Il concetto di limite

In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l’andamento di una funzione all’avvicinarsi del suo argomento a un dato valore, oppure al crescere illimitato di tale argomento (per esempio una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell’analisi matematica, in quanto sono usati per definire la continuità, la derivazione e l’integrazione.

Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell’antichità, per esempio da Archimede, ed è stato utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII secolo da Newton, Leibniz, Eulero e D’Alembert.

Tuttavia, la prima definizione di limite abbastanza rigorosa risale al XIX secolo con Cauchy, seguita dalla miglior formalizzazione di Weierstrass.

Una completa teoria del limite si ha solo grazie ad Heine, che nel 1872 pubblicò un lavoro che creò molto interesse all’epoca; Heine stilò infatti tutte le regole e proprietà riguardanti il limite. Molti altri studiosi si sono interessati al problema del limite, approfondendo l’argomento con lo studio dell’analisi infinitesimale, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor.

Tuttavia è solo nel 1922 che E.H. Moore ed H.L. Smith danno una nozione generale (topologica) di limite, che è quella attualmente utilizzata in matematica. Nel 1937, Henri Cartan ne fornirà una versione equivalente basata sul concetto di filtro.

Limite di una successione

Una successione  di numeri reali ha come limite il numero α  se al crescere di n  i termini della successione “sono arbitrariamente vicini” al valore α. Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che:

Per ogni ε > 0  piccolo a piacere esista un numero naturale N  tale che
| α _n – α | < ε    per ogni n > N .

Una successione può non avere limite, ad esempio α _n = (-1) ⁿ , data da: 1, -1, 1, -1, 1, -1,… non ha limite.

D’altra parte, se esiste un limite α , si dice che la successione converge ad α; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti).

Ad esempio, la successione α _n = 1/n , data da: 1, 1/2, 1/3, 1/4, … converge a zero.

Limite di una funzione

Il concetto di limite di una funzione è strettamente correlato a quello di limite di una successione.

Siano dati una funzione f : X → R definita su un sottoinsieme X  della retta reale R  ed un punto di accumulazione x₀ di X.

Un numero reale l  è il limite di f (x) per x tendente a x₀  se la distanza fra f(x)  ed  l è arbitrariamente piccola quando x  si avvicina a x₀.

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi | x – x₀ | è la distanza fra x  e x₀  e | f(x) – l |  è la distanza fra f(x) ed l. Il concetto di “arbitrariamente piccolo” è espresso formalmente con i quantificatori “per ogni” (quantificatore universale) ed “esiste” (quantificatore esistenziale).

Formalmente, l  è limite se

per ogni numero reale ε > 0  piccolo a piacere esiste un altro numero reale positivo δ  tale che | f(x) – l | < ε per ogni x  in X  con 0 < | x – x₀ | < δ.

In questo caso si scrive

La definizione di limite di una funzione è necessaria per formalizzare il concetto di funzione continua.

Limite insiemistico

Il concetto di limite si estende anche alle successioni di insiemi attraverso le nozioni di limite superiore e limite inferiore: data una successione di insiemi , l’insieme limite è definito come l’insieme che intuitivamente contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi della successione. Formalmente:

Bibliografia

• Moore E.H., Smith H.L., A General Theory of Limits. American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121 (1922).

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