Le Osservazioni sopra i fondamenti della matematica di Ludwig Wittgenstein

Le “Osservazioni sopra i fondamenti della matematica” di Ludwig Wittgenstein consistono in una serie di appunti scritti tra il 1937 e il 1944, raccolti e pubblicati nel 1956.
Wittgenstein attacca, in primo luogo, la fondazione logica della matematica operata da Frege e Russell: le regole di inferenza logica sono arbitrarie e modificabili e non sono eterne e immutabili ; sono regole di un gioco linguistico e danno senso ai segni ; non sono, quindi, né vere né false.

In modo analogo, della successione dei numeri 1,2,3,4,…. non si può dire che è vera, ma che è utile e che viene usata.
Contare è un uso. La correttezza del calcolo è temporale, non eterna. Si può immaginare un calcolare ed un misurare che hanno un senso diverso dal nostro.

La prova logica non è più potente né più ‘vera’ della prova geometrica. La matematica non necessita, quindi, di fondazione logica. La logica precede la verità, non la rispecchia. La matematica è logica perché “si muove tra le regole del nostro linguaggio” (Wittgenstein trad.it.p.64). La costrizione logica è una costrizione psicologica, linguistica, sociale. Ci convince, perché concordiamo sui suoi risultati ; ma tale concordanza, come nel calcolo, è dovuta all’addestramento, all’uso di una tecnica.

Le regole di inferenza logica agiscono come comandi, inducono a proseguire in un certo modo. Una inferenza logica corretta vuol dire ‘condotta in conformità alle regole’ ; ma tali regole sono corrette ? Come si stabilisce la concordanza sulla ‘concordanza’ ? Per rispondere a tali questioni bisogna uscire dal sistema ; sono problemi che esulano dalla logica e dalla matematica. Consideriamo, ad esempio, i colori. “E’ verde”. Ma è vero che è verde ? “Le persone lo chiamano verde”. Wittgenstein lo chiama “i limiti dell’empirismo” (ivi trad.it.p.126).

Wittgenstein non può che accettare le conclusioni di Gödel ; è necessario “cambiare l’atteggiamento nei confronti della contraddizione e della prova di non-contradditorietà” (ivi trad.it.p.139). Quest’ultima istituisce un ordine nel sistema che permette la predizione. Ma vi è una contraddizione nella prova di non-contradditorietà ; essa rende il sistema inutilizzabile per certi scopi; dunque, bisogna evitarla, ma per scopi pratici, non teorici.

La contraddizione ci pone in una situazione in cui “..io, il calcolo, non prendo decisioni” (ivi trad.it.p.171); ci spinge ad abbandonare la dimensione del riflettere per quella dell’agire ; dobbiamo scegliere. E’ ora di superare il “superstizioso timore referenziale del matematico di fronte alla contraddizione” (ivi trad.it.p.70); essa esiste, e dobbiamo conviverci.

Wittgenstein  ridefinisce la ‘matematica’: essa non è che “un miscuglio variopinto di tecniche di prova” (ivi trad.it.p.111); e’ eterogenea e non ben delimitata. La matematica è normativa ; forma una rete di norme. “Il matematico non scopre, inventa” (ivi trad.it.p.64).

Wittgenstein ridefinisce, quindi, il compito della filosofia : essa deve occuparsi delle regole e delle istituzioni dei ‘giochi linguistici’ di cui constano la matematica come il linguaggio quotidiano.

Il calcolo si giustifica da sè come un gioco che si giustifica in base alle proprie regole; ma che cosa vuol dire seguire una regola? Le tracce della riflessione di Wittgenstein su questi argomenti sono documentate già a partire dal 1933, negli appunti raccolti nei Quaderni blu e marrone e poi nelle Osservazioni sopra i fondamenti della matematica , tra il 1937 e il 1944.

La matematica è un insieme molteplice di tecniche, che esibiscono la struttura che è propria di un gioco. Un calcolo infatti é un complesso di operazioni compiute in conformità a certe regole, le quali, come le regole di un gioco, prescrivono o proibiscono determinate mosse. A differenza di altri giochi, però, come per esempio gli scacchi, la matematica può entrare a far parte anche di altri giochi: essa serve anche a contare, a misurare, a fare inferenze e così via. Se cambiassero o scomparissero le regole degli scacchi, la nostra vita quotidiana non ne sarebbe gravemente modificata; ma se cambiassero le regole della matematica, sarebbe ancora possibile la maggior parte dei giochi della vita quotidiana e, in generale, comunicare? Si tratta allora di indagare su che cosa voglia dire in matematica seguire una regola per compiere inferenze e dimostrazioni, chiedendosi anche che cosa succederebbe se non si seguisse quella regola, per esempio se non si effettuassero le inferenze in quel determinato modo che di fatto è impiegato.

La prova o dimostrazione matematica è una successione finita di passi, che possono essere seguiti e, nella loro configurazione grafica, abbracciati con lo sguardo. Ma essa è anche riproducibile e, per questo aspetto, può essere considerata un modello, che costituisce la regola di un procedimento. In quanto modello, la regola non ha bisogno di essere giustificata, proprio come avviene nelle regole della grammatica: la regola (ad esempio, che l’articolo debba precedere il sostantivo) è applicata concretamente e nel suo uso consiste la sua stessa giustificazione. In questo senso, regole e modelli sono convenzioni e non devono essere intese come leggi logiche, inscritte in un mondo esterno ed immutabile, come pretendevano Frege e Russell e come Wittgenstein stesso aveva creduto nel Tractatus . Se si pone il quesito ‘Perché a certe proposizioni o a certi numeri ne seguono determinati altri? ‘, si è portati a rispondere che ciò è dipendente dal fatto che tra numeri o proposizioni esistono relazioni in sè, dotate di intrinseca necessità. Ma questo quesito, per Wittgenstein, è mal formulato; il quesito formulato bene è ‘Perchè a determinate proposizioni o numeri ne facciamo sempre seguire certi altri? ‘. In quest’ultimo caso allora la risposta diventa ‘Perchè ci hanno insegnato a inferire o a contare così e così facciamo nella vita di ogni giorno’. Queste riflessioni di Wittgenstein sulla matematica si accompagnano all’abbandono dell’idea che sia possibile e abbia un senso trovare la forma generale della proposizione, cioè un linguaggio ideale con un’unica struttura portante.

Poiché in matematica la comunicazione avviene attraverso dimostrazioni (II.71), queste diventano ora i giuochi linguistici su cui concentrarsi (I.17).

Il problema di come si apprende un linguaggio si trasforma così nel problema di come si riconosce una dimostrazione come tale (I.61), ed entrambi sono casi particolari di come si apprende una regola correttamente. Wittgenstein ripresenta dunque sia la stessa difficoltà (infiniti comportamenti sono in accordo con ogni esemplificazione finita di qualunque legge di inferenza, I.113), che la stessa soluzione (deduzione corretta è quella che si accorda con il comportamento collettivo, I.116). In particolare, la prassi sociale definisce implicitamente il modo di pensare umano (I.131), e quindi le regole di inferenza (I.155). E la matematica non è un fatto privato (II.67), bensì antropologico (V.26).

Essendo la complessità di una dimostrazione matematica ben superiore a quella di una frase linguistica, l’isolamento delle caratteristiche che rendono una dimostrazione un possibile veicolo di comunicazione costituisce ora un problema che non ha corrispettivo nelle Ricerche. La soluzione proposta da Wittgenstein è che una dimostrazione debba essere visualizzabile (abbracciabile con lo sguardo, I.153) e memorabile (riproducibile con sicurezza, II.1), perché solo allora essa ci convince (II.39).
Particolari oggetti finiti che possono non essere visualizzabili sono le dimostrazioni formali, costituite da un numero potenzialmente illimitato di piccoli passi meccanici, e la cui verificabilità è solo locale (un passo alla volta), e non globale (l’intera dimostrazione) come richiesto dalla condizione di visualizzabilità (II.14). Questa è dunque in conflitto anche con il formalismo.

Poiché la formalizzazione trasforma una dimostrazione comprensibile in una irriconoscibile (II.25), distruggendone il carattere probante (II.43), Wittgenstein ne pone allora in questione non tanto la possibilità, quanto la sensatezza (II.53).

La critica che Wittgenstein i muove ai presupposti filosofici del dibattito sui fondamenti è una critica che si estende oltre le tematiche specifiche di tale dibattito ed investe un’intera tradizione di pensiero. Dietro alle argomentazioni di Frege e Russell, alle dimostrazioni di Cantor e di Dedekind, al programma di Hilbert e al teorema di Gödel, c’è uno sfondo filosofico che la critica serrata di Wittgenstein ci permette di smascherare. Il problema cartesiano della certezza e del dubbio, la questione kantiana del fondamento come ciò che ci deve essere affinché qualcos’altro sia possibile, la domanda sulla possibilità della scoperta in matematica e della possibilità di una conoscenza in generale sono infatti dei motivi di fondo che accompagnano il pensiero dell’autore dal Tractatus fino agli ultimi scritti.

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Le Osservazioni sopra i fondamenti della matematica

Prima edizione: 1988
Einaudi Paperbacks
EINAUDI
pp. XXXV-370
L. 42.000 – € 21,69
ISBN 8806599860

Contributi di
Mario Trinchero

Traduzione di
Mario Trinchero

XIX Introduzione di Mario Trinchero

Osservazioni sopra i fondamenti
della matematica

Parte prima Circa 1937-38

5 1-5
Il problema del seguire una regola.
(Cfr. Ricercbe filosofiche, n.189
sgg.). – Passaggi determinati da una
regola (1-2). Continuazione di una
successione (3). Inesorabilità della
matematica; matematica e verità (4-5).
Osservazione sul misurare (5).

9 6-23
L’inferenza logica. – La parola
«tutti»; l’inferenza da ‘(x) – fx’ a
‘fa’ (10-16). Inferenza e verità
(17-23).

16 24-74.
La prova. – La prova come figura o
modello, paradigma. Esempio della
mano e del pentacolo (25 sgg.). La
prova come immagine di un esperimento
(36). L’esempio delle 100 palline
(36 sgg.). Costruzione di una figura
per mezzo di due parti date (42-72).
La sorpresa matematica. Prova e
convinzione. Matematica ed essenza
(32, 73, 74). La profondità
dell’essenza: il profondo bisogno
della convenzione (74).

33 75-105.
Calcolo ed esperimento. – Il ‘render
manifeste’ le proprietà matematiche.
L’esempio delle 100 palline (75, 86,
88). Il render manifeste le proprietà
di un poligono (76), di una catena
(79, 80, 91, 92). Il misurare (93,
94). Esempi geometrici (96-98).
Proprietà e relazioni interne (1O2-5);
esempi tratti dalla logica dei colori.

43 106-112.
La credenza matematica.

Note biografiche

Ludwig Wittgenstein nacque a Vienna il 26 Aprile 1889. Studiò ingegneria a Berlino e condusse ricerche di aeronautica, che lo portarono ad interessarsi di filosofia della matematica. Nel 1912 studiò a Cambridge con Russell e Moore. Dopo la Prima Guerra Mondiale, per interessamento di Russell, pubblicò il Tractatus logico-philosophicus, che apparve prima in tedesco (1921) e poi in traduzione inglese (1922). Dal 1920 al 1926 si dedicò all’insegnamento elementare in alcuni villaggi austriaci e fece anche il giardiniere in un convento. Nel 1929 ritornò a Cambridge e nel 1930 divenne membro del Trinity College. Nel 1939 successe a Moore alla cattedra di filosofia e logica a Cambridge. Nel 1947 rinunciò alla cattedra  e si ritirò in Irlanda, dove scrisse la seconda parte delle Ricerche filosofiche, che aveva iniziate nel 1941 (saranno pubblicate postume nel 1953). Dopo un soggiorno negli Stati Uniti, ammalatosi di cancro, ritornò a Cambridge e qui morì nel 1951. Ha lasciato moltissimi manoscritti inediti che sono stati pubblicati solo in parte (Osservazioni filosofiche, Quaderni blu e marrone, Osservazioni sui fondamenti della matematica, Lezioni e conversazioni sull’etica, l’estetica e la religione ecc.).

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