Chiusura e finitezza: la matematica di Euclide

Chiusura e finitezza: la matematica di Euclide

Non è un caso che solo la Bibbia superi per numero di edizioni gli Elementi di Euclide: il loro significato nella storia del pensiero occidentale è molto più di quello di un semplice trattato di aritmetica e geometria e costituisce piuttosto il paradigma del ragionamento rigoroso e della conoscenza scientifica.

Euclide operò attorno al 300 a. C. nella colonia di Alessandria, allora di recente fondazione. E’ particolarmente noto per un’opera, gli Elementi, contenente quelli che erano all’epoca i fondamenti della matematica (soltanto dell’aritmetica e della geometria, dato che i Greci ignoravano l’algebra), presentati in struttura assiomatica. Benché gran parte dei contenuti degli Elementi di Euclide non siano originali, quest’opera fu tra le più influenti per lo sviluppo del pensiero e della cultura occidentale.

Una distinzione netta deve essere operata tra il contesto e l’importanza contemporanea dell’opera matematica di Euclide da un lato, e la sua influenza e significato in rapporto ai successivi sviluppi del pensiero occidentale dall’altro. Ci sono pervenute altre quattro opere di Euclide sulle tecniche per risolvere problemi geometrici e sull’applicazione della geometria all’astronomia e alla prospettiva. Tra le opere andate perdute e quelle attribuite, si annoverano trattati di geometria superiore, sulle sezioni coniche, sui metodi di ragionamento logico e scientifico, sull’ottica degli specchi e sulla musica.

Della vita di Euclide e del suo contesto ignoriamo praticamente tutto. Secondo gli antichi commentatori Euclide operò in Alessandria, tra il 320 e il 270 a. C., probabilmente chiamatovi in coincidenza della fondazione della grande Biblioteca, poco dopo il 300 a. C. Il progetto che sottende gli Elementi rimane ipotetico. Certamente non fu scritto come un manuale di propedeutica matematica, poiché l’opera non si adegua all’esposizione elementare, ed è troppo difficile e astratta per rivolgersi a studenti alle prime armi, a causa del suo impianto logico. I compendî di matematica basati in qualche misura sul metodo deduttivo risalgono all’epoca di Ippocrate di Chio (circa 430 a. C.), ma tutto lascia supporre che gli Elementi fossero i primi ad assegnare alla matematica una struttura così rigorosamente assiomatica. Vale a dire che Euclide, in base alle definizioni degli enti che costituiscono i fondamenti della matematica insieme agli “assiomi”, o principî evidentemente ed indiscutibilmente veri che determinano le proprietà essenziali di questi enti, arrivò a dedurre in maniera sostanzialmente rigorosa tutta l’aritmetica e la geometria elementari. Perciò dalla verità evidente e necessaria dei primi principî e dal rigore della successiva deduzione, viene garantita la verità certa di tutta la matematica.

Dei cinque assiomi (così come delle numerose definizioni) proposti da Euclide, uno (il quinto, che tratta dell’intersezione tra un segmento e due linee parallele e che porta come conseguenza all’unicità della parallela per un punto a una retta data) venne considerato problematico fin dall’antichità. Lo studio di questo assioma e delle sue alternative (da parte, tra gli altri, di Gauss nel sec. 19°) generò differenti geometrie. I filosofi dei secc. 5° e 4° avevano a lungo dibattuto quali definizioni e assiomi fossero in grado di costituire i punti di partenza da cui dedurre con assoluta certezza l’intera costruzione del corpo di conoscenze aritmetiche e geometriche, ed è probabile che il compendio assiomatico di Euclide fosse concepito per risolvere definitivamente la questione.

Sebbene i matematici greci a lui posteriori fossero generalmente assai rigorosi, non sopravvive alcun tentativo di ampliamento degli assiomi euclidei che eguagli gli Elementi. Non è chiaro se Euclide conoscesse le idee di Aristotele sulla natura dei principî su cui dovrebbe fondarsi la deduzione logica e scientifica. È facile interpretare l’opera di Euclide come un processo di assiomatizzazione della matematica ispirato alla trattazione aristotelica sul metodo deduttivo e sui principî primi della scienza; ma Aristotele, di converso, può aver discusso le implicazioni filosofiche dell’opera dei matematici della metà del sec. 4° i quali furono, a loro volta, le fonti e i predecessori di Euclide.

L’influenza degli Elementi su altri matematici non fu immediata (né Apollonio né Archimede li considerano fondamentali), e soltanto attorno al sec. 2° o 1° a. C. iniziarono a essere considerati come uno dei fondamenti della matematica. Tuttavia, nel giro di alcuni secoli, gli elementi pre-euclidei cessarono di essere commentati dai matematici successivi e andarono persi.

Le notizie che abbiamo sulla vita di Euclide e risalgono essenzialmente al commento di Proclo (V secolo d.C.). Dice Proclo:” Euclide dovette vivere al tempo del primo Tolomeo, poiché Archimede, che viene subito dopo, parla di Euclide”. Quindi il nostro Euclide non è l’Euclide di Megara con il quale è stato confuso per un certo tempo, ma è Euclide di Alessandria, poiché fu chiamato là ad insegnare la matematica.

Euclide rappresenta il punto di arrivo di tutta una ricerca matematica che era fiorita almeno nei tre secoli precedenti. Personaggi come Talete e Pitagora non hanno lasciato dietro di sè alcuno scritto, mentre in questo periodo, pochi secoli più tardi, si trovano vari documenti del genere, a testimoniare il grande cambiamento intervenuto dagli inizi nella Matematica greca. L ’opera di Euclide costituiva una cosa talmente nuova, talmente vasta, definitiva e inattaccabile da suscitare grandissima sensazione ed, al tempo stesso, da far apparire come inutili le opere dello stesso tipo che erano state scritte prima di questa.

Euclide unificò nel suo libro l’opera di molte scuole, ma anche quella di individui isolati: la sua esposizione costituisce la sintesi della storia della Matematica di un’epoca, raccogliendo il frutto del movimento di revisione dei fondamenti della Geometria ma soprattutto (secondo la via tracciata dalla logica di Aristotele) costruisce la scienza secondo una rigida sistematicità, partendo dalle basi, in modo che una verità derivi necessariamente da un’altra. La sintesi è creata per via puramente deduttiva, mediante un graduale ed ordinato sovrapporsi delle conoscenze matematiche.

Secondo lo storico della matematica Kline:

Nessun’altra creazione umana ha dimostrato, più delle centinaia di dimostrazioni di Euclide, in quale misura la conoscenza umana possa derivare dal solo ragionamento; la deduzione di numerosi e profondi risultati insegnò ai greci e alle civiltà successive il potere della ragione. I successori di Euclide appresero come debba procedere un ragionamento perfetto, in che modo si possa distinguere un ragionamento esatto da vaghe declamazioni. E con lo sviluppo della bella struttura e dell’eleganza del ragionamento la matematica fu trasformata dai greci da strumento per il progresso di altre attività in una vera e propria arte. I greci insistettero sulla tesi che le conclusioni matematiche debbano essere stabilite solo col ragionamento deduttivo.

Per Euclide il concetto di Eudosso era fondamentale: lo vediamo infatti applicato negli Elementi, nella dimostrazione che i cerchi stanno tra loro come i rispettivi diametri per provare che i volumi di due piramidi triangolari di uguale altezza stanno tra loro nello stesso rapporto dell’area delle basi.

Lo spazio geometrico può essere visto come risultato di parti semplici e indivisibili, e si tramuta in un modello indefinito di entità attuali, Whithead vede in esso il modello ideale della pura potenzialità, indicando per contrapposizione nell’atomismo il prototipo dell’attualità. Il tentativo di fondare il primo sul secondo, cioè il continuo sulla presunta attualità di componenti puntuali, non si rivelò realizzabile se non con l’esplicito richiamo ad una trascendenza o, per lo meno, ad una libera creazione di entità irraggiungibili con i mezzi della pura razionalità.


Benché i greci fossero entrati in possesso di un metodo infinitesimale rigorosamente logico, non venne loro in mente di generalizzarlo. Impiegarono al contrario la dimostrazione per esaustione in ciascun caso isolatamente, come appunto negli Elementi, e continuarono a cercare le quadrature e la cubature coi metodi che a loro sembravano più confacenti allo spirito della vera Geometria.

Negli Elementi troviamo quelle caratteristiche di chiusura e finitezza dominanti nel pensiero greco. Per esempio, la linea retta non è mai considerata nella sua interezza, e un segmento di linea “può” essere esteso nelle due direzioni. In tal senso Euclide pensa alla retta non come attualmente illimitata, ma come potenzialmente illimitata nel senso che, a qualsiasi insieme infinito dato (cioè il segmento), si possono aggiungere altri elementi (cioè altri segmenti).

Le altre opere di Euclide

Euclide e gli Elementi vengono spesso considerati come sinonimi: in realtà l’autore degli Elementi era anche autore di una dozzina di trattati che coprivano vari argomenti, dall’ottica all’astronomia, dalla musica alla meccanica. Purtroppo solo altre quattro opere sono pervenute sino a noi:

Dati

Ci è pervenuta sia nella sua versione greca originale sia in una traduzione araba. Sembra che tale opera sia stata composta per essere usata al Museo di Alessandria come volume sussidiario ai primi sei libri degli Elementi. Doveva servire come guida all’analisi di problemi di geometria al fine di scoprire le dimostrazioni. Si apre con quindici definizioni concernenti grandezze e luoghi. Il testo comprende novantacinque proposizioni riguardanti le implicazioni di condizioni e grandezze che possono essere date in un problema.

Divisione delle figure

Il testo originale greco è andato perduto, ma prima della sua scomparsa ne fu fatta una traduzione araba (che trascurava alcune delle dimostrazioni originali perché facili), la quale fu a sua volta tradotta in latino. Essa comprende una raccolta di trentasei proposizioni concernenti la divisione di figure piane. Per esempio la Proposizione 1 chiede di costruire una retta che sia parallela alla base di un triangolo e divida il triangolo in due aree uguali. Altre proposizioni chiedono di effettuare la divisione di un parallelogramma in due parti uguali mediante una retta passante per un punto dato giacente su uno dei lati (Prop. 6) oppure per un punto dato che si trovi al di fuori del parallelogramma (Prop. 10). L’ultima proposizione chiede di effettuare la divisione di un quadrilatero secondo un rapporto dato per mezzo di una retta passante per un punto giacente su uno dei lati del quadrilatero.

Fenomeni

E’ un’opera di geometria sferica ad uso degli astronomi. Gran parte del materiale descritto deriva probabilmente dalla tradizione manualistica nota in quel periodo.

Ottica

E’ uno dei primi trattati sulla prospettiva, ossia la geometria della visione diretta. Gli antichi avevano diviso lo studio dei fenomeni ottici in tre parti: l’ottica, o geometria della visione diretta; la catottrica, o la geometria dei raggi riflessi; la diottrica, o la geometria dei raggi rifratti. Un’opera che porta il titolo Catottrica viene talvolta attribuita ad Euclide, ma è di dubbia autenticità. L’Ottica [21] di Euclide è notevole per l’esposizione di una teoria “emissiva” della visione secondo la quale l’occhio emette raggi che attraversano lo spazio fino a giungere agli oggetti; tale teoria si contrapponeva alla dottrina di Aristotele secondo la quale una sorta di azione si trasmetteva attraverso un mezzo in linea retta dall’oggetto all’occhio. Uno degli obiettivi di questa opera era quello di combattere il concetto epicureo secondo il quale le dimensioni di un oggetto erano quelle che apparivano alla vista, senza tenere conto dell’impiccolimento dovuto alla prospettiva.

Fra le opere andate perdute ricordiamo Sui luoghi superficiali, Pseudaria, Porismi e un trattato sulle coniche. Nel sito Le altre opere di Euclide [22] è possibile trovare alcune informazioni sulle opere minori di Euclide, sia quelle conservate che quelle andate perdute, come anche nel sito Un’introduzione al lavoro di Euclide [23], nella sezione delle opere perdute e delle opere esistenti.

Gli Elementi non sono un compendio della matematica dell’epoca, bensì un manuale introduttivo che abbraccia tutta la matematica “elementare”, cioè l’aritmetica (la teoria dei numeri), la geometria sintetica (dei punti, delle linee, dei piani, dei cerchi e delle sfere) e l’algebra (non nel senso moderno dell’algebra simbolica, ma di un equivalente in termini geometrici). L’arte del calcolo non è inclusa: questa, infatti, non faceva parte dell’educazione superiore. E neppure lo studio delle coniche o delle curve piane superiori fa parte del libro, poiché costituiva una branca più avanzata della matematica. Così com’è, il trattato euclideo si limita a presentare una sobria e logica esposizione degli elementi fondamentali della matematica elementare.

La prima pagina degli Elementi nella traduzione a cura di Campano pubblicata nel 1482.

Gli Elementi sono divisi in tredici libri, dei quali i primi sei riguardano la geometria piana elementare, i tre successivi la teoria dei numeri, il Libro X gli incommensurabili e gli ultimi tre la geometria solida. Tuttavia molte edizioni antiche contengono altri due libri che la critica più recente attribuisce rispettivamente a Ipsicle (II secolo a.C.) e a Isidoro di Mileto (IV secolo d.C.).

Guardiamo ora in dettaglio il contenuto dei singoli libri.

Libro I.

Definizioni (23)
Postulati (5)
Nozioni comuni (5)
Proposizioni (48)

Questo libro inizia bruscamente con un elenco di definizioni. La debolezza di questa parte sta nel fatto che alcune di queste non definiscono nulla; infatti non c’è nessun elenco preliminare di elementi indefiniti, in termini dei quali si debbano definire gli altri elementi. Dire che

un punto è ciò che non ha parti,

una linea è una lunghezza senza larghezza,

una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza,

non significa definire tali entità, poiché una definizione deve essere espressa in termini di concetti che vengono prima e che sono più noti delle cose definite.
La maggior parte delle proposizioni di questo libro sono familiari a chiunque abbia studiato geometria in una scuola superiore. Esse comprendono i teoremi sulla congruenza dei triangoli, sulle costruzioni semplici con riga e compasso, sulle disuguaglianze concernenti gli angoli e i lati di un triangolo, sulle proprietà delle rette parallele e sui parallelogrammi. Il Libro si chiude (Prop. 47 e 48) con la dimostrazione del teorema di Pitagora e del suo reciproco. La dimostrazione del teorema è diversa da quella in cui si applicano proporzioni tra i lati dei triangoli simili formati dall’altezza che viene abbassata sull’ipotenusa. Euclide si servì invece di una elegante dimostrazione basata su una figura che viene talvolta descritta come un mulino a vento (Fig. 1), di cui possiamo vedere una animazione nel sito Un dimostrazione suggerita dal teorema di Pappo [26].

Fig. 1

Si ritiene che questa dimostrazione fosse originale di Euclide.

Libro II.

Definizioni (2)
Proposizioni (13)

E’ molto breve e tuttavia molto importante: contiene infatti un’algebra geometrica che serve più o meno agli stessi scopi della nostra algebra simbolica.

Libro III.

Definizioni (11)
Proposizioni (37)

Tratta la geometria del cerchio che probabilmente Euclide ha attinto da Ippocrate di Chio. Vengono presentati teoremi sulle posizioni reciproche di una retta e un cerchio e di due cerchi, sulle proprietà delle corde e delle tangenti, sulle relazioni tra angoli e archi e tra angoli al centro e angoli alla circonferenza. La prima proposizione, per esempio, chiede di effettuare la costruzione del centro di un cerchio; l’ultima proposizione contiene il noto teorema secondo il quale, se da un punto esterno a un cerchio si tracciano una tangente e una secante, il quadrato costruito sulla tangente è uguale al rettangolo formato dall’intera secante e dal suo segmento esterno.

Libro IV.

Definizioni (7)
Proposizioni (16)

Le proposizioni trattano come inscrivere e circoscrivere ad un cerchio un triangolo, un quadrato, un pentagono regolare e come costruire un esagono e un pentadecagono inscritti in un cerchio.

Libro V.

Definizioni (18)
Proposizioni (25)

Riguarda la teoria generale delle proporzioni. Alcuni commentatori hanno avanzato l’ipotesi che tutto il libro sarebbe opera di Eudosso, ma ciò sembra poco verosimile. Alcune definizioni (come quella di rapporto) sono così vaghe da risultare inutili. La Definizione 4, però, è essenzialmente l’assioma di Eudosso e Archimede:

Si dice che due grandezze stanno in rapporto l’una con l’altra, quando, se moltiplicate, sono in grado l’una di superare l’altra.

Questo libro tratta di questioni fondamentali. Si apre con proposizioni che sono equivalenti alle proprietà distributive sinistra e destra della moltiplicazione rispetto all’addizione, alla proprietà distributiva sinistra della moltiplicazione rispetto alla sottrazione e alla proprietà associativa della moltiplicazione (ab)c = a(bc). Seguono poi le regole per le espressioni “maggiore di” e “minore di” e le proprietà delle proporzioni.

Libro VI.

Definizioni (11)
Proposizioni (37)

Euclide fa uso della teoria delle proporzioni del Libro precedente per dimostrare teoremi concernenti rapporti e proporzioni relativi a triangoli, parallelogrammi o altri poligoni simili. Notevole è la Proposizione 31, che rappresenta una generalizzazione del teorema di Pitagora:

Nei triangoli rettangoli, la figura costruita sul lato che sottende l’angolo retto è uguale alle figure simili e similmente costruite sui lati che contengono l’angolo retto.

Proclo attribuisce questa generalizzazione allo stesso Euclide. Questo Libro contiene anche (nelle Prop. 28 e 29) una generalizzazione del metodo di applicazione delle aree: infatti ora l’autore era in grado di usare liberamente il concetto di similitudine.

Libro VII.

Definizioni (22)
Proposizioni (39)

Si apre con una serie di definizioni che individuano diversi tipi di numeri: dispari e pari, primi e composti, piani e solidi, infine quelli perfetti. I numeri sono rappresentati da un segmento: così Euclide indicherà un numero AB. Pertanto non usa le espressioni “è un multiplo di” o “è un fattore di”, ma si serve rispettivamente delle espressioni “è misurato da” e “misura”.
Le prime due proposizioni costituiscono la regola della teoria dei numeri nota come l'”algoritmo di Euclide” per trovare il massimo comune divisore di due numeri. Vi sono poi altre proposizioni sui numeri primi e su come trovare il minimo comune multiplo.

Libro VIII.

Proposizioni (27)

Si apre con una serie di proposizioni concernenti numeri in proporzione continua (progressione geometrica) e quindi si volge a trattare alcune semplici proprietà dei quadrati e dei cubi, terminando con la Proposizione 27:

Numeri solidi simili hanno l’uno con l’altro il rapporto che un numero cubo ha con un numero cubo

Questa affermazione significa semplicemente che, se abbiamo un “numero solido” ma·mb·mc e un “numero solido simile” na·nb·nc, allora il loro rapporto sarà m³ : n³, ossia staranno tra loro come un cubo sta a un cubo.

Libro IX.

Proposizioni (36)

Ultimo dei tre Libri dedicati alla teoria dei numeri, contiene molti teoremi che presentano un interesse particolare. Fra questi il più famoso è la Proposizione 20:

I numeri primi sono più di una qualsiasi assegnata moltitudine di numeri primi.

In altri termini, Euclide presenta qui la ben nota dimostrazione elementare del teorema secondo cui il numero dei numeri primi è infinito. La dimostrazione è indiretta: si mostra infatti che l’ipotesi dell’esistenza di un numero finito porta a una contraddizione. Per esaminare i passaggi di questa dimostrazione si deve accedere al sito Il teorema di Euclide (Dimostrazione) [27].
La Proposizione 35 contiene una formula per la somma di numeri in progressione geometrica espressa in termini eleganti ma insoliti:

Se tanti numeri quanti se ne vuole sono in proporzione continua, e dal secondo e dall’ultimo si sottraggono numeri uguali al primo, allora come l’eccesso del secondo starà al primo, così l’eccesso dell’ultimo starà a tutti quelli che lo precedono.

La successiva, e ultima proposizione, è la ben nota formula per i numeri perfetti:

Se tanti numeri quanti ne vogliamo, a cominciare dall’unità, vengono posti continuamente in proporzione doppia fino a che la somma di tutti i numeri non diventi un numero primo, e se la somma viene moltiplicata per l’ultimo numero, il prodotto sarà un numero perfetto.

Euclide non da alcuna risposta alla domanda inversa, ossia se la sua formula fornisca o no tutti i numeri perfetti. Sappiamo oggi che tutti i numeri perfetti pari sono del tipo euclideo, ma la questione dell’esistenza di numeri perfetti dispari costituisce ancora un problema irrisolto. La ventina di numeri perfetti oggi noti sono tutti pari, ma trarne per induzione la conclusione che debbano essere tutti pari sarebbe azzardato.

Libro X.

Definizioni (16)
Proposizioni (115)

Esso presenta una classificazione sistematica dei segmenti incommensurabili della forma , , , ove a e b, quando sono della stessa dimensione, sono commensurabili. Oggi saremmo inclini a considerare questo Libro come un trattato sui numeri irrazionali del tipo suddetto, ove a e b sono numeri razionali. Ma Euclide considerava questo Libro come facente parte della geometria, piuttosto che dell’aritmetica.

Libro XI.

Definizioni (28)
Proposizioni (39)

Il Libro comprende trentanove proposizioni riguardanti la geometria tridimensionale. Anche qui le definizioni sono facilmente criticabili: Euclide infatti definisce un solido come

ciò che ha lunghezza, larghezza e profondità

e quindi ci dice che

una estremità di un solido è una superficie.

Le ultime quattro definizioni riguardano quattro dei cinque solidi regolari. Non viene incluso il tetraedro, forse per il fatto che era stata precedentemente definita la piramide come

una figura solida, contenuta da piani, che è costruita partendo da un piano e da un qualsiasi punto.

Libro XII.

Proposizioni (18)

Le proposizioni di questo Libro si riferiscono tutte alla misurazione di figure, effettuate con il metodo di esaustione. Il Libro si apre con una dettagliata dimostrazione del teorema secondo cui le aree dei cerchi stanno tra loro come i quadrati costruiti sui diametri. Applicazioni analoghe del tipico metodo della doppia reductio ad absurdum vengono poi usate in relazione alla misurazione dei volumi di piramidi, coni, cilindri e sfere. Archimede attribuiva a Eudosso il merito di avere dato dimostrazioni rigorose di questi teoremi: è pertanto probabile che Euclide abbia attinto da Eudosso gran parte di questo materiale.

Libro XIII.

Proposizioni (18)

L’ultimo Libro è dedicato interamente alle proprietà dei cinque solidi regolari. Questo fatto ha indotto alcuni storici ad affermare che gli Elementi furono composti per celebrare le figure cosmiche o platoniche. Dal momento, però, che gran parte del materiale contenuto nei Libri precedenti non ha nulla a che fare con i poliedri regolari, una tale ipotesi sembra abbastanza gratuita.
L’obiettivo è quello di includere ciascuno dei solidi regolari in una sfera, ossia di trovare il rapporto tra il lato del solido inscritto e il raggio della sfera circoscritta. Tali calcoli vengono attribuiti da alcuni commentatori greci a Teeteto, cui si deve probabilmente gran parte del Libro XIII.
Nella Proposizione 10, Euclide dimostra il noto teorema secondo cui un triangolo i cui lati siano rispettivamente lati di un pentagono, di un esagono e di un decagono equilateri inscritti nel medesimo cerchio, è un triangolo rettangolo. Le Proposizioni dalla 13 alla 17 esprimono il rapporto tra il lato e il diametro per ciascuno dei solidi regolari inscritti: è per il tetraedro, per l’ottaedro, per il cubo o l’esaedro, per l’icosaedro e per il dodecaedro. Infine, nell’ultima proposizione, viene dimostrato che non vi possono essere poliedri regolari oltre questi cinque.
Per studiare in dettaglio i cinque solidi regolari si può visitare il sito Benvenuto ai solidi platonici come dimostrati nel Libro XIII degli Elementi di Euclide [28].

Gli Elementi di Euclide non sono solo la maggiore e più antica opera matematica greca che ci sia pervenuta, ma costituiscono anche il più autorevole manuale di matematica di tutti i tempi. L’opera fu composta verso il 300 a.C. e da allora fu copiata ripetutamente . Fu inevitabile che vi si introducessero errori e variazioni; alcuni editori di epoca più tarda (come Teone di Alessandria) cercarono addirittura di perfezionare l’originale. Aggiunte posteriori, che generalmente compaiono sotto forma di scoli, forniscono ulteriori informazioni, spesso di natura storica, e nella maggior parte dei casi sono facilmente distinguibili dall’originale. Copie degli Elementi sono pervenute fino a noi attraverso traduzioni arabe, che in seguito vennero tradotte in latino nel XII secolo. La prima edizione a stampa degli Elementi uscì a Venezia nel 1482 e fu uno dei primi libri stampati.

Fonte: http://web.unife.it/altro/tesi/A.Montanari/Euclide.htm



Categorie:L05.1- Storia della Matematica classica - Classic Mathematics

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