Carl Friedrich Gauss- Disquisitiones arithmeticae

Presentazione

Carl Fiedrich Gauss (Brunswick 1777 – Goettingen 1855) era il figlio unico di una coppia di condizioni modeste. Il giovane Carl Fiedrich era un genio precoce: all’età di tre anni sapeva già parlare, leggere e fare di conto. All’età di 10 anni Gauss fu autorizzato a seguire le lezioni di aritmetica di un certo Buttner, persona ben nota per essere piuttosto cinica e irrispettosa (sopratutto nei confronti degli studenti di famiglie povere). Un giorno che gli studenti furono particolarmente turbolenti, Buttner diede loro come compito di punizione di calcolare la somma dei 100 primi numeri: 1+2+3+…+100. Mentre iniziava a dilettarsi al pensiero di quanto la sua mirabile spiegazione avrebbe sgomentato i ragazzi, fu interotto dalla vocina di Gauss: “Il risultato è 5050”; fu Buttner a rimanere sgomento … Non abbiamo notizie certe, ma sembra che le cose siano andate così.
Buttner, tutto sommato, era un uomo intelligente e realizzando che non aveva più niente da insegnare al giovane Gauss, lo raccomandò al duca di Brunswick il quale concesse a Gauss l’aiuto economico per portare a termine gli studi secondari e quelli universitari.
Nel 1799 Gauss presentò la sua dissertazione, una dimostrazione (forse la prima), brillante, del teorema fondamentale dell’algebra.
Nel 1801, all’età di 24 anni, presentò il suo lavoro “Disquisitiones Arithmeticae” che si rilevò subito come una delle contribuzioni più importanti alla teoria dei numeri. In quel lavoro Gauss introdusse alcune nozioni basilari: i numeri complessi (o “immaginari”), la teoria delle congruenze (i “numeri dell’orologio”). Questo lavoro contiene anche una dimostrazione della legge di reciprocità quadratica; un risultato che Gauss giudicava così importante che ne diede varie dimostrazioni durante la sua vita.
Dopo Gauss si dedicò all’astronomia e riuscì a calcolare l’orbita dell’asteroide Ceres con il suo metodo dei “least squares”. Questo gli valse una posizione all’Osservatorio di Goettingen.
Intorno al 1820, Gauss si interessò di fisica (in particolare di elettromagnetismo (“legge di Gauss”)).
Si possono citare ancora tanti altri contributi fondamentali di Gauss: alla teoria delle probabilità (“curva gaussiana”), alla geometria (geodetiche, “teorema egregium”), ecc …
Per via del suo moto “pochi ma buoni” Gauss non pubblicò alcune sue idee perchè le giudicava incomplete (variabili complesse, geometrie non-euclidee, fondamenti matematici della fisica, …). Queste idee furono poi riscoperte da altri matematici. Tra altre cose Gauss si dedicò anche all’economia e dopo uno studio accurato dei mercati finanziari riusci a guadagnare una fortuna personale considerevole.
Gauss, che aveva dato contributi fondamentali anche alla fisica e all’ingegneria, usava dire che la matematica era la regina delle scienze e che l’aritmetica (= la teoria dei numeri) era la regina della matematica.
L’uscita di scena di Gauss fu all’altezza della sua vita: il suo ultimo studente non fu altri che B. Riemann.

—

Disquisitiones arithmeticae (1801)

SERENISSIMO

PRINCIPI AC DOMINO

CAROLO GUILIELMO FERDINANDO

BRUNOVICENSIUM AC LUNEBURGENSIUM DUCI.

PRINCEPS SERENISSIME

Summae equidem felicitati mihi duco, quod Celsissimo nomini Tuo hoc opus inscribere mihi permittis, quod ut Tibi offeram sancto pietatis officio obstringor. Nisi enim Tua gratia, Serenissime Princeps, introitum mihi ad scientias primum aperuisset, nisi perpetua Tua beneficia studia mea usque sustentavissent, scientiae mathematicae, ad quam vehementi semper amore delatus sum, totum me devovere non potuissem. Quin adeo eas ipsas meditationes, quarum partem hoc volumen exhibet, ut suscipere, per plures annos continuare literisque consignare liceret, Tua sola benignitas effecit, quae ut, ceterarum curarum expers, huic imprimis incumbere possem praestitit. Quas quum tandem in lucem emittere cuperem, Tua munificentia cuncta, quae editionem remorabantur, obstacula removit. Haec Tua tanta de me meisque conatibus merita gratissima potius mente tacitaque admiratione revolvere, quam iustis dignisque laudibus celebrare possum. Namque non solum tali me muneri haud parem sentio, sed et neminem ignorare puto, solennem Tibi esse tam insignem liberalitatem in omnes qui ad optimas disciplinas excolendas conferre videntur, neque eas scientias, quae vulgo abstrusiores et a vitae communis utilitate remotiores creduntur, a patrocinio Tuo exclusas esse, quum Tu ipse intimum scientiarum omnium inter se et necessarium vinculum mente illa sapientissima omniumque quae ad humanae societatis prosperitatem augendam pertinent peritissima, penitus perspexeris. Quodsi Tu, Princeps Serenissime, hunc librum, et gratissimi in Te animi et laborum nobilissimae scientiae dicatorum testem, insigni illo favore, quo me tamdiu amplexus es, haud indignum iudicaveris, operam meam me non inutiliter collocasse, eiusque honoris, quem prae omnibus in votis habui, compotem me factum esse, mihi gratulabor

PRINCEPS SERENISSIMEBrunovici mense Iulio 1801.

Celsitudinis Tuae servus addictissimus

C. F. Gauss.

PRAEFATIO.Disquisitiones in hoc opere contentae ad eam Matheseos partem pertinent, quae circa numeros integros versatur, fractis plerumque, surdis semper exclusis. Analysis indeterminata quam vocant seu Diophantea, quae ex infinitis solutionibus problemati indeterminato satisfacientibus eas seligere docet, quae per numeros integros aut saltem rationales absolvuntur plerumque ea quoque conditione adiecta ut sint positivi), non est illa disciplina ipsa, sed potius pars eius valde specialis, ad eamque ita fere se habet, ut ars aequationes reducendi et solvendi (Algebra) ad universam Analysin. Nimirum quemadmodum ad Analyseos ditionem referuntur omnes quae circa quantitatum affectiones generales institui possunt disquisitiones: ita numeri integri (fractique quatenus per integros determinantur) obiectum proprium Arithmeticae constituunt. Sed quum ea, quae Arithmetices nomine vulgo traduntur, vix ultra artem numerandi et calculandi (i. e. numeros per signa idonea e. g. secundum systema decadicum exhibendi, operationesque arithmeticas perficiendi) extendantur, adiectis nonnullis quae vel ad Arithmeticam omnino non pertinent (ut doctrina de logarithmis) vel saltem numeris integris non sunt propria sed ad omnes quantitates patent: e re esse videtur, duas Arithmeticae partes distinguere, illaque ad Arithmeticam elementarem referre, omnes autem disquisitiones generales de numerorum integrorum affectionibus propriis Arithmeticae Sublimiori, de qua sola hic sermo erit, vindicare.

Pertinent ad Arithmeticam Sublimiorem ea, quae Euclides in Elementis L. VII sqq. elegantia et rigore apud veteres consuetis tradidit: attamen ad prima initia huius scientiae limitantur. Diophanti opus celebre, quod totum problematis indeterminatis dicatum est, multas quaestiones continet, quae propter difficultatem suam artificiorumque subtilitatem de auctoris ingenio et acumine existimationem haud mediocrem suscitant, praesertim si subsidiorum quibus illi uti licuit tenuitatem consideres. At quum haec problemata dexteritatem quandam potius scitamque tractationem quam principia profundiora postulent, praetereaque nimis specialia sint raroque ad conclusiones generaliores deducant: hic liber ideo magis epocham in historia Matheseos constituere videtur, quod prima artis characteristicae et Algebrae vestigia sistit, quam quod Arithmeticam Sublimiorem inventis novis auxerit. Longe plurima recentioribus debentur, inter quos pauci quidem sed immortalis gloriae viri P. de Fermat, L. Euler, L. La Grange, A. M. Le Gendre (ut paucos alios praeteream) introitum ad penetralia huius divinae scientiae aperuerunt, quantisque divitiis abundent patefecerunt. Quaenam vero inventa a singulis his geometris profecta sint, hic enarrare supersedeo, quum e praefationibus Additamentorum quibus ill. La Grange Euleri Algebram ditavit operisque mox memorandi ab ill. Le Gendre nuper editi cognosci possint, insuperque pleraque locis suis in his disquisitionibus Arithmeticis laudentur.

Propositum huius operis, ad quod edendum iam annos abhinc quinque publice fidem dederam, id fuit, ut disquisitiones ex Arithmetica Sublimiori, quas partim ante id tempus partim postea institui, divulgarem. Ne quis vero miretur, scientiam hic a primis propemodum initiis repetitam, multasque disquisitiones hic denuo resumtas esse, quibus alii operam suam iam navarunt, monendum esse duxi, me, quum primum initio a. 1795 huic disquisitionum generi animum applicavi, omnium quae quidem a recentioribus in hac arena elaborata fuerint ignarum, omniumque subsidiorum per quae de his quidpiam comperire potuissem expertem fuisse. Scilicet in alio forte labore tunc occupatus, casu incidi in eximiam quandam veritatem arithmeticam (fuit autem ni fallor theorema art. 108), quam quum et per se pulcherrimam aestimarem et cum maioribus connexam esse suspicarer, summa qua potui contentione in id incubui, ut principia quibus inniteretur perspicerem, demonstrationemque rigorosam nanciscerer. Quod postquam tandem ex voto successisset, illecebris harum quaestionum ita fui implicatus, ut eas deserere non potuerim; quo pacto, dum alia semper ad alia viam sternebant, ea quae in quatuor primis Sectionibus huius operis traduntur, ad maximam partem absoluta erant, antequam de aliorum geometrarum laboribus similibus quidquam vi- dissem. Dein copia mihi facta, horum summorum ingeniorum scripta evolvendi, maiorem quidem partem meditationum mearum rebus dudum transactis impensam esse agnovi: sed eo alacrior, illorum vestigiis insistens, Arithmeticam ulterius excolere studui; ita variae disquisitiones institutae sunt, quarum partem Sectiones V, VI et VII tradunt. Postquam interiecto tempore consilium de fructibus vigiliarum in publicum edendis cepi: eo lubentius, quod plures optabant, mihi persuaderi passus sum, ne quid vel ex illis investigationibus prioribus supprimerem, quod tum temporis liber non habebatur, ex quo aliorum geometrarum labores de his rebus, in Academiarum Commentariis sparsi, edisci potuissent; quod multae ex illis omnino novae et pleraeque per methodos novas tractatae erant; denique quod omnes tum inter se tum cum disquisitionibus posterioribus tam arcto nexu cohaerebant, ut ne nova quidem satis commode explicari possent, nisi reliquis ab initio repetitis.

Prodiit interea opus egregium viri iam antea de Arithmetica Sublimiori magnopere meriti, Le Gendre Essai d’une théorie des nombres, Paris a. VI, in quo non modo omnia, quae hactenus in hac scientia elaborata sunt, diligenter collegit et in ordinem redegit, sed permulta insuper nova de suo adiecit. Quum hic liber serius ad manum mihi pervenerit, postquam maxima operis pars typis iam exscripta esset, nullibi, ubi rerum analogia occasionem dare potuisset, eius mentionem iniicere licuit; de paucis tantummodo locis quasdam observationes in Additamentis adiungere necessarium videbatur, quas vir humanissimus et candidissimus benigne ut spero interpretabitur.

Inter impressionem huius operis, quae pluries interrupta variisque impedimentis usque in quartum annum protracta est, non modo eas investigationes, quas quidem iam antea susceperam, sed quarum promulgationem in aliud tempus differre constitueram, ne liber nimis magnus evaderet, ulterius continuavi, sed plures etiam alias novas aggressus sum. Plures quoque, quas ex eadem ratione leviter tantum attigi, quum tractatio uberior minus necessaria videretur (e. g. eae quae in artt. 37, 82 sqq. aliisque locis traduntur), postea resumtae sunt, disquisitionibusque generalioribus quae luce perdignae videntur locum dederunt (Conf. etiam quae in Additamentis de art. 306 dicuntur). Denique quum liber praesertim propter amplitudinem Sect.V in longe maius quam exspectaveram volumen excres- ceret, plura quae ab initio ei destinata erant, interque ea totam Sectionem octavam (quae passim iam in hoc volumine commemoratur, atque tractationem generalem de congruentiis algebraicis cuiusvis gradus continet) resecare oportuit. Haec omnia, quae volumen huic aequale facile explebunt, publici iuris fient, quam primum occasio aderit.

Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus, demonstrationibus syntheticis usus sum, analysinque per quam erutae sunt suppressi, imprimis brevitatis studio tribuendum est, cui quantum fieri poterat consulere oportebat.

Theoria divisionis circuli, sive polygonorum regularium, quae in Sect. VII tractatur, ipsa quidem per se ad Arithmeticam non pertinet, attamen eius principia unice ex Arithmetica Sublimiori petenda sunt: quod forsan geometris tam inexspectatum erit, quantum veritates novas, quas ex hoc fonte haurire licuit, ipsis gratas fore spero.

Haec sunt, de quibus lectorem praemonere volui. De rebus ipsis non meum est iudicare. Nihil equidem magis opto, quam ut iis, quibus scientiarum incrementa cordi sunt, placeant, quae vel hactenus desiderata explent, vel aditum ad nova aperiunt.

DISQUISITIONES ARITHMETICAE.

SECTIO PRIMADE

NUMERORUM CONGRUENTIA IN GENERE.

Numeri congrui, moduli, residua et nonresidua.

1.Si numerus numerorum differentiam metitur, et secundum a congrui dicuntur, sin minus, incongrui: ipsum a modulum appellamus. Uterque numerorum priori in casu alterius residuum, in posteriori vero nonresiduum vocatur.

Hae notiones de omnibus numeris integris tam positivis quam negativis*) valent, neque vero ad fractos sunt extendendae. E. g. et secundum modulum sunt congrui; ipsius secundum modulum residuum, secundum modulum vero nonresiduum. Ceterum quoniam cifram numerus quisque metitur, omnis numerus tamquam sibi ipsi congruus secundum modulum quemcunque est spectandus.

2.Omnia numeri dati residua secundum modulum sub formula comprehenduntur, designante numerum integrum indeterminatum. Propositionum quas post trademus faciliores nullo negotio hinc demonstrari possunt: sed istarum quidem veritatem aeque facile quivis intuendo poterit perspicere.

*) Modulus manifesto semper absolute i. e. sine omni signo est sumendus. Numerorum congruentiam hoc signo, , in posterum denotabimus, modulum ubi opus erit in clausulis adiungentes, (mod. 5), (mod. 11)*).

3.Theorema. Propositis numeris integris successivis

alioque , illorum aliquis huic secundum modulum congruus erit, et quidem unicus tantum.

Si enim integer, erit , sin fractus, sit integer proxime maior, (aut quando est negativus, proxime minor, si ad signum non respiciatur) , cadetque inter et , quare erit numerus quaesitus. Et manifestum est omnes quotientes etc. inter et sitos esse; quare plures quam unus integri esse nequeunt.

Residua minima.

4.Quisque igitur numerus residuum habebit tum in hac serie, tum in hac, quae in residua minima dicemus, patetque, nisi 0 fuerit residuum, bina semper dari, positivum alterum negativum. Quae si magnitudine sunt inaequalia, alterum erit , sin secus utrumque , signi repectu non habito. Unde patet, quemvis numerum residuum habere moduli semissem non superans quod absolute minimum vocabitur.

E. g. secundum modulum habet residuum minimum positivum quod simul est absolute minimum, vero residuum minimum negativum; secundum modulum sui ipsius est residuum minimum positivum, negativum, simulque absolute minimum.

Propositiones elementares de congruentiis.

5.

His notionibus stabilitis eas numerorum congruorum proprietates quae prima fronte se offerunt colligamus.

*) Hoc signum propter magnam analogiam quae inter aequalitatem atque congruentiam invenitur adoptavimus. Ob eandem caussam ill. Le Gendre in comment. infra saepius laudanda ipsura aequalitatis signum pro congruentia retinuit, quod nos ne ambiguitas oriatur imitari dubitavimus. Qui numeri secundum modulum compositum sunt congrui, etiam secundum quemvis eius divisorem erunt congrui.

Si plures numeri eidem numero secundum eundem modulum sunt congrui, inter se erunt congrui (secundum eundem modulum).

Haec modulorum identitas etiam in sequentibus est subintelligenda.

Numeri congrui residua minima habent eadem, incongrui diversa.

6.Si habentur quotcunque numeri etc. totidemque alii etc. illis secundum modulum quemcunque congrui

etc., erit etc. etc.

Si , erit .

7.Si , erit quoque .

Si numerus positivus, hoc est tantummodo casus particularis propos. art. praec., ponendo ibi etc., etc. Si negativus, erit positivus, adeoque unde .

Si , erit . Namque .

8.Si habentur quotcunque numeri etc. totidemque alii etc. his congrui, etc., producta ex utrisque erunt congrua, etc.

Ex artic. praec. , et ob eandem rationem ; eodemque modo quotcunque alii factores accedere possunt.

Si omnes numeri etc. aequales assumuntur, nec non respondentes etc., habetur hoc theorema: Si et integer positivus, erit .

9.Sit functio algebraica indeterminatae , huius formae

etc.designantibus etc. numeros integros quoscunque; etc. vero integros non negativos. Tum si indeterminatae valores secundum modulum quemcunque congrui tribuuntur, valores functionis inde prodeuntes congrui erunt. Sint f, g valores congrui ipsius x. Tum ex art. praec. eodemque modo etc. Hinc

Q. E. D.

Ceterum facile intelligitur, quomodo hoc theorema ad functiones plurium indeterminatarum extendi possit.

10.Quodsi igitur pro x omnes numeri integri consecutivi substituuntur, valoresque functionis X ad residua minima reducuntur, haec seriem constituent, in qua post intervallum m terminorum (designante m modulum) iidem termini iterum recurrunt; sive haec series ex periodo terminorum infinities repetita, erit formata. Sit e.g. et ; tum pro etc., valores ipsius X haec residua minima positiva suppeditant, 1, 4, 3, 4, 3, 1, 4 etc., ubi quina priora 1, 4, 3, 4, 3 in infinitum repetuntur; atque si series retro continuatur, i.e. ipsi x valores negativi tribuuntur, eadem periodus ordine terminorum inverso prodit: unde manifestum est, terminos alios quam qui hanc periodum constituant in tota serie locum habere non posse.

11.In hoc igitur exemplo X neque (mod. 5) fieri potest, multoque minus = 0, aut = 2. Unde sequitur, aequationes , et per numeros integres et proin, uti notum est, per numeros rationales solvi non posse. Generaliter perspicuum est, aequationem X = 0, quando X functio incognitae x, huius formae

A, B, C etc. integri, atque n integer positivus, (ad quam formam omnes aequationes algebraicas reduci posse constat) radicem rationalem nullam habere, si congruentiae secundum ullum modulum satisfieri nequeat. Sed hoc criterium, quod hie sponte se nobis obtulit, in Sect. VIII fusius pertractabitur. Poterit certo ex hoc specimine notiuncula qualiscunque de harum investigationum utilitate efformari.

Quaedam applicationes.12.Theorematibus in hoc capite traditis complura quae in arithmeticis doceri solent innituntur, e. g. regulae ad explorandam divisibilitatem numeri propositi per 9, 11 aut alios numeros. Secundum modulum 9 omnes numeri 1 potestates unitati sunt congruae: quare si numerus propositus habet formam , idem residuum minimum secundum modulum 9 dabit, quod Hinc manifestum est, si figurae singulae numeri decadice expressi sine respectu loci quem occupant addantur, summam hanc numerumque propositum eadem residua minima praebere, adeoque hunc per 9 dividi posse, si illa per 9 sit divisibilis, et contra. Idem etiam de divisore 3 tenendum. Quoniam secundum modulum erit generaliter , et numerus formae secundum modulum 11 idem residuum minimum dabit quod etc.; unde regula nota protinus derivatur. Ex eodem principio omnia similia praecepta facile deducuntur.

Nec minus ex praecedentibus petenda est ratio regularum, quae ad verificationem operationum arithmeticarum vulgo commendantur. Scilicet si ex numeris datis alii per additionem, subtractionem, multiplicationem aut elevationem ad potestates sunt deducendi: substituuntur datorum loco residua ipsorum minima secundum modulum arbitrarium (vulgo 9 aut 11, quoniam in nostro systemate decadico secundum hos, uti modo ostendimus, residua tam facile possunt inveniri). Numeri hinc oriundi illis, qui ex numeris propositis deducti fuerunt, congrui esse debent; quod nisi eveniat, vitium in calculum irrepsisse concluditur.

Sed quum haec hisque similia abunde sint nota, diutius iis immorari superfluum foret.

SECTIO SECUNDADE

CONGRUENTIIS PRIMI GRADUS.

Theoremata praeliminaria de numeris primis, factoribus etc.13.Theorema. Productum e duobus numeris positivis numero primo dato minoribus per hunc primum dividi nequit.

Sit p primus, et a positivus <p: tum nullus numerus positivus b ipso p minor dabitur, ita ut sit (mod. p).

Dem. Si quis neget, supponamus dari numeros b, c, d etc. omnes , ita ut etc. (mod. p). Sit omnium minimus b, ita ut omnes numeri ipso b minores hac proprietate sint destituti. Manifesto erit : si enim b = 1, foret ab = a<p (hyp.), adeoque per p non divisibilis. Quare p tamquam primus per b dividi non poterit, sed inter duo ipsius b multipla proxima mb et (m+1)b cadet. Sit p – mb = b’, eritque b’ numerus positivus et <b. Iam quia supposuimus, (mod. p), habebitur quoque (art. 7), et hinc, subtrahendo , erit ; i. e. b’ inter numeros b, c, d etc. referendus, licet minimo eorum b sit minor. Q. E. A.

14.Si nec a nec b per numerum primum p dividi potest: etiam productum ab per p dividi non poterit. Sint numerorum a, b, secundum modulum p residua minima positiva quorum neutrum erit 0 (hyp.) Iam si esset (mod. p), foret quoque, propter , , quod cum theoremate praec. consistere nequit.

Huius theorematis demonstratio iam ab Euclide tradita, El. VII. 32. Nos tamen omittere eam noluimus, tum quod recentiorum complures seu ratiocinia vaga pro demonstratione venditaverunt, seu theorema omnino praeterierunt, tum quod indoles methodi hic adhibitae, qua infra ad multo reconditiora enodanda utemur, e casu simpliciori facilius deprehendi poterit.

15.Si nullus numerorum a, b, c, d etc. per numerum primum p dividi potest, etiam productum a b c d etc. per p dividi non poterit.

Secundum artic. praec. a b per p dividi nequit; ergo etiam a b c; hinc a b c d etc.

16.Theorema. Numerus compositus quicunque unico tantum modo in factores primos resolvi potest.

Dem. Quemvis numerum compositum in factores primos resolvi posse, ex elementis constat, sed pluribus modis diversis fieri hoc non posse, perperam plerumque supponitur tacite. Fingamus numerum compositum A, qui sit etc., designantibus a, b, c etc. numeros primos inaequales, alio adhuc modo in factores primos esse resolubilem. Primo manifestum est, in secundum hoc factorum systema alios primos quam a, b, c etc. ingredi non posse, quum quicunque alius primus numerum A ex his compositum metiri nequeat. Similiter etiam in secundo hoc factorum systemate nullus primorum a, b, c etc. deesse potest, quippe qui alias ipsum A non metiretur (art. praec). Quare hae binae in factores resolutiones in eo tantummodo differre possunt, quod in altera aliquis primus pluries quam in altera habeatur. Sit talis primus p, qui in altera resolutione m, in altera vero n vicibus occurrat, sitque : Iam deleatur ex utroque systemate factor p, n vicibus, quo fiet ut in altero adhuc vicibus remaneat, ex altero vero omnino abierit. I. e. numeri duae in factores resolutiones habentur, quarum altera a factore p prorsus libera, altera vero vicibus eum continet, contra ea quae modo demonstravimus.

17.Si itaque numerus compositus A est productum ex B, C. D etc., patet, inter factores primos numerorum B, C, D etc. alios esse non posse, quam qui etiam sint inter factores numeri A, et quemvis horum factorum toties in B, C, D etc. coniunctim occurrere debere, quoties in A. Hinc colligitur criterium, utrum numerus B alium A metiatur, necne. Illud eveniet, si B neque alios factores primos, neque ullum pluries involvit, quam A; quarum conditionum si aliqua deficit, B ipsum A non metietur.

Facile hinc calculi combinationum auxilio derivari potest, si etc. designantibus ut supra a, b, c etc. numeros primos diverses: A habere

etc.divisores diversos, inclusis etiam 1 et A.

18.Si igitur etc., etc., atque primi a, b, c etc., k, l, m etc. omnes diversi, patet A et K divisorem communem praeter 1 non habere, sive inter se esse primos.

Pluribus numeris A, B, C etc. propositis maxima omnibus communis mensura’ ita determinatur. Resolvantur omnes in suos factores primos, atque ex his excerpantur ii, qui omnibus numeris A, B, C etc. sunt communes (si tales non adsunt, nullus divisor erit omnibus communis). Tum quoties quisque horum factorum primorum in singulis A, B, C etc. contineatur, sive quot dimensiones in singulis A, B, C etc. quisque habeat, adnotetur. Tandem singulis factoribus primis tribuantur dimensiones omnium quas in A, B, C etc. habent minimae, componaturque productum ex iis, quod erit mensura communis quaesita.

Quando vero numerorum A, B, C etc. minimus communis dividuus desideratur, ita procedendum. Colligantur omnes numeri primi, qui numerorum A, B, C etc. aliquem metiuntur, tribuatur cuivis dimensio omnium quas in numeris A, B, C etc. habet maxima, sicque ex omnibus productum confletur, quod erit dividuus quaesitus.

Ex. Sit . Pro inveniendo divisore communi maximo habentur factores primi 2, 3, quibus dimensiones 3, 2 tribuendi; unde fiet ; dividuus vero communis minimus erit . Demonstrationes propter facilitatem omittimus. Ceterum quoinodo haec problemata solvenda sint, quando numerorum A, B, C etc. in factores resolutio non detur, ex elementis notum.

19.Si numeri a, b, c etc. ad alium k sunt primi, etiam productum ex illis a b c etc. ad k primum est.

Quia enim nulli numerorum a, b, c etc. factor primus cum k est communis productumque a b c etc. alios factores primos habere nequit, quam qui sunt factores alicuius numerorum a, b, c etc., productum a b c etc. etiam cum k factorem primum communem non habebit. Quare ex art. praec. k ad a b c etc. primus.

Si numeri a, b, c ete. inter se sunt primi, aliumque k singuli metiuntur: etiam productum eos illis numerum k metietur.

Hoc aeque facile ex artt. 17, 18 derivatur. Sit enim quicunque producti abc etc. divisor primus p, quem contineat vicibus, manifestumque est, aliquem numerorum a, b, c etc. eundem hunc divisorem vicibus continere debere. Quare etiam k, quem hic numerus metitur, vicibus divisorem p continet. Similiter de reliquis producti a b c etc. divisoribus.

Hinc si duo numeri m, n secundum plures modulos inter se primos a, b, c etc. sunt congrui, etiam secundum productum ex his congrui erunt. Quum enim per singulos a, b, c etc. sit divisibilis, etiam per eorum productum dividi poterit.

Denique si a ad b primus et a k per b divisibilis, erit etiam k per b divisibilis. Namque quoniam a k tam per a quam per b divisibilis, etiam per a b dividi poterit, i. e. erit integer.

20.Quando etc., designantibus a, b, c etc. numeros primos inaequales, est potestas aliqua, puta : omnes exponentes etc. per n erunt divisibiles.

Numerus enim k alios factores primos quam a, b, c etc. non involvit. Contineat factorem vicibus, continebitque sive A hunc factorem vicibus; quare , et integer. Similiter etc. integros esse demonstratur.

21.Quando a, b, c etc. sunt inter se primi, et productum a b c etc. potestas aliqua, puta : singuli numeri a, b, c etc. similes potestates erunt.

Sit etc., designantibus l, m, p etc. numeros primos diversos, quorum nullus per hyp. est factor numerorum b, c etc. Quare productum a b c etc. factorem l implicabit vicibus, factorem m vero vicibus etc.: hinc (art. praec.) etc. per n divisibiles adeoque

etc.

integer. Similiter de reliquis b, c etc.

Haec de numeris primis praemittenda erant; iam ad ea quae finem nobis propositum propius attinent convertimur.

22.Si numeri a, b per alium k divisibiles secundum modulum m ad k primum sunt congrui: et secundum eimdem modulum congrui erunt.

Patet enim per k divisibilem fore, nec minus per m (hyp.); quare (art. 19) per m divisibilis erit, i.e. erit (mod. m).

Si autem reliquis manentibus m et k habent divisorem communem maximum e, erit (mod. ). Namque et inter se primi. At tam per k quam per m divisibilis adeoque etiam tam per quam per , hincque per i.e. per , sive (mod. ).

23.Si a ad m primus , et e, f numeri secundum modulum m incongrui: erunt etiam a e, a f incongrui secundum m.

Hoc est tantum conversio theor. art. praec.

Hinc vero manifestum est, si a per omnes numeros integros a 0 usque ad multiplicetur productaque secundum modulum m ad residua sua minima reducantur, haec omnia fore inaequalia. Et quum herum residuorum, quorum nullum , numerus sit m, totidemque dentur numeri a 0 usque ad , patet, nullum herum numerorum inter illa residua deesse posse.

24.Expressio a x + b, denotantibus a, b numeros datos, x numerum indeterminatum seu variabilem, secundum modulum m, ad a primum, cuivis numero dato congrua fieri potest.

Sit numerus, cui congrua fieri debet, c, et residuum minimum positivum ipsius c – b secundum modulum m, e. Ex art. praec. necessario datur valor ipsius x < m, talis, ut producti a x secundum modulum m residuum minimum fiat e; esto hic valor v, eritque ; unde (mod. m). Q. E. F.

25.Expressionem duas quantitates congruas exhibentem ad instar aequationum, congruentiam vocamus; quae si incognitam implicat, resolvi dicitur, quando pro hac valor invenitur congruentiae satisfaciens (radix). Hinc porro intelligitur, quid sit congruentia resolubilis et congruentia irresolubilis. Tandem facile perspicitur similes distinctiones locum hic habere posse uti in aequationibus. Congruentiarum transscendentium infra exempla occurrent; algebraicae vero secundum dimensionem maximam incognitae in congruentias primi, secundi altiorumque graduum distribuuntur. Nec minus congruentiae plures proponi possunt plures incognitas involventes, de quarum eliminatione disquirendum.

Solutio congruentiarum primi gradus.24.Congruentia itaque primi gradus ex art. 24 semper resolubilis, quando modulus ad a est primus. Quodsi vero v fuerit valor idoneus ipsius x, sive radix congruentiae, palam est, omnes numeros, ipsi v secundum congruentiae propositae modulum congruos, etiam radices fore (art. 9). Neque minus facile perspicitur, omnes radices ipsi v congruos esse debere: si enim alia radix fuerit t, erit , unde , et hinc (art. 22). Hinc colligitur, congruentiam (mod. m) exhibere resolutionem completam congruentiae .

Quia resolutiones congruentiae per valores ipsius x congruos per se sunt obviae, atque, hoc respectu, numeri congrui tamquam aequivalentes considerandi, tales congruentiae resolutiones pro una eademque habebimus. Quamobrem quum nostra congruentia alias resolutiones non admittat, pronunciabimus, unico tantum modo eam esse resolubilem seu unam tantum radicem habere. Ita e. g. congruentia (mod. 11) alias radices non admittit, quam quae sunt (mod. 11). Haud perinde res se habet in congruentiis aliorum graduum, sive etiam in congruentiis primi gradus, ubi incognita per numerum est multiplicata, ad quem modulus non est primus.

27.Superest, ut de invenienda resolutione ipsa congruentiae huiusmodi quaedam adiiciamus. Primo observamus, congruentiam formae , cuius modulum ad a primum supponimus, ab hac pendere: si enim huic satisfacit , illi satisfaciet . At congruentiae , modulo per b designato, aequivalet aequatio indeterminata , quae quomodo sit solvenda hoc quidem tempore abunde est notum; quare nobis sufficiet, calculi algorithmum huc transscripsisse.

Si quantitates A, B, C, D, E etc. ita ab his etc. pendent, ut habeatur

etc.

brevitatis gratia ita eas designamus,

etc.*).

Iam proposita sit aequatio indeterminata , ubi a, b positivi. Supponamus, id quod licet, a esse non . Tum ad instar algorithmi noti, secundum quem duorum numerorum divisor communis maximus investigatur, formentur per divisionem vulgarem aequationes

etc.

ita ut etc. c, d, e etc. sint integri positivi, et b, c, d, e continuo decrescentes, donec perveniatur ad

*) Multo generalius haecce relatio considerari potest, quod negotium alia forsan occasione suscipiemus. Hic duas tantum propositiones adiicimus, quae usum suum in praesenti investigatione habent; scilicet

ubi signum superius accipiendum, quando numerorum multitudo par, inferius, quando impar.

Numerorum etc. ordo inverti potest, .

Demonstrationes quae non sunt difficiles hic supprimimus.

SECTIO TERTIADE

RESIDUIS POTESTATUM.

Residua terminorum progressionis geometricae ab unitate incipientis constituunt seriem periodicam.

45.Theorema. In omni progressione geometrica etc. praeter primum 1, alius adhuc datur terminus , secundum modulum p ad a primum unitati congruus, cuius eocponens

Demonstr. Quoniam modulus p ad a, adeoque ad quamvis ipsius a potestatem est primus, nullus progressionis terminus erit (mod. p), sed quivis alicui ex his numeris congruus. Quorum multitudo quum sit , manifestum est, si plures quam progressionis termini considerentur, omnes residua minima diversa habere non posse. Quocirca inter terminos bini ad minimum congrui invenientur. Sit itaque et , fietque dividendo per (art. 22), ubi , et . Q. E. D.

Ex. In progressione 2, 4, 8 etc. terminus primus, qui secundum modulum 13 unitati est congruus, invenitur . At secundum modulum 23 in eadem progressione fit . Similiter numeri 5 potestas sexta, 15625, unitati congrua secundum modulum 7, quinta vero, 3125, secundum 11. In aliis igitur casibus potestas exponentis minoris quam unitati congrua evadit, in aliis contra usque ad potestatem ascendere necesse est.

46.Quando progressio ultra terminum, qui unitati est congruus, continuatur, eadem, quae ab initio habebantur, residua prodeunt iterum. Scilicet si , erit etc., donec ad terminum perveniatur, cuius residuum minimum iterum erit , atque residuorum periodum denuo inchoat. Habetur itaque periodus t residua comprehendens, quae simulac finita est ab initio semper repetitur; neque alia residua quam quae in hac periodo continentur, in tota progressione occurrere possunt. Generaliter erit , et , id quod per designationem nostram ita exhibetur:

Si (mod. t), erit (mod. p).

47.Petitur ex hoc theoremate compendium potestatum quantumvis magno exponente affectarum residua expedite inveniendi, simulac potestas unitati congrua innotescat. Si ex. gr. residuum e divisione potestatis per 13 oriundum quaeritur, erit propter (mod. 13), ; quare quum sit (mod. 3), erit (mod. 13).

48.Quando est infima potestas unitati congrua (praeter , ad quem casum hic non respicimus), illi t termini, residuorum periodum constituentes omnes erunt diversi, uti ex demonstratione art. 45 nullo negotio perspicitur. Tum autem propositio art. 46 converti potest; scilicet si (mod. p), erit (mod. t). Si enim m, n secundum modulum t incongrui essent, residua eorum minima diversa forent. At , quare i. e. non omnes potestates infra incongruae forent contra hypoth.

Si itaque (mod. p), erit (mod. t) i. e. k per t divisibilis.

Hactenus de modulis quibuscunque si modo ad a sint primi diximus. Iam modulos qui sunt numeri absolute primi seorsim consideremus atque huic fundamento investigationem generaliorem postea superstruamus.

Considerantur primo moduli qui sunt numeri primi.49.Theorema. Si p est numerus primus ipsum a non metiens, atque infima ipsius a potestas secundum modulum p unitati congrua, exponens t aut erit aut pars aliquota huius numeri.

Conferantur exempla art. 45.

Demonstr. Quum iam ostensum sit, t esse aut , aut , superest, ut in posteriori casu t semper ipsius partem aliquotam esse evincatur.

I. Colligantur residua minima positiva omnium horum terminorum , quae per etc. designentur, ita ut sit etc. Perspicuum est, haec omnia fore diversa, si enim duo termini eadem praeberent, foret (supponendo ) atque , Q. E. A. quum nulla inferior potestas quam unitati sit congrua (hyp.). Porro omnes etc. in serie numerorum continentur, quam tamen non exhaurient, quum . Complexum omnium etc. per (A) designabimus. Comprehendet igitur (A) terminos t.

II. Accipiatur numerus quicunque ex his , qui in (A) desit. Multiplicetur per omnes etc., sintque residua minima inde oriunda etc., quorum numerus etiam erit t. At haec residua tum inter se quam ab omnibus etc. erunt diversa. Si enim prior assertio falsa esset, haberetur adeoque dividendo per , contra ea quae modo demonstravimus; si vero posterior, haberetur , unde, quando i. e. alicui ex his etc. congruus contra hyp.; quando vero , sequitur multiplicando per , , sive propter , quae est eadem absurditas. Designetur complexus omnium etc., quorum multitudo , per (B), habebunturque iam numeri ex his . Quodsi igitur (A) et (B) omnes hos numeros complectuntur, fit adeoque theorema demonstratum.

III. Si vero aliqui adhuc deficiunt, sit herum aliquis . Per hunc multiplicentur omnes etc., productorumque residua minima sint etc., omnium complexus per (C) designetur. (C) igitur comprehendet t numeros ex his , qui omnes tum inter se quam a numeris in (A) et (B) contentis erunt diversi. Assertiones priores eodem modo demonstrantur ut in II, tertia ita. Si esset , fieret , aut prout aut , in utroque casu alicui ex (B) congrua contra hyp. Habentur igitur 3t numeri ex his , atque si nulli amplius desunt, fiet , adeoque theorema erit demonstratura.

IV. Si vero etiamnum aliqui desunt, eodem modo ad quartum numerorum complexum (D) progrediendum erit etc. Patet vero, quoniam numerorum multitudo est finita, tandem eam exhaustum iri, adeoque multiplum ipsius t fore: quare t erit pars aliquota numeri . Q. E. D.

Fermatii Theorema.50.Quum igitur sit integer, sequitur evehendo utramque partem congruentiae ad potestatem exponentis , sive semper per p divisibilis est, quando p est primus ipsum a non metiens.

Theorema hoc, quod tum propter elegantiam tum propter eximiam utilitatem omni attentione dignum, ab inventore theorema Fermatianum appellari solet. Vid. Fermatii Opera Mathem. Tolosae 1679 fol. p. 163. Demonstrationem inventor non adiecit, quam tamen in potestate sua esse professus est. Ill. Euler primus demonstrationem publici iuris fecit, in diss. cui titulus Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio, Comm. Acad. Petrop. T. VIII*). Innititur ista evolutioni potestatis , ubi ex coefficientium forma facillime deducitur, semper per p fore divisibilem, adeoque per p divisibilem fore, quando per p sit divisibilis. Iam quia semper per p divisibilis est, etiam semper erit; hinc etiam etc. generaliterque . Quodsi itaque p ipsum a non metitur, etiam per p divisibilis erit. Haec sufficient ad methodi indolem declarandam. Clar. Lambert similem demonstrationem tradidit in Actis Erudit. 1769

*) In comment. anteriore vir summus ad scopum nondum pervenerat. Comm. Petr. T. VI p. 106. — In controversia famosa inter Maupertuis et König, a principio actionis minimae orta, sed mox ad res heterogeneas egressa, König in manibus se habere dixit autographum Leibnitianum, in quo demonstratio huius theorematis cum Euleriana prorsus conspirans contineatur. Appel au public, p. 106. Licet vero fidem huic testiraonio denegare nolimus, certe Leibnitius inventum suum numquam publicavit. Conf. Hist.de l’Ac. de Prusse, A. 1750 p. 530.

p. 109. Quia vero evolutio potestatis binomii a theoria numerorum satis aliena esse videbatur, aliam demonstrationem ill. Euler investigavit, quae exstat Comment. nov. Petr. T. VII p. 70, atque cum ea quam nos art. praec. exposuimus prorsus convenit. In sequentibus adhuc alias quaedam se nobis offerent. Hoc loco unam superaddere liceat, quae similibus principiis innititur, uti prima ill. Euleri. Propositio sequens, cuius casus tantum particularis est theorema nostrum, etiam ad alias investigationes infra adhibebitur.

51.Polynomii . potestas secundum modulum p est

siquidem p est numerus primus.

Demonstr. Constat potestatem polynomii esse compositam e partibus formae , ubi . , et x designat, quot modis p res, quarum respective sunt , permutari possint. At supra art. 41 ostendimus, hunc numerum semper esse per p divisibilem, nisi omnes res sint aequales, i. e. nisi aliquis numerorum sit , reliqui vero . Unde sequitur, omnes ipsius partes, praeter has , per p divisibiles esse; quae igitur, quando de congruentia secundum modulum p agitur, tuto omitti poterunt, fietque

Quodsi iam omnes quantitates ponuntur, numerusque earum =k fiet , uti in art. praec.

Quot numeris respondeant periodi, in quibus terminorum multitudo est divisor datus numeri

52.Quoniam igitur alii numeri quam qui sunt divisores ipsius , nequeunt esse exponentes potestatum infimarum, ad quas evecti numeri aliqui unitati congruifiunt, quaestio sese offert, num omnes ipsius divisores ad hoc sint idonei, atque, quando omnes numeri per p non divisibiles secundum exponentem intimae suae potestatis unitati congruae classificentur, quot ad singulos exponentes sint perventuri. Ubi statim observare convenit, sufficere, si omnes numeri

Categorie:K00.01- Biblioteca di Matematica - Library of Mathematics

Tag:Carl Friedrich Gauss- Disquisitiones arithmeticae