L’ultimo teorema di Fermat

L’ultimo teorema di Fermat

« È impossibile separare un cubo in due cubi, o una potenza quarta in due potenze quarte, o in generale, tutte le potenze maggiori di due come somma della stessa potenza. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina »
(Pierre Fermat)

È con queste parole che Pierre Fermat enuncia, nel margine (“troppo stretto” appunto) dell’Aritmetica di Diofanto quello che diverrà noto come Ultimo teorema di Fermat. L’enunciato, estremamente semplice, afferma che l’equazione

x^n + y^n = z^n \

non ha soluzioni intere per n>2. In altre parole mentre per n=2 è possibile trovare triplette di numeri (chiamate terne pitagoriche) che soddisfano l’equazione, come 3^2 + 4^2 = 5^2, non è possibile trovare numeri interi che soddisfino la formula per n=3,4,5…

Della dimostrazione di Fermat, non c’è traccia. Tra le sue carte è stata trovata solo una dimostrazione per n=4 (nella quale, tra l’altro, viene introdotto il metodo della discesa infinita). In realtà Fermat dimostrò che un triangolo rettangolo con lati interi, non più avere area equivalente a un quadrato perfetto ma questo enunciato è equivalente a z^4 - y^4 = x^2 che è facilmente riconducibile al teorema per n=4. È da notare che basta dimostrare il teorema per n primo in quanto le potenze composte possono essere facilmente ricondotte a tale caso.

I primi tentavi di dimostrare il teorema si hanno nel VIII secolo con Eulero che tuttavia riesce a dimostrare solo il caso in cui n=3. La matematica Sophie Germain scoprì che il teorema era probabilmente vero per tutti i numeri primi di Sophie Germain, cioè tutti i numeri primi p tali che anche 2p+1 è primo. Sfruttando le linee guida della sua dimostrazione, Adrien-Marie Legendre dimostrò il teorema per n=5 e Gabriel Lamé per n=7. Nel 1847, Cauchy e lo stesso Lamé annunciarono indipendentemente di essere in procinto di dimostrare il teorema generale. Tuttavia la competizione fu interrotta da Ernst Kummer che faceva notare come le dimostrazioni poggiassero entrambe sull’ipotesi dell’unicità della scomposizione in fattori, vera in campo reale ma non in campo complesso. La dimostrazione era comunque valida per gli esponenti primi minori di 31 e per altri valori, tra cui n=59 e n=67.

La dimostrazione arrivò inaspettatamente tre secoli dopo la formulazione della congettura, nel 1993 ad opera del matematico Andrew Wiles. La scoperta di una lacuna e la sua correzione l’anno seguente conclusero la secolare vicenda. La dimostrazione di Wiles utilizza concetti molto tecnici della matematica moderna come le curve ellittiche ed è impossibile che possa essere stata pensata da Fermat. Resta il dubbio su quale fosse la sua “meravigliosa dimostrazione”.



Categorie:L06- Teoria dei numeri - Number Theory

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