La geometria greca delle curve

La geometria greca delle curve

Le questioni riguardanti le linee curve e le loro proprietà hanno sempre interessato i geometri dell’antichità classica. A parte la retta e il cerchio, il cui dominio su tutta la geometria greca è incontrastato (si pensi al ruolo delle costruzioni con riga e compasso negli Elementi di Euclide), lo sforzo maggiore è diretto verso lo studio delle sezioni coniche (ellisse, parabola e iperbole). Chi ha trattato l’argomento in maniera più esauriente è stato Apollonio di Perga (III sec. a.C.) nella sua opera, le Coniche. Apollonio enuncia e risolve il cosiddetto “problema di Pappo” nel caso di 4 rette. Dopo 500 anni, questo problema verrà enunciato nella sua forma più generale da Pappo; nel 1600 esso fornirà a Descartes il punto di partenza per la nuova geometria.
Le sezioni coniche sono l’unica classe di curve note ai greci: le altre sono linee speciali usate per la risoluzione di problemi particolari come la trisezione dell’angolo, la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo, … Inoltre, nella geometria greca, non vi sono risultati riguardanti la lunghezza di una curva, tanto meno sulle superfici.

Campila di Eudosso

Campila di Eudosso

Cartesian equation:
a2x4 = b4(x2 + y2)
Polar equation:
r = b2/(a cos2(θ))

Circonferenza

Circonferenza

Cartesian equation:
x2 + y2 = a2
or parametrically:
x = a cos(t), y = a sin(t)
Polar equation:
r = a

Cissoide di Diocle

Cissoide di Diocle

Cartesian equation:
y2 = x3/(2ax)
Polar equation:
r = 2a tan(θ)sin(θ)

Concoide

Concoide di Nicomede

Cartesian equation:
(xb)2(x2 + y2) – a2x2 = 0
Polar equation:
r = a + b sec(θ)

Ellisse

Ellisse

Cartesian equation:
x2/a2 + y2/b2 = 1
or parametrically:
x = a cos(t), y = b sin(t)

Iperbole

Iperbole

Cartesian equation:
x2/a2y2/b2 = 1
or parametrically:
x = a sec(t), y = b tan(t)

Linea retta

Linea retta

Cartesian equation:
y = mx + c
or parametrically:
x = at + b, y = ct +d

Parabola

Parabola

Cartesian equation:
y = ax2 + bx + c

Quadratrice di Ippia

Quadratrice di Ippia

Cartesian equation:
y = x cot(πx/2a)
Polar equation:
r = 2/(πsin(θ))

Spirale di Archimede

Spirale di Archimede

Polar equation:
r =

Spirica di Perseo

Spirica di Perseo

Cartesian equation:
(r2a2 + c2 + x2 + y2)2 = 4r2(x2 + c2)

Caustica: Quando la luce riflette su una curva, allora l’inviluppo dei raggi riflessi si chiama caustica per riflessione o catacaustica. Quando la luce è rifratta da una curva, allora l’inviluppo dei raggi rifratti è una caustica per rifrazione o diacaustica.

Evoluta: E’ lo sviluppo delle normali alla curva data. Può essere anche pensata come il luogo dei centri di curvatura.

Inversa: Data una circonferenza C di centro O e raggio r, due punti P e Q sono inversi rispetto a C se OP.OQ = r^2. Se P descrive una curva C1 allora Q descrive una curva C2 chiamata l’inversa di C1 rispetto alla circonferenza C.

Involuta: Se C è una curva e C’ è la sua evoluta, C è chiamata la involuta di C’. Ogni curva parallela a C è anch’essa una involuta di C’. Quindi una curva ha una unica evoluta, ma infinite involute. Viceversa una involuta può essere pensata come curva ortogonale a tutte le tangenti alla curva data.

Pedale: Data una curva C, la curva pedale di C rispetto ad un punto fissato O (chiamato punto pedale) è il luogo dei punti P di intersezione delle perpendicolari da O alle tangenti a C.

Pedale negativa: Data una curva C e un punto fissato O, per un punto P su C si tracci una linea perpendicolare a OP. Lo sviluppo di tali linee al variare di P sulla curva C è la pedale negativa di C. L’ellisse è la pedale negativa di un cerchio se il punto fisso è interno al cerchio, mentre se il punto è esterno è l’iperbole.



Categorie:K03.1- Storia della Matematica classica - Classic Mathematics, K05.1- Geometria euclidea - Euclidean Geometry

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