Numeri palindromi e numeri primi palindromi

Numeri palindromi e numeri primi palindromi

Numeri palindromi

Il problema dei numeri palindromi nasce da questa domanda:

“Prendi un numero, inverti le sue cifre e somma il numero che ottieni a quello iniziale. Se il risultato non è un numero palindromo, ripeti il procedimento. E’ vero che in questo modo partendo da qualunque numero prima o poi si ottiene sempre un numero palindromo?”

Un numero è palindromo se può essere letto indifferentemente da sinistra verso destra  oppure da destra verso sinistra: ha lo stesso valore sia letto da sinistra che da destra. Ad esempio sono numeri palindromi 1331, 52725, 89498 e 41814. 357753 è ancora un numero palindromo, così come 1288821.

I numeri palindromi non sono molto frequenti: fino ad un milione se ne trovano 1998.
I numeri palindromi sono collegati ad una misteriosa proprietà:
Si consideri un numero intero qualsiasi. Gli si sommi lo stesso numero, però scritto da destra verso sinistra. Si ripeta l’operazione sul numero ottenuto e così via. Nella maggioranza dei casi, si giungerà ad un numero palindromo.
Ad esempio, partiamo dal numero 4893 ed applichiamo il procedimento:

4893 + 3984  =  8877

8877 + 7788  =  16665

16665 + 56661  =  73326

73326 + 62337  =  135663

135663 + 366531  =  502194

502194 + 491205  =  993399

Come si vede, in sei reiterazioni, si giunge al numero palindromo 993399.

Nella stragrande maggioranza dei casi, questo procedimento porta sempre ad un numero palindromo, ma vi sono alcuni rari numeri per i quali la proprietà non sembra verificata. Il più piccolo di essi è il numero 196: per questo numero sono state fatte migliaia e migliaia di iterazioni che coinvolgono numeri con un numero di cifre enormi, ma, finora, non si è giunti ad un numero palindromo.

Il problema del 196

Il più piccolo numero che si “ostina” a non diventare palindromo è 196, e per questo il problema in questione è anche noto come problema del 196. Sono state infatti calcolate al computer milioni e milioni di iterazioni del procedimento senza riuscire ad ottenere un numero palindromo! Sembra proprio che il 196 sia un “numero maledetto” per i palindromi.

Resta ancora aperta la questione se anche il numero 196 giungerà alla fine ad un numero palindromo o se effettivamente esistono pochissimi numeri per i quali la proprietà non sia verificata.

Per questi numeri, il palindromo finale del procedimento non esiste o è talmente grande che non è stato ancora trovato?

Ovviamente tutti i numeri generati applicando il procedimento “reverse and add” al numero 196, non giungono, almeno per quanto se ne sa finora, ad un palindromo. I primi di essi sono: 887, 1675, 7436, 13783 etc….
Dopo il 196, il più piccolo numero per il quale il procedimento non genera un palindromo è 295, ma si noti che  295 + 592 = 887, cioè questo numero si “immette” (diciamo così) nella serie del 196.

Numeri di Lychrel

In ogni caso, tutti i numeri per i quali, applicando la reiterazione, non si giunge ad un palindromo (o non è stato ancora trovato), vengono denominati numeri di Lychrel. Il nome è un anagramma di Cheril, nome della fidanzata del matematico Van Landingham, che ha indagato a fondo su questo problema.
Sospetti numeri di Lychrel “genuini”, cioè che non appartengono a serie generate da altri numeri di Lychrel sono, oltre a 196, 879 e 1997.

La maggioranza dei numeri interi sottoposti al procedimento di reiterazione “reverse and add”, giungono molto rapidamente ad un palindromo. Considerando i numeri inferiori a 10.000, l’80% dei numeri giunge ad un palindromo in 4 stadi o meno ed il 90% in 7 stadi o meno.

Interessante il caso del numero 89 che giunge ad un palindromo in 24 stadi.

Passando a numeri più grandi abbiamo abbiamo 147.996 che impiega 58 stadi per giungere ad un palindromo e poi 150.296 (64 stadi), 1.000.689 (78 stadi), 1.005.774 (79 stadi), etc…. fino a giungere a 1.005.499.526 che impiega ben 109 stadi per giungere ad un numero palindromo di 53 cifre!
Recentemente è stato scoperto che il numero 1.186.060.307.891.929.990, dopo 261 iterazioni giunge ad un palindromo di 119 cifre!

Numeri primi palindromi

Anche fra i numeri ci sono i palindromi, che potremmo definire i “narcisi” dei numeri, poiché si riflettono identici, come in uno specchio.
Il 2002 è stato un anno palindromo, come il 1991. Ed è raro che una persona incontri due anni palindromi nel corso della sua vita. Un evento del genere potrebbe capitare soltanto nel 2992 e 3003. Il prossimo anno palindromo sarà invece il 2112.

In particolare sono oggetto di studio e di vaste indagini i palindromi che sono anche numeri primi. Il più piccolo, a parte le nove cifre decimali, è 11 che è anche l’unico primo palindromo con un numero pari di cifre.
Tutti gli altri palindromi con un numero pari di cifre, sono infatti divisibili per 11. E questo discende dal criterio di divisibilità per 11:
un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle sue cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è uguale a zero oppure è un multiplo di 11.
E per un palindromo con un numero pari di cifre la differenza fra le due somme indicate è sempre zero. Ad esempio, 13579975531 è divisibile per 11 e il risultato della divisione è 123454321.

I palindromi primi di tre cifre sono quindici: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919 e 929. Non ne esistono con quattro o sei cifre, mentre sono 93 a cinque cifre: 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, …

Si chiamano repunits i numeri primi contenenti soltanto la cifra uno come, ad esempio 11. I successivi repunits sono

1111111111111111111 (19 uno)
11111111111111111111111 (23 uno)

Seguono il numero formato da 317 uno e da 1031 uno.
Il più grande repiunit, trovato nel 2002 è il numero

(18067^(4201)-1)/18066,

formato da 17879 uno.

Il più piccolo numero primo di sette cifre contenente soltanto le cifre 7 e 8 è palindromo: 7778777. Il più piccolo numero primo palindromo che contenga tutte e dieci le cifre decimali è 10234569878965543201.

Il più grande primo palindromo oggi noto è, al momento in cui vengono scritte queste righe, quello scoperto da Harvey Dubner nell’aprile del 1999. E’ un numero di 30803 cifre (anche questo è un numero primo palindromo) che inizia è termina con 1; tra questi due 1 c’è una sequenza di zero, con al centro un altro piccolo palindromo. Senza scrivere tutti gli zero, il numero è il seguente:

1000……….0001110111000……….0001

Il record precedente era sempre di Dubner con il seguente numero, di 19391 cifre (ancora un numero primo palindromo) trovato nel gennaio dello stesso anno:

1000……….0004300034000……….0001

Ancora qualche curiosità sui palindromi.

Il numero 795 559 265 009 384 106 è il più grande numero non palindromo il cui quadrato sia un palindromo: 632 914 544 142 271 449 944 172 241 445 419 236.

Una somma di tre numeri palindromi che è ancora un palindromo:
30 103 + 30 203 + 30 403 = 90 709

Ed ecco una bella piramide di numeri palindromi primi, proposta da G. L. Honaker, Jr.



Categorie:L06- Teoria dei numeri - Number Theory

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