Applicazioni notevoli dei triangoli rettangoli

Calcolo dell’altezza di una torre

Si consideri il seguente problema: calcolare l’altezza di una torre AB, potendo stare solo alla base (piano orizzontale) della stessa. Si distinguono due casi

Caso 1: il piede A della torre è raggiungibile

Calcolo altezza di una torre con piede A raggiungibile

In questo caso basta misurare il cateto AC (b), e dal punto C misurare l’angolo acuto ACB () sotto cui si vede la sommità della torre AB (c). Applicando opportunamente le formule si ottiene

Caso 2: il piede A della torre non è raggiungibile

Calcolo altezza di una torre con piede A non raggiungibile

In questo caso AC () è incognita (in quanto il piede A non è raggiungibile). Si fa dunque una misura orizzontale CD (d) (quindi il cateto AD è ).

Dal punto C si misura l’angolo acuto ACB () e da D si misura l’angolo acuto ADB () sotto cui si vede la sommità della torre AB (c). Applicando opportunamente le formule si ottiene

Confrontando le due altezze si ottiene una equazione nell’incognita x

questa equazione è facilmente risolvibile noti d, e

Trovato x si ha e quindi si può calcolare

Calcolo dell’area di un triangolo qualsiasi

l’altezza h può essere vista come cateto del triangolo CHA

Per calcolare l’area del triangolo ABC, di base CB=a, serve l’altezza AH. Nel triangolo rettangolo CHA, di ipotenusa AC=b, l’altezza AH=h può essere vista come il cateto che si oppone all’angolo . Utilizzando in modo opportuno le formule dei triangoli rettangoli si ottiene

e quindi

Questa formula vale anche se è ottuso.

Formule di conversione da Coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa

Coordinate polari e coordiante cartesiane

Fissato su un piano un punto origine O (0;0) e una semiretta Or, dato un punto P del piano esso è univocamente individuato da una coppia di numeri reali con la condizione e . La coppia di numeri reali rappresentano le coordinate polari di P. Geometricamente rappresenta la distanza OP, mentre rappresenta l’angolo rOP misurato in senso antiorario con primo lato Or.

È possibile trovare le relazioni esistenti tra le coordinate cartesiane e le coordinate polari del punto P. Le seguenti considerazioni fatte per un punto P sul primo quadrante valgono anche per gli altri quadranti.

Utilizzando le formule dei triangoli rettangoli si trovano le formule per la trasformazione in coordinate cartesiane

Elevando al quadrato e sommando si ottiene e quindi si possono ricavare le formule per la trasformazione in coordinate polari

Fare attenzione che la tangente goniometrica non esiste per x=0 ed è periodica di 180° e dunque bisogna valurare preventivamente la posizione di P per calcolare correttamente

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