Applicazioni notevoli dei triangoli rettangoli

Applicazioni notevoli dei triangoli rettangoli

Calcolo dell’altezza di una torre

Si consideri il seguente problema: calcolare l’altezza di una torre AB, potendo stare solo alla base (piano orizzontale) della stessa. Si distinguono due casi

Caso 1: il piede A della torre è raggiungibile

Calcolo altezza di una torre con piede A raggiungibile

In questo caso basta misurare il cateto AC (b), e dal punto C misurare l’angolo acuto ACB ( \gamma ) sotto cui si vede la sommità della torre AB (c). Applicando opportunamente le formule si ottiene

 h_{torre} = c = b \cdot \tan \gamma

Caso 2: il piede A della torre non è raggiungibile

Calcolo altezza di una torre con piede A non raggiungibile

In questo caso AC (b_1=x) è incognita (in quanto il piede A non è raggiungibile). Si fa dunque una misura orizzontale CD (d) (quindi il cateto AD è b_2=x+d).

Dal punto C si misura l’angolo acuto ACB ( \gamma_1 ) e da D si misura l’angolo acuto ADB ( \gamma_2 ) sotto cui si vede la sommità della torre AB (c). Applicando opportunamente le formule si ottiene

 h_{torre} = c = b_1 \cdot \tan \gamma_1 = x \cdot \tan \gamma_1
  h_{torre} = c = b_2 \cdot \tan \gamma_2 = (x+d) \cdot \tan \gamma_2 

Confrontando le due altezze si ottiene una equazione nell’incognita x

  x \cdot \tan \gamma_1 = (x+d) \cdot \tan \gamma_2

questa equazione è facilmente risolvibile noti d,  \gamma_1 e  \gamma_2

Trovato x si ha b_1 e quindi si può calcolare

 h_{torre} = c = b_1 \cdot \tan \gamma_1

Calcolo dell’area di un triangolo qualsiasi

l’altezza h può essere vista come cateto del triangolo CHA

Per calcolare l’area del triangolo ABC, di base CB=a, serve l’altezza AH. Nel triangolo rettangolo CHA, di ipotenusa AC=b, l’altezza AH=h può essere vista come il cateto che si oppone all’angolo  \gamma . Utilizzando in modo opportuno le formule dei triangoli rettangoli si ottiene

 AH=h= b \cdot \sen \gamma

e quindi

 Area= \frac 1 2 \cdot a \cdot h =\frac 1 2  a  b \sen \gamma

Questa formula vale anche se  \gamma è ottuso.

Formule di conversione da Coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa

Coordinate polari e coordiante cartesiane

Fissato su un piano un punto origine O (0;0) e una semiretta Or, dato un punto P del piano esso è univocamente individuato da una coppia di numeri reali  ( \rho, \theta) con la condizione  \rho>0 e  0\leq \theta < 360^o. La coppia di numeri reali rappresentano le coordinate polari di P. Geometricamente  \rho rappresenta la distanza OP, mentre  \theta rappresenta l’angolo rOP misurato in senso antiorario con primo lato Or.

È possibile trovare le relazioni esistenti tra le coordinate cartesiane (x;y) e le coordinate polari (\rho;\theta) del punto P. Le seguenti considerazioni fatte per un punto P sul primo quadrante valgono anche per gli altri quadranti.

Utilizzando le formule dei triangoli rettangoli si trovano le formule per la trasformazione in coordinate cartesiane

<br /><br /> \begin{cases} x=\rho \cdot \cos \theta \\<br /><br /> y= \rho \cdot \sen \theta \end{cases}<br /><br />

Elevando al quadrato e sommando si ottiene  x^2+y^2=\rho^2 e quindi si possono ricavare le formule per la trasformazione in coordinate polari

<br /><br /> \begin{cases} \cos \theta = \frac x {\rho} \\<br /><br /> \sen \theta = \frac y {\rho} \end{cases}<br /><br /> \quad \Rightarrow \quad<br /><br /> \begin{cases} \cos \theta = \frac x {\sqrt{x^2+y^2}}\\<br /><br /> \sen \theta = \frac y {\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases}<br /><br />
<br /><br /> \begin{cases} \rho = \sqrt {x^2+y^2} \\<br /><br /> \tan \theta = y/x \end{cases}<br /><br />

Fare attenzione che la tangente goniometrica non esiste per x=0 ed è periodica di 180° e dunque bisogna valurare preventivamente la posizione di P per calcolare correttamente  \theta

<br /><br /> \theta = \begin{cases} \arctan(y/x) & \text{se } x>0 \\<br /><br /> \arctan(y/x)+\pi & \text{se } x<0 \end{cases}<br /><br />


Categorie:L08- Trigonometria - Trigonometry

Tag:

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

SCIENZA E CULTURA - SCIENCE AND CULTURE

Lo stato dell'arte tra storia e ricerche contemporanee - State of the art: history and contemporary research

Storia delle Maschere e del Teatro popolare - Masks and Popular Theatre

Museo virtuale delle maschere e del teatro popolare

ORIENTALIA [ORIENTE-OCCIDENTE]

Studi orientali - Études Orientales - Oriental Studies

NUOVA STORIA CULTURALE / NETWORK PHILOSOPHY

NUOVA STORIA CULTURALE / NEW CULTURAL HISTORY

TEATRO E RICERCA - THEATER AND RESEARCH

Sito di approfondimento e studio della Compagnia Lost Orpheus Teatro

LOST ORPHEUS ENSEMBLE

Modern Music Live BaND

Il Nautilus

Viaggio nella blogosfera della V As del Galilei di Potenza

Sonus- Materiali per la musica moderna e contemporanea

Aggiornamenti della Rivista "Sonus"- Updating Sonus Journal

The WordPress.com Blog

The latest news on WordPress.com and the WordPress community.

Antonio De Lisa - Scritture / Writings

Teatro Musica Poesia / Theater Music Poetry

In Poesia - Filosofia delle poetiche e dei linguaggi

Blog Journal and Archive diretto da Antonio De Lisa

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: