Escher, la geometria paradossale della realtà

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Escher, la geometria paradossale della realtà

Maurits Escher è nato il 17 giugno del 1898 a Leeuwarden dall’ingegnere idraulico G.A. Escher e dalla moglie di quest’ultimo, Sarah.
Il suo nome completo, dal suono arcano come certe sue opere, è Maurits Cornelis Escher. Nel 1903 si trasferisce con tutta la famiglia ad Arnheim dove dal 1912 al 1918, frequenta il liceo con esiti disastrosi, tanto che alla prova di maturità viene addirittura respinto. “Contagiato” dalla passione per il disegno, a questo periodo, fra l’altro, si fanno risalire alcune incisioni su linoleum.

Dopo grande fatica, riesce però alla fine a strappare la promozione e a conseguire il diploma. Come ogni buon artista che si rispetti, compie un viaggio in Italia, cosa che gli dà modo di osservare i massimi capolavori del passato e di rimanere profondamente affascinato dall’inestimabile sequenza di capolavori che ha modo di ammirare. Qui ha l’ispirazione per numerosi schizzi paesaggistici. Nello stesso anno, viene pubblicato un libretto di poesie di autori vari dal titolo “Fiori di Pasqua” che reca all’interno sue xilografie. Pochissimo portato per gli studi, come si è visto, è costretto a iscriversi alla facoltà di architettura per compiacere il padre, restio all’idea di non avere un figlio laureato, lui ingegnere affermato.

Maurits si stabilisce quindi ad Harlem per seguire i corsi di architettura dell’università ma ben presto la passione per il disegno prende il sopravvento. Com’era facilmente prevedibile, l’architettura non lo interessa più di tanto. Resiste quindi pochi mesi, poi abbandona e si iscrive ai corsi di disegno di S. Jesserun de Mesquita, il quale ebbe un notevole influsso sul suo futuro sviluppo di artista grafico. Si reca anche in Spagna, rimanendo colpito dall’Alhambra, che trova particolarmente interessante per la sua “ricchezza ornamentale” e per “la prodigiosa complessità, nonché per la concezione matematica”, riferendosi in particolare alla decorazione dei mosaici moreschi. In queste affermazioni si avvertono “in nuce”, alcune caratteristiche che poi faranno da base e da sfondo teorico a molte sue produzioni, in considerazione anche del fatto che è proprio in Spagna che scopre la tecnica dei “disegni periodici”, caratterizzati da una divisione regolare della superficie, una costante di certe sue illustrazioni che lo renderanno celebre ed inconfondibile, nonché simbolo di un’arte contaminata dal pensiero scientifico.

Mani che disegnano Maurits C.Escher 1948, Litografia

Escher- Mani che disegnano (Litografia, 1848)

Nel 1923 torna di nuovo in Italia dove incontra la sua futura moglie, la svizzera Jetta Umiker. Evidentemente, l’Italia ha su di lui un effetto calmante e rilassante ma gli porta anche fortuna poiché non solo in questo periodo la sua produzione è ispirata alla natura ma ottiene anche un notevole successo con la sua prima mostra, allestita in una città italiana, Siena. Successivamente, le sue opere vengono conosciute anche all’estero, con mostre via via sempre più numerose (fino a quella organizzata nel suo Pese natale, l’Olanda). Decide quindi di stabilirsi definitivamente in Italia, comprando casa a Roma (e anche qui ha la fortuna di vedere una mostra a lui dedicata e successo di pubblico conseguente).

Autoritratto Maurits C.Escher 1935, Litografia

Escher- Autoritratto (Litografia, 1935)

Comincia ad eseguire le incisioni su pezzi di legno, servendosi di blocchi dalla superficie più dura, che gli permettono di tracciare delle linee sempre più sottili. Negli anni successivi viaggia sempre più frequentemente recandosi, per esempio, in Tunisia o visitando gli Abruzzi a piedi. Nel 1929 esegue la prima litografia “Veduta di Goriano Sicoli, Abruzzi”.

Diventa membro dell’associazione di artisti “De Grafische” e, nel 1932, del “Pulchri Studio”. Nel 1932 viene pubblicato “XXIV Emblemata dat zijn zinnebeelden” con xilografie di Escher.
Nel 1934 tutte le sue opere vennero accolte favorevolmente alla Exhibition of Contemporary Prints, Century of Progress, a Chicago. Intanto, in Italia, si afferma il regime fascista e il paese comincia ad essere percorse da squadracce di picchiatori, camicie nere e affini. A causa dell’irrespirabile clima politico, si trasferisce dunque in Svizzera.

Nel 1938, il 6 marzo, nasce il figlio Jan. Escher si concentra sulle immagini interiori tralasciando la rappresentazione della natura. In seguito, definì questo anno come quello in cui maturò la svolta della sua vita: “In Svizzera e in Belgio ho trovato molto meno interessanti sia i paesaggi che l’architettura rispetto a ciò che avevo visto nel Sud Italia. Mi sono così sentito spinto ad allontanarmi sempre di più dall’illustrazione più o meno diretta e realistica della realtà circostante. Non vi è dubbio che queste particolari circostanze sono state responsabili di aver portato alla luce le mie “visioni interiori”.

Le sue opere grafiche sono celebri per l’uso fantasmagorico degli effetti ottici. Il campionario sviluppato da Escher contempla le sorprese più spettacolari che vanno da illusionistici paesaggi, prospettive invertite, costruzioni geometriche minuziosamente disegnate e altro ancora, frutto della sua inesauribile vena fantastica, che incantano e sconcertano.

Nelle opere di Escher, insomma, l’ambiguità visiva diventa ambiguità di significato, con la conseguenza che i concetti di positivo e negativo, corretto e scorretto sono intercambiabili. Traspaiono dall’opera e dalle invenzioni di questo artista i suoi molteplici interessi e le variegate fonti di ispirazione, che vanno dalla psicologia alla matematica, dalla poesia alla fantascienza.
“La metamorfosi”, realizzata nel 1940 rappresenta una sorta di riassunto delle sue opere.

Metamorphosis I

Metamorphosis I

Metamorphosis II

Metamorphosis II

Due anni dopo venne pubblicato “M.C. Escher en zijn experimenten”. Nel 1941 si trasferisce in Olanda, a Baarn.

Dal 1948 Escher inizia invece una serie di conferenze sulla sua opera, solitamente in concomitanza di mostre personali.

Nel 1954 stabilisce un primo contatto con il mondo scientifico grazie alla sua esposizione al Museo Stedelijk di Amsterdam, che coincide con il Congresso internazionale dei matematici.. Nel 1955 il 30 aprile riceve una onorificenza reale.
Dopo tre anni viene pubblicato “Divisione regolare delle superfici”,inoltre, sempre nel 1958, realizza la sua prima litografia dedicata alle sue celeberrime costruzioni impossibili: “Belvedere”.

Dopo una lunga permanenza in ospedale, nel 1964 viaggiò in Canada, dove viene operato di urgenza. L’anno dopo ricevette il premio della Cultura della città di Hilversum. Venne pubblicato “Simmetry of aspects of M.C. Escher’s Periodic Drawing ” .
Dopo un anno, la città dell’Aia organizza una grande mostra retrospettiva per celebrare il sessantesimo compleanno di Escher.
Nel 1969, in luglio realizza la sua ultima xilografia, “Serpenti”.

Escher- Serpenti

Escher- Serpenti (xilografia, 1969)

Nel 1970 subisce un’operazione e viene ricoverato per lungo tempo in ospedale. Dopodiché si trasferisce in una casa di riposo per artisti a Iaren.
Il 27 marzo del 1972 spira nella casa delle diaconesse di Hilversum.

Divisione regolare del piano, tassellazioni, trasformazioni, aree, geometrie non euclidee

La matematica che utilizza Escher è la geometria, che può essere sviluppata nei seguenti aspetti: tassellazioni, trasformazioni geometriche, aree, geometrie non euclidee, la geometria dello spazio.

L’artista olandese lavora sulla “divisione regolare del piano” della quale egli si occupò dopo aver visitato l’Alhambra di Granada, in cui poté ammirare e successivamente studiare le maioliche, tipica espressione dell’arte islamica. La produzione di pavimentazioni o di disegni di motivi ripetuti caratterizza spesso le culture: se ne possono trovare esempi quasi presso ogni civiltà. L’originalità di Escher sta nella scelta di ricoprire il piano con figure inusuali, soprattutto con animali. A partire da una griglia triangolare, quadrangolare, esagonale ecc. egli pensò di modificare il contorno del poligono-base in modo da ricavarne figure di esseri viventi, cosa che non era concessa dal Corano agli artisti islamici.

Tassellazione

La divisione regolare del piano, detta tassellazione, è l’insieme di forme chiuse che ricoprono il piano completamente senza sovrapporsi e senza lasciare spazi vuoti. Di solito le figure che vengono usate per le tassellazioni sono poligoni e altre forme regolari, tuttavia Escher rimase affascinato da ogni tipo di tassellazione, regolare ed irregolare, sperimentandole a volte anche contemporaneamente in quelle opere dette metamorfosi, dove le figure cambiano e interagiscono con le altre e a volte addirittura si liberano ed abbandonano il piano in cui giacciono.

Significativa è la litografia Rettili: tra i numerosi oggetti che compaiono in essa si nota un foglio sul quale, dopo averlo tassellato con esagoni, sono stati disegnati dei rettili che a un certo punto “prendono vita” e cominciano a salire. Così si esprime l’autore:

“Uno di questi animali […] allunga una zampa al di là del bordo del quaderno e si distacca per entrare nella vita reale. Si arrampica […] per procedere, con fatica, su una salita scivolosa di una squadra da disegno, fino all’apice della sua esistenza. Dopo un breve riposo […] torna verso il basso sulla superficie piatta della carta da disegno, dove, ubbidiente, si inserisce fra i suoi vecchi compagni e riprende la sua funzione di elemento della divisione del piano”

disegno preparatorio

Escher- Rettili, disegno preparatorio

Il ricoprimento è ottenuto mediante figure direttamente congruenti, di tre colori diversi (rosa, verde e bianco) per poterle distinguere. Ci si può chiedere come mai questi rettili ricoprano perfettamente il piano. Per rispondere basta analizzare uno degli esagoni con i quali è stato tassellato inizialmente il foglio e il rettile in esso contenuto: si può verificare che le parti dell’animale esterne all’esagono sono riprodotte con altro colore all’interno; in altre parole, si può vedere come Escher abbia ottenuto il rettile a partire da un esagono dal quale “ha tolto alcuni pezzi” per “attaccarli poi esternamente ad esso” (dunque la superficie della porzione di piano occupata da un rettile deve essere uguale a quella dell’esagono-base!). Se si conoscono le trasformazioni geometriche si può analizzare meglio la tecnica utilizzata; consideriamo, per esempio, un rettile bianco e l’esagono che “lo racchiude”: la zampa posteriore sinistra esce dall’esagono. Appoggiamo un lucido trasparente sul foglio e ricopiamola. Facciamo poi ruotare il lucido in senso orario di 120°: osserviamo che il nostro disegno si sovrappone alla zampa posteriore sinistra di un rettile rosa. Considerazioni analoghe si possono fare per gli altri pezzi esterni all’esagono come una parte del capo del rettile e una parte della zampa posteriore destra. Gli altri tre pezzi, cioè una parte della coda e parti delle zampe anteriori sono state ottenute mediante la tecnica del “copia e incolla” ovvero applicando rotazioni e traslazioni.

Un’altra possibilità è quella di fare una lettura in termini di rasformazioni geometriche: una volta individuato l’elemento-base (un rettile) se ne possono scegliere tre di colori diversi e che abbiano un punto in comune (per esempio, quello comune a tre teste) e si possono studiare le trasformazioni degli uni negli altri. Si ritrova così il gruppo delle rotazioni che mutano un triangolo equilatero in sé, che si può poi vedere come un sottogruppo di quello delle isometrie di un triangolo. In questo modo si affrontano o si ritrovano concetti di geometria delle trasformazioni, ma anche di algebra astratta. Inoltre si può scegliere di lavorare, per esempio, solo con i rettili bianchi e sviluppare il tema delle traslazioni e loro composizione. Si possono anche far applicare o scoprire teoremi di geometria delle trasformazioni mediante esercizi impostati così: si scelgono due animali (che d’ora in poi chiameremo figure, essendo insiemi di punti del piano effettivamente lo sono!) e si chiede di individuare mediante quale tipo di trasformazione si possa passare dall’uno all’altro. In altre parole, scelte per esempio due figure corrispondenti attraverso la composizione di una rotazione e una traslazione, si può chiedere di individuare di che tipo è la trasformazione composta e, una volta stabilito che si tratta di una rotazione, si può chiedere di individuarne centro e ampiezza. La dimostrazione del relativo teorema può risultare indispensabile per comprendere che l’ampiezza è quella della rotazione iniziale e come costruire il centro.

Inizialmente Escher si dedicò al ricoprimento del piano del foglio con motivi ripetuti, spesso identici a parte il colore. A proposito di un suo disegno di questo tipo, Studio di divisione regolare del piano con rettili, l’autore commenta:

Che cosa è stato realizzato con l’ordinata suddivisione della superficie (…)? Non ancora il vero infinito, ma comunque un frammento di esso, un pezzo dell’universo dei rettili. Se la superficie in cui essi si inseriscono fosse infinitamente grande, un numero infinito di essi potrebbe esservi rappresentato.

In questa frase si legge il desiderio dell’artista di rappresentare “l’infinito”; questa sua esigenza è andata via via crescendo e l’ha condotto in effetti a una produzione in questo senso. Si tratta delle opere in cui le figure rappresentate sono ottenute mediante progressivi rimpicciolimenti.

Prospettiva e figure impossibili

Escher è molto colpito dal rapporto esistente tra le dimensioni. Si è soliti rappresentare forme tridimensionali su superfici che non ne hanno che due. Questo antagonismo crea dei “conflitti”. Escher sottomette le leggi della prospettiva a ricerche critiche e trova nuove leggi che sperimenta direttamente sulle sue stampe.

Escher- Belvedere (litografia, 1958)

Escher- Belvedere (litografia, 1958)

Un ragazzo ha in mano un cubo impossibile e osserva perplesso questo oggetto assurdo. Pur avendo in mano gli elementi che gli permettono di notare che qualcosa non va, pare non accorgersi del fatto che l’intero Belvedere è progettato su quella stessa struttura. Escher nel suo primo libro scrive a proposito di quest’opera:

In basso a sinistra giace un pezzo di carta su cui sono disegnati gli spigoli di un cubo. Due piccoli cerchi marcano le posizioni ove gli spigoli si intersecano. Quale spigolo è verso di noi e quale sullo sfondo? E’ un mondo tridimensionale allo stesso tempo vicino e lontano, è una cosa impossibile e quindi non può essere illustrato. Tuttavia è del tutto possibile disegnare un oggetto che ci mostra una diversa realtà quando lo guardiamo dal di sopra o dal di sotto.

Il cubo di cui parla Escher è noto con il nome di cubo di Necker.

A sinistra il cubo di Necker, a destra il cubo impossibile

A sinistra il cubo di Necker, a destra il cubo impossibile

Un’altra delle stampe dette impossibili è Salita e discesa. Rappresenta un complesso di case i cui abitanti, che paiono monaci, camminano in un percorso circolare fatto di scalini. Apparentamente tutto sembra a posto, ma osservando attentamente la figura, ci si accorge che i monaci compiono un percorso sempre in discesa o sempre in salita, lungo una scala impossibile.

Escher- Salita e discesa

Escher- Salita e discesa

Il periodo che va dal 1946 al 1956 può essere indicato, all’interno dell’opera di Escher, come il periodo della prospettiva. Nelle opere che risalgono a questo periodo, egli rivela il suo grande interesse per gli angoli di visione più insoliti. Escher è in grado di produrre scene in cui l’alto e il basso, l’orientamento degli oggetti a destra o a sinistra, dipendono dalla posizione che l’osservatore decide di prendere.
Nelle litografie Salita e discesa, Casa di scale e Relatività, il sopra e il sotto assumono valenze estemporanee, legate al particolare che si sta osservando e a quale parte della figura rappresentata si vuole fare riferimento.
La litigrafia più significativa in questo contesto è In alto e in basso, nella quale l’artista rappresenta, utilizzando un punto di fuga relativo, dei fasci di linee parallele come linee curve e convergenti.
Queste immagini così “innaturali” ricordano da vicino le attuali immagini virtuali che ritroviamo nelle grafiche al computer. In questo contesto l’opera di Escher è molto attuale, essa non solo ha raggiunto milioni si siti internet ma è approdata anche al grande Cinema Holliwoodiano. Ci riferiamo a Casa di scale che viene citata nel film “Nirvana”, di Gabriele Salvatores: durante un’incursione nel ciberspazio, il protagonista ha una visione allucinata e da vertigine, provocata dalla visione delle scale di questo disegno.
Alla fine di questo periodo, nel 1955, si può osservare un ritorno alla prospettiva tradizionale, nell’intento di suggerire l’infinito dello spazio.

La superficie di Möbius

La superficie di Möbius, con le sue proprietà e con la sua particolare forma, è stata scelta da Escher come soggetto per alcune sue opere. Nel 1963 concluse Nastro di Möbius II, un capolavoro non solo rispetto le opere di questo genere ma rispetto tutta la sua produzione.

Osservando attentamente questa immagine ci si accorge che le formiche poste sulla superficie non stanno camminando su lati opposti, come potrebbe sembrare a prima vista. Al contrario esse proseguono una dietro l’altra in fila sull’unica faccia di quella superficie. Vediamo un altra immagine per accertarci di questo fatto.
Quest’opera è stata apprezzata anche per la dinamicità che comunica. Si tenga presente che nel momento in cui è nata non c’era ancora stato il boom delle animazioni al computer. Ma è curioso il fatto che proprio Nastro di Möbius II sia una delle prima immagine ad essere stata animata con Computer Graphics.

Una altra opera notevole sull’argomento è Nastro di Möbius I, questa volta non viene rappresentato semplicemente un Nastro di Möbius, ma quello che possiamo chiamare Bi-Nastro di Möbius. I serpenti infatti rappresentano quelo che succede ad una superficie come quella dell’opera con le formiche, quando la si taglia lungo una linea chiusa posta a distanza costante dal bordo. Abbiamo già osservato che tale taglio non sconnetterà la superficie, infatti se seguiamo i serpenti dell’immagine, vediamo che sono legati tra loro e si mordono la coda a vicenda. Mentre per costruire un Nastro di Möbius basta prendere una striscia di carta e incollarne gli estremi solo dopo aver compiuto un mezzo giro per uno di essi, per costruire un Bi-Nastro di Möobius prima di incollare i lati della striscia è necessario far compiere ad uno di essi due mezzi giri, cioè un giro completo. Lo stesso accade ai serpenti, ecco perché essi sembrano annodarsi due volte.

L’infinito

Nella produzione di Escher gli anni che vanno dal 1956 al 1970 individuano quello che possiamo definire: Periodo dell’Infinito. L’opera migliore di questo periodo è Limite del cerchio III (1959), che sembra sia il frutto dell’ammirazione dell’artista per una illustrazione di un libro di H.S.M. Coxeter. Quest’immagine è un arappresentazione di uno spazio iperbolico il cui modello è dovuto al matematico francese Poincarè. Diamo un’idea dello spazio che Escher ha voluto rappresentare. Poniamoci al centro del disegno e supponiamo di voler camminare fino al bordo di esso. Mentre camminiamo ci restringiamo sempre di più, proprio come accade ai pesci della figura. Per raggiungere il bordo quindi dovremmo percorrere una distanza che ci sembrerà infinita, ma essendo immersi in questo spazio non ci parrà subito ovvio che ci sia qualcosa di inusuale.
Questa rappresentazione dell’infinito anticipa di qualche decennio la formulazione matematica del concetto di frattale ad opera di Beniot B. Mandelbrot.
Anche l’ultima opera della sua vita, Serpenti (1969), che abbiamo già conosciuto, è uno studio sull’infinito. In questo caso lo spazio si scontra con l’infinito non solo nella direzione del bordo ma anche verso il centro del cerchio, producendo un restrigimento in entrambi i sensi. Ma la stampa più igegnosa può essere considerata: Esposizione di Stampe (1956). Giudicando quest’opera secondo i canoni tradizionali dell’estetica, si potrebbero trovare una quantità enorme di difetti. Ma quello che è valido in tutta l’opera di Escher qui è esaltato all’ennesima potenza. Egli ha raggiunto in quest’opera il limite della sua perspicacia e della possibilità di espressione. In quest’immagine una persona si trova all’interno di una galleria d’arte e sta osservando una stampa raffigurante una città marittima che, lungo i portici, ospita un negozio. Quel negozio è una galleria d’arte al cui interno si trova una persona che sta osservando una stampa raffigurante una città marittima… Escher è tornato in qualche modo sul suo soggetto; la persona è sia nell’immagine che al di fuori di essa. Questo effetto è stato ottenuto grazie ad una griglia che l’artista creò in preparazione a quest’opera.

La scala della griglia aumenta con continuità in senso orario, ma questo artificio fa in modo che si crei un buco nel mezzo. Alcuni matematici hanno visto nella griglia un piano di Riemann e nell'irregolarità centrale una singolarità. Escher non trovò alcun modo per saldare quel buco, quindi lo oscurò per porci sopra il suo marchio con le iniziali.

La scala della griglia aumenta con continuità in senso orario, ma questo artificio fa in modo che si crei un buco nel mezzo. Alcuni matematici hanno visto nella griglia un piano di Riemann e nell’irregolarità centrale una singolarità. Escher non trovò alcun modo per saldare quel buco, quindi lo oscurò per porci sopra il suo marchio con le iniziali.

La griglia originale era quella delimitata dai punti ABCD. Successivamente venne ingrandita, pe rpermettere l’inserimento di un maggior numero di dettagli e di particolari che , altrimenti, sarebbero stati tagliati fuori. I corrispondenti punti che delimitano la nuova griglia sono A’B’C’D’.
Vediamo come avviene la distorsione: un quadrato posto in A giungerebbe in B ingrandito di 4 volte, in C ingranfìdito di 16 volte, in D di 64 volte, e tornerebbe in A ingrandito di ben 256 volte. Naturalmente, sarebbe stato impossibile per Escher riprodurre tutti gli stadi di ingrandimento, così rappresentò soltanto i primi due livelli. La base della galleria si ingrandisce prima passando da A’ a B’, e poi ancora da B’ a C’. Allo stesso modo, il quadro con cui l’artista attira la nostra attenzione si ingrandisce passando da B a C e poi da C a D, dopodiché si confonde con la galleria stessa, compenetrandosi con essa a formare un tutt’uno.

Esposizione di Stampe Maurits C.Escher 1956, Litografia

Escher- Esposizione di Stampe (Litografia, 1956)

Sempre più piccolo è una una xilografia in cui sono rappresentati dei rettili che  diventano sempre più piccoli a mano a mano che ci si sposta dall’esterno verso il centro.Escher la commenta così:

“(…) la bisezione delle figure è stata portata all’assurdo. L’animale più piccolo avente ancora una testa, una coda e quattro zampe, è lungo circa 2 mm. Dal punto di vista della composizione questo lavoro è solo in parte soddisfacente”.

sempre più piccolo

M. C. Escher, Sempre più piccolo

Quella che l’autore chiama “bisezione” è un dimezzamento delle lunghezze: lo si può verificare scegliendo un animale nella parte più esterna e, dopo aver individuato quelli “con la stessa forma” che lo“seguono” spostandosi verso il centro, misurando le distanze testa-coda si può prendere spunto da qui per parlare di similitudine e, riprendendo l’argomento area, interrogarsi sul rapporto tra aree di figure simili.

L’insoddisfazione di Escher per i suoi tentativi di rappresentazione dell’infinito trovò risposta quando egli incontrò il matematico Harold Scott Macdonald Coxeter, che gli fece conoscere il cosiddetto modello di
Poincaré del piano iperbolico, basato sulla negazione del V postulato di Euclide. In esso l’artista trovò lo strumento per realizzare ciò che da tempo desiderava. Fece diversi tentativi in questo senso, il primo e più
rudimentale è Cerchio limite I, a cui seguirono, con migliori risultati, le xilografie Cerchio limite II, III e IV. In esse l’artista vide realizzata la rappresentazione dell’infinito, che commentò così:

(…) il limite dell’infinitamente numeroso e dell’infinitamente piccolo viene raggiunto sul bordo circolare.

Le incisioni Cerchio limite si possano considerare tassellazioni nel piano di Poincaré, nel senso che le repliche di una stessa figura sono isometriche in quanto figure del piano non euclideo.

cerchio limite I

M. C. Escher, Cerchio limite I

Fonti: molto materiale per la prerazione di questo saggio è stato ricavato dai siti  MATEPristem e  Progetto geometria dell’Università di Ferrara. Alcune delle immagini provengono dal sito: Il mondo magico di Escher.



Categorie:L14- Matematica e Arte - Art and Mathematics

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