Storia del concetto di equazione

In prima approssimazione si può dire che il concetto di equazione e di sistema di equazioni non ha subito sostanziali mutamenti: le equazioni e i sistemi sono stati impiegati per risolvere problemi di varia natura i cui enunciati sono rimasti sostanzialmente inalterati col passare del tempo.

Già nelle tavolette di argilla risalenti alla civiltà assiro-babilonese (dinastia di Hammurabi, XVI-XVIII secolo a.C.) s’incontrano problemi d’astronomia, di geometria o di natura commerciale che conducono alla determinazione di radici quadrate, cubiche o d’ordine superiore.

Nella cultura greca, la risoluzione delle equazioni era vincolata alla risoluzione geometrica, in quanto, secondo loro la vera matematica era la geometria. I Greci affrontarono le equazioni di I e  II grado soltanto in modo esclusivamente geometrico.

Il famoso algebrista arabo al-Khuwarizmi, nella sua opera Al-gebr we’l mukabala del IX secolo d.C., illustra con esempi la risoluzione di vari tipi di equazioni di secondo grado e fornisce una dimostrazione geometrica delle formule impiegate.

Uno dei più importanti libri di matematica del Medioevo è il Liber abbaci, scritto da Leonardo Pisano, il quale dedica due capitoli al metodo di falsa posizione e al metodo di doppia falsa posizione; metodi utilizzati per risolvere problemi algebrici riconducibili ad equazioni o sistemi di equazioni lineari.

Solo nel sedicesimo secolo l’algebra iniziò un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria, quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche, ma numeri.

Interessanti considerazioni si possono trarre dalle complesse vicende storiche che hanno condotto gli algebristi italiani del Cinquecento, Scipione Dal Ferro, Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano, Ludovico Ferrari e Rafael Bombelli, alla scoperta delle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado.

Un momento particolarmente significativo è stato la dimostrazione all’inizio dell’ottocento del teorema di Paolo Ruffini e di Niels Abel che ha sancito l’impossibilità di risolvere per radicali le equazioni generali di grado superiore al quarto, impresa nella quale si erano cimentati quasi tutti i più grandi matematici dal cinquecento in poi.

Infine, nella individuazione delle equazioni di grado superiore al quarto risolubili per radicali, Evariste Galois aprì la strada verso l’algebra moderna.

Definizioni

In matematica, un’equazione (dal latino aequo, rendere uguale) è una uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite.

Un insieme di valori che, sostituiti alle incognite, rende vera un’equazione è chiamato soluzione o radice. Risolvere un’equazione significa esplicitare l’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione o mostrare che non ce ne sono.

Un’ equazione in una variabile (incognita) x è una “tesi” del tipo

dove membro sinistro e membro destro sono espressioni nella variabile x. Qui x sta a indicare un elemento – a priori arbitrario – di un insieme G (insieme di base), che deve essere indicato insieme all’equazione. Quando l’insieme di base non è indicato esplicitamente, si assume che esso sia l’insieme R dei numeri reali.

Una soluzione dell’equazione (1) è un elemento x elemento di G per il quale la “tesi” membro sinistro = membro destro è un enunciato vero. L’insieme di tutte le soluzioni sarà indicato con L. Potrà contenere uno o più (addirittura anche un numero infinito di) elementi oppure potrà essere l’insieme vuoto.

Dominio

Il dominio (o insieme di definizione) delle variabili incognite è l’insieme dei valori per cui le espressioni ad ambo i membri dell’equazione sono definite. L’insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l’equazione

non ammette soluzioni se il dominio è l’insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come .

Analogamente, l’equazione

non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.

Notazioni

Tipicamente in un’equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti, che, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere , , … mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell’alfabeto (, , …).

Le soluzioni di un’equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell’equazione

dove a è un parametro non nullo, e il dominio è l’insieme dei numeri reali, si scrive come

NomenclaturaUn’equazione si dice:

• determinata se ammette un numero finito di soluzioni, in tal caso l’insieme soluzione sarà discreto, formato da un numero finito di elementi.
• impossibile se non ammette soluzioni, in tal caso l’insieme soluzione sarà l’insieme vuoto.
• identità se ha come soluzioni tutto il dominio, in tal caso l’insieme soluzione sarà uguale all’insieme dominio.
• indeterminata se il numero delle soluzioni è infinito ma non coincide con tutto il dominio, in tal caso l’insieme soluzione sarà infinito e diverso dall’insieme dominio.

Risolubilità

Dal Teorema fondamentale dell’algebra, segue immediatamente che un’equazione polinomiale (ovvero formata da un polinomio eguagliato a zero, in una variabile) di grado n ammette sempre n soluzioni in campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In altre parole, un’equazione di grado ammette almeno 1 soluzione e al massimo soluzioni complesse differenti.

Per il Teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per esprimere le radici delle equazioni polinomiali di grado 5 o superiore tramite una formula per radicali. Viceversa le equazioni di primo grado, secondo grado, terzo grado e quarto grado ammettono una formula risolutiva. Casi particolari di equazioni di grado superiore al quarto possono comunque ammettere una formula risolutiva.

Il Metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce un algoritmo per la risoluzione numerica delle equazioni. Un altro algoritmo con ipotesi più generali è il metodo di bisezione. Le soluzioni trovate mediante metodi numerici vengono chiamate approssimate in contrapposizione alle soluzioni date da formule chiuse che vengono chiamate esatte. La nomenclatura è in parte fuorviante perché i metodi approssimati possono, in alcuni casi, determinare in maniera più precisa e più veloce le soluzioni numeriche di una equazione rispetto alle formule chiuse.

Classificazione delle equazioni

Una prima classificazione delle equazioni può avvenire in questo modo:

• Equazioni algebriche, riconducibili a polinomi
• Equazioni trascendenti, non riconducibili a polinomi
• Equazioni funzionali, in cui le incognite sono funzioni

Equazioni algebriche

Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un’equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.

In base al grado del polinomio:

• Equazioni di 1º grado o Equazioni lineari
• Equazioni di 2º grado o Equazioni quadratiche
• Equazioni di 3º grado o Equazioni cubiche
• Equazioni di 4º grado o Equazioni quartiche
• Equazioni di 5º grado e così via

Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:

• Equazioni non irrazionali
• Equazioni irrazionali, contenenti radici con incognite al radicando, si classificano in base all’indice della radice:
  • indice pari
  • indice dispari

Equazioni trascendenti

Le Equazioni trascendenti appartengono alle seguenti categorie:

• Equazioni trigonometriche, contenenti funzioni trigonometriche.
• Equazioni esponenziali, contenenti funzioni esponenziali.
• Equazioni logaritmiche, contenenti logaritmi.

Equazioni funzionali

Le Equazioni funzionali si dividono nelle seguenti categorie:

• Equazioni differenziali, se contengono derivate
• Equazioni integrali, se contengono integrali

In base alle espressioni letterali

In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:

• Equazioni numeriche, contengono solo espressioni numeriche e l’incognita.
• Equazioni parametriche, in cui le incognite sono funzioni espresse in funzione di uno o più parametri

Altre categorie

• Equazioni diofantee, in cui si ricercano solo le soluzioni in numeri interi
• Sistema di equazioni, a loro volta divisi in tutte le altre categorie sopra

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