“…le curve algebriche sono create da Dio, le superfici sono opera del Demonio”

Federigo Enriques

Introduzione

Una superficie dello spazio ordinario (e cioè reale) è detta algebrica di grado n se i suoi punti soddisfano un’equazione che si ottiene uguagliando a zero un polinomio di grado n in x, y e z.

Esempi:

La sfera	Il piano	Il cilindro
x2+ y2+ z2 = 1	x + y + z = 1	x2 + y2 = 1
Superficie algebrica di grado 2	Superficie algebrica di grado 1	Superficie algebrica di grado 2

Le superfici algebriche di grado 1 sono i piani e non esistono altre forme diverse di superfici algebriche di grado 1.

I piani sono superfici lisce ossia prive di punti singolari. Dal secondo grado in su, invece, le superfici algebriche possono acquistare un numero finito o anche infinito di punti singolari.

Punti singolari?

I punti di una superficie algebrica si dividono in punti lisci (o non singolari) e punti singolari. Intuitivamente:

• Un punto è liscio quando in un suo intorno, opportunamente piccolo, la superficie può essere scambiata per una porzione di piano.
• Un punto è singolare quando non è liscio e cioè, per quanto l’intorno sia piccolo, la superficie si presenta irregolare e quindi distinguibile da una porzione di piano.

Le superfici algebriche di grado 2, dette quadriche, si dividono in:

• Quadriche lisce
• Quadriche singolari
• Quadriche rigate, ossia unione di rette

Le forme delle superfici di grado 3, dette cubiche, sono estremamente varie e noi ci limiteremo a illustrare le forme dei modelli della collezione:

• Cubiche lisce
• Cubiche singolari
• Cubiche rigate

Le forme delle superfici di grado quattro, dette quartiche, sono ancora più varie e prenderemo in considerazione solo i modelli che fanno parte della collezione: si tratta in tutti i casi di quartiche singolari.

Per concludere illustriamo un modello di superficie di grado otto, unico modello della collezione di grado superiore al quarto. Anche in questo caso si tratta di una superficie singolare.

(Dipartimento di Matematica Università di Torino)

Il Dipartimento “F. Enriques” dell’Università di Milano

Federigo Enriques usava la frase riportata sotto il titolo per dare conto nel 1949 (nell’opera Le superfici algebriche) della difficoltà del problema che, con Guido Castelnuovo, aveva dal 1914 compiutamente risolto: la classificazione (rispetto alle trasformazioni birazionali) delle superfici algebriche, cioè delle superfici che possono essere descritte da un’equazione polinomiale. Le immagini contenute in questo articolo sono le fotografie di alcuni modelli in gesso di superfici algebriche del Dipartimento di Matematica “F. Enriques” dell’Università degli Studi di Milano; ovviamente il modello in gesso è un oggetto tridimensionale ed è la sua “buccia” – che in alcuni casi si dovrà immaginare estesa illimitatamente – ciò che suggerisce l’idea di superficie.
Le tecniche e i concetti elaborati per le curve non sono generalizzabili tout court allo studio delle superfici e ciò da una parte spiega la frase di Enriques e dall’altra dice quanto l’analogia, strumento importante per il ricercatore, qui non sia sufficiente.

I modelli delle foto qui sopra rappresentano superfici individuate da un polinomio di grado 2 o, come si dice brevemente, sono superfici di grado 2 (superfici quadriche), quelli delle foto qui sotto sono superfici di grado 3 (superfici cubiche), mentre quelli della scheda Superfici algebriche II sono superfici di grado 4 (superfici quartiche).

Come si vede, già tra due superfici quadriche le differenze possono essere molte: alcune quadriche sono limitate (ovvero, come la 11269, detta ellissoide, sono tutte contenute in una porzione finita di spazio) altre, come la 11268 o la 11295, no; alcune sono “fatte di un solo pezzo”, altre, come la 11265, no; alcune sono ricoperte da rette, come la 11273 e la 11276 (e i modelli come la 11349 e 11295 mettono maggiormente in evidenza questa proprietà), altre no; alcune sono “lisce”, altre possiedono punti singolari come il vertice del cono giallo che si vede nella 11349 insieme all’altra superficie liscia.

Un problema classico, ma ancora attuale, nello studio delle superfici algebriche è quello relativo alla ricerca di superfici algebriche di grado assegnato che ammettono il massimo numero di punti singolari isolati di una determinata natura. Ad esempio, per le quadriche, il massimo numero di singolarità isolate è uno, per le cubiche il massimo è 4 (e il modello qui sotto a sinistra mostra una superficie cubica con 4 punti singolari, doppi), mentre per le quartiche tale massimo è 16. Una superficie quartica con 16 punti doppi viene detta superficie di Kummer e il modello qui sotto a destra ne illustra un esempio.

In realtà anche i modelli in figura qui sotto rappresentano superfici di Kummer, nonostante vi si vedano solo 8 o 4 punti doppi. Il motivo è che quelle superfici hanno altri punti doppi che nello spazio reale non si possono vedere: sono punti doppi che si vedono solo in uno spazio “più ampio” in cui le coordinate dei punti sono numeri complessi.

La storia della sfida per “mettere in ordine” queste superfici è la storia affascinante di una vittoria, ma soprattutto è un esempio forte di che cosa vuol dire “fare matematica”.
Guido Castelnuovo l’ha descritto così:
“Avevamo costruito, in senso astratto si intende, un gran numero di modelli di superficie del nostro spazio, o di spazi superiori; e questi modelli avevamo distribuito, per così dire, in due vetrine. Una conteneva le superficie regolari per le quali tutto procedeva come nel migliore dei mondi possibili; l’analogia permetteva di trasportare ad esse le proprietà più salienti delle curve piane. Ma quando cercavamo di verificare queste proprietà sulle superfici dell’altra vetrina, cominciavano i guai, e si presentavano eccezioni d’ogni specie. Alla fine lo studio assiduo dei nostri modelli ci aveva condotto a divinare alcune proprietà che dovevano sussistere, con modificazioni opportune, per le superficie di ambedue le vetrine; mettevamo poi a cimento queste proprietà con la costruzione di nuovi modelli. Se resistevano alla prova ne cercavamo, ultima fase, la giustificazione logica.”

Rappresentazione

Le Quadriche Lisce

Le quadriche lisce hanno essenzialmente 5 forme diverse che sono:

l’Ellissoide es.: 12 x2 + 4 y2 + 9 z2 = 36 (la sfera è un ellissoide molto regolare)
l’Iperboloide a una falda	l’Iperboloide a due falde
es.: x2 + y2 – z2 = 1 a una falda significa che è formato da un solo pezzo	es.: x2 – y2 – z2 = 1 a due falde significa che è formato da due pezzi
il Paraboloide ellittico	il Paraboloide iperbolico
es.: 4 x2 + y2 – 4 z = 0	es.: x2 – y2 – 2z = 0 per la sua forma si chiama anche paraboloide a sella

Le Quadriche Singolari

Le quadriche singolari sono, a parte le coppie di piani, i cilindri e i coni quadrici come:

I cilindri

y = 2 x2	x2 + y2 = 1	x2 – y2 = 1

e il cono

x2 + y2 – z2 = 0

I cilindri e i coni sono quadriche singolari poichè sono le uniche quadriche, sempre a parte le coppie di piani, che ammettono punti singolari e per l’esattezza uno. Nel caso del cilindro il punto singolare si trova “all’infinito”, pertanto non si può vedere e la superficie sembra liscia, mentre nel caso del cono il punto singolare è il vertice del cono.

Le Quadriche Rigate

L’iperboloide a una falda e il paraboloide iperbolico sono superfici rigate.

Iperboloide a una falda	Paraboloide iperbolico

Una superficie si dice rigata se è un insieme di rette. In effetti iperboloide a una falda e paraboloide iperbolico sono superfici doppiamente rigate ossia per ogni punto di ciascuna delle due superfici passano due rette che giacciono interamente sulla superficie. Pertanto le rette formano due insiemi, detti schiere, ciascuno dei quali ricopre interamente le due superfici. Due rette della stessa schiera sono sghembe, mentre due rette di schiere diverse sono incidenti, eventualmente all’infinito.

Nell’animazione seguente due rette di schiere diverse sono contraddistinte con colori diversi.

Le Cubiche Lisce

Nella collezione di modelli del Dipartimento vi è un’unica superficie cubica liscia, ovvero senza punti singolari: la Superficie Diagonale di Clebsch.

Le Cubiche Singolari

Le superfici cubiche possono avere un numero finito o infinito di punti singolari. Se una superficie cubica ha un numero finito di punti singolari allora non può averne più di 4.

La collezione dei modelli del Dipartimento comprende diverse superfici cubiche con un numero finito di punti singolari:

Superfici cubiche con un solo punto singolare:

S10	S11	S16	S17	S18	S19

Superfici cubiche con due punti singolari:

S14	S15

Superfici cubiche con tre punti singolari, reali e ben visibili:

S7	S8	S9	S12

Superficie cubica con tre punti singolari, di cui due immaginari:

S13

Superfici cubiche con quattro punti singolari:

Cayley	S3	S4	S5	S6

Le Cubiche Rigate

Se una superficie cubica ha un numero infinito di punti singolari, allora tali punti costituiscono una retta. Esempi di superfici cubiche con una retta doppia sono i seguenti:

S20	S21	S22	S23

In tal caso la superficie cubica è rigata e cioè è costituita da un’unione di rette. Pertanto ogni punto della superficie appartiene a una retta che sta tutta sulla superficie.

Una superficie cubica rigata S è un insieme di rette dello spazio.

Per descrivere tali rette, fissiamo due rette sghembe r, s e una circonferenza C a due a due non complanari (dette curve direttrici della superficie S) e tali che s e C non abbiano punti in comune, mentre r e C ne abbiano uno solo. Consideriamo poi un fascio di piani di asse s. Ogni piano del fascio interseca la circonferenza C in due punti A e B e la retta r in un punto P. Al variare del piano le rette AP e BP generano la superficie S. La retta r costituisce la retta dei punti doppi per S.
Un’animazione illustra il concetto.

Osserviamo che il piano del fascio incontra la circonferenza in due punti che possono essere:

1. reali distinti Û il punto della retta r in cui si incontrano le rette AP e BP è un punto doppio biplanare di S in cui si incontrano due falde reali della superficie S;
2. reali coincidenti Û il punto della retta r in cui si incontrano le rette AP º BP è un punto doppio uniplanare di S in cui si incontrano due falde reali della superficie S;
3. immaginari coniugati Û il punto della retta r in cui si incontrano le rette AP e BP è un punto doppio biplanare di S in cui si incontrano due falde immaginarie della superficie S.

I due punti uniplanari della retta doppia vengono anche detti cuspidali e delimitano il segmento della retta r formato da punti biplanari reali in cui si incontrano due falde reali della superficie. Tale segmento può essere pertanto un segmento limitato o una semiretta o una retta a seconda che i due punti cuspidali siano rispettivamente al finito, uno al finito e uno all’infinito o immaginari coniugati.

Quando la retta s tende ad avvicinarsi sempre più alla retta r otteniamo come superficie limite una superficie cubica rigata, detta di Cayley, dove i due punti cuspidali vengono a sovrapporsi in un unico punto cuspidale (che conta per due!). Ogni altro punto della retta doppia di una superficie rigata di Cayley è un punto biplanare intersezione di due falde reali. L’unico punto cuspidale in questo caso si può trovare al finito o all’infinito.

(Dipartimento di Matematica Università di Torino)

Fonti:

Dipartimento di matematica Università di Torino

Dipartimento di matematica Università di Milano

http://www.dm.unito.it/modelli/teoria/