Principi di meccanica classica (o newtoniana)

Principi di meccanica classica (o newtoniana)

Con la locuzione meccanica classica si intende generalmente, in fisica e in matematica, l’insieme delle teorie meccaniche (con i loro relativi formalismi) sviluppate fino alla fine del 1904 e comprese all’interno della fisica classica.

La meccanica classica descrive in modo sostanzialmente accurato gran parte dei fenomeni meccanici osservabili direttamente nella nostra vita quotidiana. La meccanica classica è applicabile ai corpi continui, a velocità basse (cioè molto inferiori alla velocità della luce) e per dimensioni molto superiori a quelle atomiche o molecolari. Dove non sono valide queste ipotesi è necessario applicare una delle teorie meccaniche più recenti.

Spesso si individuano all’interno della meccanica classica due teorie ben distinguibili: la meccanica newtoniana (o semplicemente meccanica), formulata per la prima volta da Newton nel celebre testo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica pubblicato nel 1687 (ora noto come Principia) e la meccanica analitica (talvolta detta meccanica razionale) sviluppata da Lagrange, Hamilton, Liouville, Jacobi e altri fra la seconda metà del Settecento e la fine dell’Ottocento. Talvolta con meccanica classica si indica, specie nella letteratura anglofona, una sola delle due precedenti teorie.

È bene osservare che le due teorie, pur partendo da princìpi diversi (i principi di Newton nel primo caso e il principio di minima azione nel secondo), ma tra loro equivalenti (dato l’uno si può dimostrare l’altro e viceversa), ed utilizzando metodi matematici sostanzialmente differenti (semplice calcolo nel primo, calcolo delle variazioni ed elementi di analisi matematica superiore nel secondo), giungono entrambe anche a risultati sostanzialmente equivalenti dal punto di vista sperimentale.

Principi della meccanica Newtoniana

La meccanica newtoniana si basa su quattro principi fondamentali:

  • Relatività galileiana: “Le leggi fisiche sono invarianti in tutti i sistemi di riferimento inerziali“, cioè “le leggi fisiche sono invarianti per trasformazioni galileiane“. La relatività generale usa invece come assunto un principio di relatività più generale, cioè che le leggi fisiche sono invarianti in ogni sistema di riferimento.
  • Primo principio della dinamica (Detto anche principio di inerzia): “In un sistema inerziale, un corpo libero, cioè non sottoposto ad alcuna forza, mantiene il suo stato di moto rettilineo uniforme o di quiete finché non interviene una forza esterna a variare tale moto“. Questo principio è in realtà una conseguenza del principio di relatività, ma non vale il viceversa.
  • Secondo principio della dinamica: “Una forza impressa ad un corpo produce una variazione della sua quantità di moto nel verso della forza in maniera direttamente proporzionale alla forza applicata“, cioè \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}. Nel caso di masse costanti il secondo principio ha una formulazione ridotta, che è quella più nota: “L’accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla forza da esso subita“. La costante di proporzionalità tra la forza e l’accelerazione è proprio la massa inerziale del corpo. In simboli questo principio si riassume nella nota formula \mathbf{F} = m\mathbf{a}  (che molti di noi hanno appresso a scuola con la frase: “fame= molto appetito”).
  • Terzo principio della dinamica: in un sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto e il momento angolare totale rispetto ad un polo fisso di un sistema materiale libero (cioè non sottoposto a forze esterne) si conservano. Da ciò discende il principio di azione e reazione:ad ogni azione corrisponde una reazione, uguale e contraria, agente sulla stessa retta di applicazione.

Questa non è l’unica formulazione dei principi della meccanica newtoniana, ma ce ne sono altre perfettamente equivalenti.

Principio di minima azione

In meccanica razionale, i principi fondamentali sono il Principio di Relatività, come per la meccanica Newtoniana, ed il Principio di minima azione (o, più correttamente, di azione stazionaria, oppure di Hamilton), di natura completamente diversa. Quest’ultimo afferma:

  • Principio di azione stazionaria: Il moto naturale di un sistema è tale da minimizzare l’azione A del sistema. L’azione è definita come:

A:=\int_{t_0}^{t}L(q_h|\dot q_h|\tau)d\tau

dove L è la funzione Lagrangiana dipendente dalle coordinate generalizzate q1, q2, … , qn, dalle loro derivate e dal tempo. Minimizzando questo funzionale si ottengono le equazioni del moto tramite le equazioni di Eulero-Lagrange.

Bibliografia

  • Domenico Chelini Elementi di meccanica razionale, G. Legnani, 1860.
  • Ugo Amaldi e Tullio Levi-Civita, Lezioni di meccanica razionale, Padova: “La litotipo”, editrice universitaria, 1920.
  • Tullio Levi-Civita e Ugo Amaldi, Lezioni di meccanica razionale, Bologna: N. Zanichelli, 1923.
  • Giuseppe Armellini, Corso di meccanica razionale, Padova: “La Litotipo”, 1921.
  • Cesare Burali-Forti e Tommaso Boggio Meccanica razionale, Torino-Genova: S. Lattes & c., 1921.
  • Pietro Burgatti Lezioni di meccanica razionale, Bologna: N. Zanichelli, 1919.
  • Gian Antonio Maggi Dinamica dei sistemi; lezioni sul calcolo del movimento dei corpi naturali. Pisa: E. Spoerri, 1921.
  • Gian Antonio Maggi Dinamica fisica. Lezioni sulle leggi generali del movimento dei corpi naturali, Pisa: E. Spoerri, 1921.
  • Giovanni Gallavotti Meccanica elementare, Torino, Boringhieri, 1980,
  • Heinrich Hertz The principles of mechanics: presented in a new form, MacMillan, 1899.
  • Percival Frost Newton’s Principia, first book, sections I, II, III with notes and illus. and a collection of problems principally intended as example of Newton’s methods, London: Macmillan, 1900.
  • Alexander Ziwet Elements of theoretical mechanics, New York: McMillan, 1904.
  • Arthur Gordon Webster The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies, Leipzig: B.G. Teubner, 1904.
  • James Hopwood Jeans An elementary treatise on theoretical mechanics. Ginn & co., 1907.
  • Andrew Gray e James Gordon Gray A treatise on dynamics with examples and exercises, MacMillan, 1911.
  • E. T. Whittaker A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies, Cambridge: University Press, 1917.
  • Horace Lamb Higher Mechanics, Cambridge: University Press, 1920.
  • A. E. H. Love Theoretical mechanics; an introductory treatise on the principles of dynamics, with applications and numerous examples, Cambridge: University press, 1921.
  • R. Abraham e J. E. Marsden Foundations of Mechanics, Second Edition, Addison-Wesley, 1987. ISBN 0-8053-0102-X
  • Vladimir Igorevich Arnold (1982): Mathematical methods of classical mechanics, Springer.


Categorie:K03- I concetti della Fisica - The Concepts of Physics

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