David Hilbert- The Foundations of Geometry (Grundlagen der Geometrie)

The Foundations of Geometry (Grundlagen der Geometrie)

I Fondamenti della geometria di David Hilbert

Presentazione

David Hilbert (Königsberg 1862-Gottinga 1943) si laureò nel 1884 all’Università di Königsberg con una tesi sugli invarianti algebrici, studi a cui si dedicò per alcuni anni conseguendo notevoli risultati. Dal 1886 insegnò in quella università sino al 1895 quando passò in quella di Gottinga, dove restò per tutta la sua carriera accademica. Negli anni immediatamente successivi al suo trasferimento si dedicò allo studio della teoria dei corpi algebrici e dei fondamenti della geometria. Nel 1899 pubblicò i Grundlagen der Geometrie (Fondamenti della geometria), trattato in cui diede la prima esposizione assiomatica della geometria eliminando quelle carenze della struttura deduttiva proprie dell’esposizione euclidea. Secondo Hilbert gli enti indefiniti (punto, linea, piano) hanno carattere unicamente convenzionale, rappresentano cioè uno dei possibili modelli di interpretazione delle leggi, mentre ciò che conta è l’insieme dei legami di tipo logico determinato dalle leggi. Sviluppando le conseguenze logiche di ogni singolo gruppo di assiomi, concluse che i vari tipi di geometria si ottengono dalla soppressione o modificazione di particolari gruppi di assiomi, cosicché non è la verità degli assiomi (la loro evidenza e necessità) che conta, ma il fatto che, se da assiomi arbitrariamente posti non segue contraddizione, allora non solo questi sono veri ma esistono gli enti da essi definiti. Pose così in evidenza l’aspetto formale della geometria e individuò alcune proprietà essenziali degli assiomi quali la coerenza, la completezza e l’indipendenza. Contribuì poi al calcolo delle variazioni, alla teoria delle equazioni integrali e alla fondazione dell’algebra funzionale. In connessione con queste ricerche studiò per primo lo spazio a infinite dimensioni (detto spazio di Hilbert), di fondamentale importanza in topologia e in fisica (meccanica quantistica). Risolse pure il problema relativo alla congettura di E. Waring. Nella relazione al II Congresso internazionale della matematica di Parigi (1900), elencò 23 problemi la cui soluzione ritenne essenziale per un ulteriore progresso della matematica. Relativamente al problema dei fondamenti della matematica, che Hilbert affrontò tra il 1922 e il 1930, sostenne che qualora la presenza di un ente matematico non comporti contraddizione, questo fatto può addursi come prova dell’esistenza di questo ente, anche nel caso in cui non si sia in grado di specificarne la costruzione, e quindi fondare la matematica è in sostanza stabilirne la coerenza. Il carattere deduttivo delle teorie matematiche deve essere precisato ulteriormente attraverso l’assiomatizzazione in particolare dell’aritmetica, dell’analisi e della teoria degli insiemi, ma poiché è impossibile dare una dimostrazione di coerenza di un sistema capace di esprimere le teorie citate senza implicare insiemi infiniti di enti e quindi metodi non finitisti, ne consegue che è necessario operare sulle formule del sistema prescindendo dal loro contenuto, che spesso comporta riferimenti a entità infinite, per considerare solo il loro aspetto formale. Si tratta in sostanza di porre al centro dell’indagine la nozione stessa di dimostrazione e le regole che ne determinano la struttura (teoria della dimostrazione o metamatematica di Hilbert). Questo programma, precisato in una serie di articoli e quindi affrontato da Hilbert e dalla sua scuola (Ackermann, Bernays, Herbrand, von Neumann e altri), dovette essere modificato agli inizi degli anni Trenta quando K. Gödel dimostrò il teorema sulla completezza della logica dei predicati del primo ordine. Quanto conseguito in questa direzione di ricerca fu raccolto da Hilbert (con P. Bernays) nei Grundlagen der Mathematik (1934-39; Fondamenti della matematica). Dal 1909 al 1916 Hilbert si era occupato anche di fisica teorica: per primo aveva applicato la teoria delle equazioni integrali alla teoria cinetica dei gas e alla teoria dell’irraggiamento e aveva operato il primo tentativo di unificare la teoria gravitazionale e l’elettrodinamica.

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Categorie:L02- Biblioteca di Matematica - Library of Mathematics

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