

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