Il concetto di limite

Il concetto di limite

In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l’andamento di una funzione all’avvicinarsi del suo argomento a un dato valore, oppure al crescere illimitato di tale argomento (per esempio una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell’analisi matematica, in quanto sono usati per definire la continuità, la derivazione e l’integrazione.

Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell’antichità, per esempio da Archimede, ed è stato utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII secolo da Newton, Leibniz, Eulero e D’Alembert.

Tuttavia, la prima definizione di limite abbastanza rigorosa risale al XIX secolo con Cauchy, seguita dalla miglior formalizzazione di Weierstrass.

Una completa teoria del limite si ha solo grazie ad Heine, che nel 1872 pubblicò un lavoro che creò molto interesse all’epoca; Heine stilò infatti tutte le regole e proprietà riguardanti il limite. Molti altri studiosi si sono interessati al problema del limite, approfondendo l’argomento con lo studio dell’analisi infinitesimale, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor.

Tuttavia è solo nel 1922 che E.H. Moore ed H.L. Smith danno una nozione generale (topologica) di limite, che è quella attualmente utilizzata in matematica. Nel 1937, Henri Cartan ne fornirà una versione equivalente basata sul concetto di filtro.

Limite di una successione

Una successione   \{a_n\} di numeri reali ha come limite il numero α  se al crescere di n  i termini della successione “sono arbitrariamente vicini” al valore α. Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che:

Per ogni ε > 0  piccolo a piacere esista un numero naturale N  tale che
| α n – α | < ε    per ogni > N .

Una successione può non avere limite, ad esempio α n = (-1) n , data da: 1, -1, 1, -1, 1, -1,… non ha limite.

D’altra parte, se esiste un limite α , si dice che la successione converge ad α; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti).

Ad esempio, la successione α n = 1/n , data da: 1, 1/2, 1/3, 1/4, … converge a zero.

Limite di una funzione

Il concetto di limite di una funzione è strettamente correlato a quello di limite di una successione.

Siano dati una funzione f : X → R definita su un sottoinsieme X  della retta reale R  ed un punto di accumulazione x0 di X.

Un numero reale l  è il limite di f (x) per x tendente a x0  se la distanza fra f(x)  ed  l è arbitrariamente piccola quando x  si avvicina a x0.

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi | x – x0 | è la distanza fra x  e x0  e | f(x) – l |  è la distanza fra f(x) ed l. Il concetto di “arbitrariamente piccolo” è espresso formalmente con i quantificatori “per ogni” (quantificatore universale) ed “esiste” (quantificatore esistenziale).

Formalmente, l  è limite se

per ogni numero reale ε > 0  piccolo a piacere esiste un altro numero reale positivo δ  tale che | f(x) – l | < ε per ogni x  in X  con 0 < | x – x0 | < δ.

In questo caso si scrive

\lim_{x \to x_0}f(x) = l.

La definizione di limite di una funzione è necessaria per formalizzare il concetto di funzione continua.

Limite insiemistico

Il concetto di limite si estende anche alle successioni di insiemi attraverso le nozioni di limite superiore e limite inferiore: data una successione di insiemi \{A_n\}_n, l’insieme limite è definito come l’insieme che intuitivamente contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi della successione. Formalmente:

Una successione di insiemi si dice possedere limite se vale la seguente uguaglianza:

{\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right) = {\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right) =: \lim_{n \to \infty} A_n.

Bibliografia

  • Moore E.H., Smith H.L., A General Theory of Limits. American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121 (1922).


Categorie:L01- I concetti della matematica - The concepts of Mathematics, L11- Analisi - Calculus

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

SCIENZA E CULTURA - SCIENCE AND CULTURE

Lo stato dell'arte tra storia e ricerche contemporanee - State of the art: history and contemporary research

ORIENTALIA

Studi orientali - Études Orientales - Oriental Studies

NUOVA STORIA CULTURALE / NETWORK PHILOSOPHY

NUOVA STORIA CULTURALE / NEW CULTURAL HISTORY

TEATRO E RICERCA - THEATRE AND RESEARCH

Sito della Compagnia Lost Orpheus Teatro

LOST ORPHEUS ENSEMBLE

Modern Music Live BaND

Il Nautilus

Viaggio nella blogosfera della V As del Galilei di Potenza

Sonus- Materiali per la musica moderna e contemporanea

Aggiornamenti della Rivista "Sonus"- Updating Sonus Journal

The WordPress.com Blog

The latest news on WordPress.com and the WordPress community.

Antonio De Lisa - Scritture / Writings

Teatro Musica Poesia / Theater Music Poetry

In Poesia - Filosofia delle poetiche e dei linguaggi

Blog Journal and Archive diretto da Antonio De Lisa

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: