La geometria greca delle curve

Le questioni riguardanti le linee curve e le loro proprietà hanno sempre interessato i geometri dell’antichità classica. A parte la retta e il cerchio, il cui dominio su tutta la geometria greca è incontrastato (si pensi al ruolo delle costruzioni con riga e compasso negli Elementi di Euclide), lo sforzo maggiore è diretto verso lo studio delle sezioni coniche (ellisse, parabola e iperbole). Chi ha trattato l’argomento in maniera più esauriente è stato Apollonio di Perga (III sec. a.C.) nella sua opera, le Coniche. Apollonio enuncia e risolve il cosiddetto “problema di Pappo” nel caso di 4 rette. Dopo 500 anni, questo problema verrà enunciato nella sua forma più generale da Pappo; nel 1600 esso fornirà a Descartes il punto di partenza per la nuova geometria.
Le sezioni coniche sono l’unica classe di curve note ai greci: le altre sono linee speciali usate per la risoluzione di problemi particolari come la trisezione dell’angolo, la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo, … Inoltre, nella geometria greca, non vi sono risultati riguardanti la lunghezza di una curva, tanto meno sulle superfici.

Campila di Eudosso

Cartesian equation:
a²x⁴ = b⁴(x² + y²)
Polar equation:
r = b²/(a cos²(θ))

Circonferenza

Cartesian equation:
x² + y² = a²
or parametrically:
x = a cos(t), y = a sin(t)
Polar equation:
r = a

Cissoide di Diocle

Cartesian equation:
y² = x³/(2a – x)
Polar equation:
r = 2a tan(θ)sin(θ)

Concoide di Nicomede

Cartesian equation:
(x – b)²(x² + y²) – a²x² = 0
Polar equation:
r = a + b sec(θ)

Ellisse

Cartesian equation:
x²/a² + y²/b² = 1
or parametrically:
x = a cos(t), y = b sin(t)

Iperbole

Cartesian equation:
x²/a² – y²/b² = 1
or parametrically:
x = a sec(t), y = b tan(t)

Linea retta

Cartesian equation:
y = mx + c
or parametrically:
x = at + b, y = ct +d

Parabola

Cartesian equation:
y = ax² + bx + c

Quadratrice di Ippia

Cartesian equation:
y = x cot(πx/2a)
Polar equation:
r = 2aθ/(πsin(θ))

Spirale di Archimede

Polar equation:
r = aθ

Spirica di Perseo

Cartesian equation:
(r² – a² + c² + x² + y²)² = 4r²(x² + c²)

Caustica: Quando la luce riflette su una curva, allora l’inviluppo dei raggi riflessi si chiama caustica per riflessione o catacaustica. Quando la luce è rifratta da una curva, allora l’inviluppo dei raggi rifratti è una caustica per rifrazione o diacaustica.

Evoluta: E’ lo sviluppo delle normali alla curva data. Può essere anche pensata come il luogo dei centri di curvatura.

Inversa: Data una circonferenza C di centro O e raggio r, due punti P e Q sono inversi rispetto a C se OP.OQ = r. Se P descrive una curva C allora Q descrive una curva C chiamata l’inversa di C rispetto alla circonferenza C.

Involuta: Se C è una curva e C’ è la sua evoluta, C è chiamata la involuta di C’. Ogni curva parallela a C è anch’essa una involuta di C’. Quindi una curva ha una unica evoluta, ma infinite involute. Viceversa una involuta può essere pensata come curva ortogonale a tutte le tangenti alla curva data.

Pedale: Data una curva C, la curva pedale di C rispetto ad un punto fissato O (chiamato punto pedale) è il luogo dei punti P di intersezione delle perpendicolari da O alle tangenti a C.

Pedale negativa: Data una curva C e un punto fissato O, per un punto P su C si tracci una linea perpendicolare a OP. Lo sviluppo di tali linee al variare di P sulla curva C è la pedale negativa di C. L’ellisse è la pedale negativa di un cerchio se il punto fisso è interno al cerchio, mentre se il punto è esterno è l’iperbole.

Categorie:K00.03- Storia della Matematica classica - Classic Mathematics, K05.1- Geometria euclidea - Euclidean Geometry

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