Numeri amicabili

Numeri amicabili

Sono numeri amicabili o amici due numeri per cui la somma dei divisori di uno (escluso il numero stesso) è uguale all’altro e viceversa.

Un esempio classico è dato dalla coppia 220 e 284. I due numeri sono amicabili in quanto

  • 220 è divisibile per 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 e la loro somma risulta 284;

  • 284 è divisibile per 1, 2, 4, 71, 142 che sommati tra loro restituiscono proprio 220.

Altri numeri amicabili sono ad esempio le coppie

1184 e 1210,

2620 e 2924,

5020 e 5564,

17296 e 18416.

Negli ultimi dieci anni la ricerca di numeri amicabili ne ha fatto lievitare esponenzialmente la quantità. Al giugno 2006 ne erano noti poco più di 11 milioni, di cui alcuni con migliaia di cifre.

Se un numero è amicabile di se stesso, cioè se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è uguale a se stesso (come il numero 28), è chiamato numero perfetto.

In epoca greca, i numeri amicabili erano noti ai pitagorici, che attribuivano loro un valore mistico.

Nel IX secolo, il matematico arabo Thābit b. Qurra al-Ḥarrānī al-Ṣābiʾ (826-901) trovò un metodo per definire alcune coppie amicabili:

fissato n intero positivo, se i numeri:
p = 3 2n-1 – 1
q = 3 2n – 1
r = 9 22n-1 – 1
sono tre primi dispari, allora la coppia (2npq, 2nr) è una coppia di numeri amicabili

Non tutte le coppie di numeri amici si ottengono con queste formule: un esempio è (1184, 1210).

Nella matematica occidentale moderna, vari celebri studiosi hanno ricercato coppie di amici:

  • Fermat nel 1636 annunciò di avere trovato la coppia (17296, 18416), che però era sicuramente già nota all’arabo Ibn al-Banna de Marrakech (1256-1321), e probabilmente anche al citato Thābit ibn Qurra, poiché si ottiene dalla sua formula per n = 4.
  • Cartesio trovò (9363584, 9437056), che si ottiene dalla solita formula per n=7.
  • Eulero pubblicò nel 1750 una lista comprendente 60 coppie di numeri amicali, ignorando curiosamente la seconda in ordine di grandezza (1184, 1210), che venne poi scoperta nel 1866 da Niccolò Paganini, un giovane studente di 16 anni omonimo del famoso violinista.

In tutti i casi conosciuti, i numeri di una coppia sono o entrambi pari o entrambi dispari, nonostante non siano note ragioni per cui questo debba avvenire necessariamente. Inoltre, ogni coppia conosciuta condivide almeno un fattore.

Non si sa se esistano coppie di numeri coprimi amicabili, ma se esistono è dimostrato che il loro prodotto deve essere maggiore di 1067.

Un gruppo di numeri socievoli è un insieme di numeri in cui ogni numero è amicabile del numero posto accanto ad esso, ed il primo è amicabile dell’ultimo, cosicché i numeri formino una sorta di “catena ciclica”. Nel 1918, il matematico Paul Poulet scoprì il gruppo di numeri socievoli 12 496, 14 288, 15 472, 14 536, 14 264 Se sommiamo i divisori propri di 14 264, otteniamo 1 + 2 + 4 + 8 + 1 783 + 3 566 + 7 132 = 12 496, ovvero il numero che nell’ordine del gruppo viene subito dopo di lui, quindi 14 264 è amicabile di 12 496; il ciclo si ripete nello stesso modo per tutti i numeri. La più lunga catena di numeri socievoli conosciuta è stata scoperta da Ren Yuanhua, e conta 54 numeri.

I numeri fidanzati sono numeri tali che la somma dei divisori di uno (escluso il numero stesso e, a differenza dei numeri amicabili, anche l’1) dà come risultato l’altro, e viceversa. Le coppie di numeri amicabili e le catene di numeri socievoli sono sempre o tutti pari o tutti dispari. Si può osservare, invece, che due numeri fidanzati sono sempre uno pari e l’altro dispari; infatti, Pitagora distinse i numeri pari come femminili e i numeri dispari come maschili. La prima coppia di numeri fidanzati, detti anche “promessi sposi”, è 48 e 75.



Categorie:L06- Teoria dei numeri - Number Theory

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