Numeri perfetti

Funzione sigma

Un numero naturale n si dice perfetto quando

= 2n

dove la funzione è la funzione sigma cioè la funzione che fornisce la somma dei divisori positivi di n. Poiché fra i divisori positivi di n c’è n stesso questo equivale a dire che n è uguale alla somma dei suoi divisori propri.

Ad esempio, il numero 28, divisibile per 1, 2, 4, 7, 14 è un numero perfetto: lo stesso per 6 che è divisibile per 1, 2 e 3.

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

L’inizio pitagorico

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivelò che se  2ⁿ⁺¹ – 1  è un numero primo, allora  2ⁿ · (2ⁿ⁺¹ – 1)  è perfetto. Successivamente Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma. I numeri nella forma  2ⁿ⁺¹ – 1  che sono primi sono detti primi di Mersenne. Si dimostra facilmente che se n+1 non è primo allora non lo è neanche  2ⁿ⁺¹ – 1 .

Numeri perfetti e cultura ebraica

I numeri perfetti godevano di una particolare importanza nella cultura ebraica come dimostra il fatto che, secondo l’ebraismo, il Mondo era stato creato in 6 giorni e il calendario ebraico si basava sul mese lunare, di 28 giorni. Le proprietà matematiche e religiose di questi numeri perfetti vennero sottolineate in seguito anche da alcuni commentatori cristiani. Nel suo celebre trattato “La città di Dio“, Sant’Agostino scrisse:

“Sei è un numero perfetto in sé stesso, e non perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni. Anzi è vero l’opposto: Dio ha creato tutte le cose in sei giorni proprio perché questo è un numero perfetto”.

Le conoscenze attuali

Ad oggi si conoscono 48 perfetti, il più grande dei quali ha 34.850.340 cifre.

Esempio: 6 = 2¹ · (2² – 1)

Da questo risulta che ogni numero perfetto pari è necessariamente:

• un numero triangolare, visto che si può scrivere

• un numero esagonale, visto che si può scrivere

I primi 10 numeri perfetti sono:

• 6

• 28

• 496

• 8128

• 33 550 336 (8 cifre)

•  8 589 869 056  (10 cifre)

• 137 438 691 328 (12 cifre)

• 2 305 843 008 139 952 128 (19 cifre)

• 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 (37 cifre)

• 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 (54 cifre)

L’undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 314 cifre. Si conoscono solo 48 primi di Mersenne, e quindi 48 numeri perfetti. Il più grande tra questi è

2^57.885.160 × (2^57.885.161 − 1),

formato in base 10 da 34.850.340 cifre.

I primi 39 numeri perfetti sono pari e quindi esprimibili come

2ⁿ(2ⁿ⁺¹ – 1)

con:

n+1 = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917

(Sequenza A000043 della OEIS-On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

Numeri perfetti maggiori

Si conoscono altri 9 numeri perfetti maggiori, con

n+1 = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161

Tuttavia non si è ancora verificato se ve ne sono altri in mezzo.

Non si sa se i numeri perfetti continuino all’infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tutti i numeri perfetti pari terminano con 6 oppure con 8.

Infatti da  2ⁿ · (2ⁿ⁺¹ – 1)  si ha che:

 2ⁿ è pari e termina 2, 4, 8, 6;

(2ⁿ⁺¹ – 1)  è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.

Il valore ‘5’ va scartato in quanto cadrebbe l’ipotesi di primalità, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno i numeri 6 ed 8, finali di ogni numero perfetto

Se la somma dei divisori è maggiore del numero, esso si dice abbondante, se risulta minore, verrà chiamato difettivo.

Numeri lievemente difettivi

Benché esistano infiniti numeri lievemente difettivi, cioè difettivi solo per un’unità, ad esempio 4, i cui divisori sono 1 e 2, la cui somma è uguale a 3, nessuno è ancora riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti.

Tutti i numeri potenza di due sono lievementi difettivi infatti:

se k= 2ⁿ  un divisore di k deve essere una potenza di due e tutte le potenze di due inferiori a k dividono la somma delle prime n-1 potenze di due è  2ⁿ – 1

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BIBLIOGRAFIA

Richard W. Shoemaker, Perfect Numbers, National Council of Teachers of Mathematics, 1973

Martin Gardner, Show di Magia Matematica, Zanichelli, 1980

A. E. Ingham, R. C. Vaughan, The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, 1990

John H. Conway e Richard K. Guy, Il libro dei numeri – Hoepli, 1999

Marcus Du Sautoy, L’enigma dei numeri primi, L’ipotesi di Riemann, il più grande mistero della matematica, Rizzoli, 2004

David Wells, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, Wiley, 2005

Angela Bulloch, Prime Numbers, Walther Konig, 2007

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SITOGRAFIA

Numeri Perfetti su Mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html

Nell’archivio della St Andrew’s University si trova un’ampia presentazione storica dei numeri perfetti:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/perfect_numbers.html

Numeri Perfetti sulla Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number

Nel sito dello Swarthmore College sono elencati per esteso i primi 23 numeri perfetti:
http://forum.swarthmore.edu/dr.math/problems/perfect.html

La più dettagliata presentazione dei numeri perfetti, in quattro lezioni, arriva da Singapore:
http://home1.pacific.net.sg/~novelway/MEW2/lesson1.html

La pagina dei numeri di Mersenne:
http://primes.utm.edu/mersenne/index.html

La pagina dei Numeri Perfetti di Smith, H. J.
http://www.geocities.com/hjsmithh/Perfect/index.html

L’elenco di tutti i Numeri Perfetti:
http://amicable.homepage.dk/perfect.htm

Categorie:L06- Teoria dei numeri - Number Theory

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