La matematica di Brahmagupta, il primo a introdurre lo zero

Brahmagupta (Hindi ब्रह्मगुप्त) (598 – 668) è stato un matematico e astronomo indiano.

Gestì l’osservatorio astronomico di Ujjain, e durante la sua permanenza scrisse due opere di matematica ed astronomia: il Brahmasphuta Siddhānta nel 628, ed il Khandakhadyaka nel 665. Oltre a conoscere le 9 cifre e il loro valore posizionale, Brahmagupta usò anche lo zero ed espose regole per le operazioni sui numeri negativi (come regole pratiche per l’addizione di crediti e debiti); diedeà la regola per risolvere una equazione quadratica nel caso più generale, ecc. Più vincolato all’ortodossia, raggiunse posizioni scientificamente meno avanzate del suo predecessore Āryabhata.

Il Brahmasphuta Siddhānta costituisce la fonte più antica conosciuta, eccettuato il sistema di numerazione maya, a trattare lo zero come un numero a tutti gli effetti. Va ben oltre, comunque, enunciando le regole dell’aritmetica sui numeri negativi e sullo zero che sono piuttosto vicine al modo di ragionare moderno. La principale divergenza è costituita dal tentativo di Brahmagupta di definire la divisione per zero, che viene invece lasciata indefinita nella matematica moderna. Per esempio, egli afferma che 0/0 = 0, che sarebbe di ostacolo alla discussione delle discontinuità eliminabili nel calcolo differenziale.

Brahmagupta diede notevoli contributi all’algebra: nella sua opera si trovano soluzioni generali alle equazioni di secondo grado, comprendenti due radici anche nel caso che una di esse sia negativa. Diede parecchi contributi anche allo sviluppo dell’analisi indeterminata. Fu il primo a dare una soluzione generale all’equazione diofantea lineare ax + by = c, dove a, b, c sono numeri interi. Perché questa equazione abbia soluzioni intere occorre che il massimo comune divisore di a e b divida anche c; Brahmagupta sapeva che se a e b sono primi fra loro, tutte le soluzioni dell’equazione sono date da x = p + mb, y = q – ma, dove m è un numero intero arbitrario. Suggerì anche l’equazione diofantea di secondo grado x² = 1 + py², che prende il nome da John Pell (1611-1685), ma che viene usata per la prima volta nel problema archimedeo dei buoi.

L’equazione attribuita a Pell venne risolta per alcuni casi speciali da un altro matematico indiano di epoca posteriore, Bhaskara (1114-1185). Va a Brahmagupta il pieno merito di aver fornito tutte le soluzioni intere dell’equazione diofantea lineare, mentre Diofanto si era limitato a dare una soluzione particolare di un’equazione indeterminata.

Formula di Brahmagupta

La formula di Brahmagupta consente di determinare l’area di un quadrilatero. Nella sua forma più comune, essa consente di determinare l’area di un quadrilatero ciclico (cioè inscrivibile in una circonferenza) una volta note le lunghezze dei lati.

Nella sua forma tipica e più facile da ricordare, la formula di Brahmagupta afferma che l’area di un quadrilatero ciclico i cui lati hanno lunghezze a, b, c, d è uguale a:

dove p è il semiperimetro, ovvero

Generalizzazione ai quadrilateri generici

Nel caso di quadrilateri non ciclici, la formula di Brahmagupta può essere estesa alla Formula di Bretschneider, che coinvolge anche la misura di due angoli opposti del quadrilatero:

dove è la metà della somma di due angoli opposti (la scelta della coppia è irrilevante: se si considerano gli altri due angoli, la metà della loro somma è supplementare a ; dal momento che , abbiamo ).

Una nota proprietà dei quadrilateri ciclici è il fatto che gli angoli opposti sono supplementari. Di conseguenza, in questo caso , pertanto , riducendosi alla forma di base.

Identità di Brahmagupta

In matematica, l‘identità di Brahmagupta, detta anche identità di Fibonacci, afferma che il prodotto di due numeri, ognuno dei quali è la somma di due quadrati di numeri naturali, si può esprimere come somma di quadrati (ed in due modi distinti). In altre parole, l’insieme delle somme di due quadrati è chiuso rispetto alla moltiplicazione. In particolare:

Ad esempio,

Questa identità è utilizzata nella dimostrazione del teorema di Fermat sulle somme di due quadrati. L’identità è valida in qualunque anello commutativo, ma è particolarmente utile nell’insieme dei numeri interi.

Questa identità è un caso speciale (n = 2) dell’identità di Lagrange. Brahmagupta dimostrò ed utilizzò un’identità più generale:

che mostra che l’insieme di tutti i numeri della forma è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

L’identità dei quattro quadrati di Eulero è un’identità analoga con quattro quadrati anziché due. Inoltre, vi è un’identità con otto quadrati, derivata dagli ottonioni, ma non ha implicazioni particolarmente interessanti per i numeri interi perché ogni numero naturale è somma di quattro quadrati (vedi Teorema dei quattro quadrati). Essa è correlata alla periodicità di Bott.

Quest’identità è stata scoperta da, che la generalizzò. La sua opera Brāhmasphuṭasiddhānta fu successivamente tradotta, dal Sanscrito, in arabo da Muḥammad ibn Ibrāhīm al-Fazārī, in seguito in persiano, e infine in latino nel 1126.^[1] L’identità riapparve nel 1225 all’interno del Liber Quadratorum di Leonardo Pisano, meglio noto come Fibonacci (1170-1250). Tuttavia, è possibile che l’identità fosse già nota a Diofanto nel III secolo (Arithmetica – III, 19).

Relazione con i numeri complessi

Se a, b, c e d sono numeri reali, questa identità è equivalente alla proprietà della moltiplicazione dei valori assoluti dei numeri complessi:

dato che

elevando al quadrato entrambi i membri

e ricorrendo alla definizione di valore assoluto,

Applicazione all’equazione di Pell

Nel suo contesto originale, Brahmagupta applicò la sua scoperta alla soluzione dell’equazione di Pell,

Usando l’identità nella forma più generale

osservò che, date due triple (x₁, y₁, k₁) e (x₂, y₂, k₂), soluzioni di x² − Ny² = k, allora anche

è una soluzione della medesima equazione.

Questo non permise soltanto di generare infinite soluzioni di x² − Ny² = 1 partendo da una sola soluzione, ma anche, dividendo ogni membro per k₁k₂, di ottenere spesso soluzioni intere o “quasi intere”. Il metodo generale per risolvere l’equazione di Pell, ad opera di Bhaskara nel 1150, chiamato metodo Chakravala, è basato anche su questa identità.^[2]

Note

1. ^ George G. Joseph (2000). The Crest of the Peacock, p. 306. Princeton University Press. ISBN 0691006598.
2. ^ (2002). Mathematics and its history

   (Springer): 72–76.

Bibliografia

• Carl B. Boyer, Storia della Matematica, Oscar Mondadori, 1990.
• (EN) H.T. Colebrooke, Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmagupta and Bhaskara, 1817.

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