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L’Identità di Eulero

By Antonio DeLisa on 7 novembre 2013 • ( 0 )

L’Identità di Eulero

Si può parlare di “bello” in matematica? E’ così che viene oggi considerata la formula più bella della matematica, ovvero l’ Identità di Eulero:

dove:

$e$ è la base dei logaritmi naturali,

$i$ è l’unità immaginaria, il numero complesso il cui quadrato è $-1$ , e

$\pi$ è Pi greco, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

L’identità è talvolta espressa equivalentemente come:

$e^{i \pi} = -1$

Nella prima formulazione si rende esplicita la relazione fra le cinque costanti matematiche in essa contenute.

A definirla la formula più bella della matematica fu Richard Feynman perché lega tra loro, attraverso gli operatori fondamentali della matematica (uguaglianza, addizione, moltiplicazione ed esponenziazione), alcune tra le costanti, i numeri e i simboli più importanti.

L’equazione appare nella Introduzione di Leonhard Euler, pubblicata a Losanna nel 1748. L’identità è un caso particolare della formula di Eulero dell’analisi complessa, la quale afferma che:

$e^{ix} = \cos x + i \, \mathrm{sen} \, x$

per ogni numero reale $x$ , essendo cos la funzione coseno e sen la funzione seno. Se $x = \pi$ , allora

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \, \mathrm{sen} \, \pi$

e poiché, per definizione

$\cos \pi = -1$

$\mathrm{sen} \, \pi = 0$

segue che

$e^{i \pi} = -1$

Percezione dell’identità

Benjamin Peirce, il noto matematico e professore di Harvard del XIX secolo, dopo aver dimostrato l’identità in una lezione, disse: “Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l’abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la verità.”^[1] Richard Feynman chiamò la formula di Eulero (dalla quale l’identità è stata derivata) “la formula più straordinaria in matematica”.^[2] Feynman, come molti altri, trovò questa formula notevole perché collega alcune costanti matematiche molto importanti:

Il numero $0$ , l’elemento neutro per l’addizione (per ogni $a$ , $a+0=0+a=a$ ). Vedi Gruppo (matematica) e Zero.
Il numero $1$ , l’elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni $a$ , $a \times 1=1 \times a=a$ ). Vedi 1 (numero).
Il numero $\pi$ è fondamentale nella trigonometria; $\pi$ è una costante per un mondo che è euclideo, o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze).
Il numero $e$ è una costante fondamentale connessa allo studio dei logaritmi in analisi (come lo studio delle equazioni differenziali, ad esempio la soluzione della equazione differenziale $dy / dx = y$ con condizione iniziale $y(0) = 1$ è $y = e^x$ ).
L’unità immaginaria $i$ (dove $i^2 = -1$ ) è una unità nei numeri complessi. L’introduzione di questa unità rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali non costanti (vedi teorema fondamentale dell’algebra).
La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano $e$ , elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale $\pi$ ), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali ( $e$ ), irrazionali immaginari ( $i\cdot \pi$ ), e interi ( $1$ ).

Inoltre, tutti gli operatori fondamentali dell’aritmetica sono presenti: uguaglianza, addizione, moltiplicazione e esponenziazione. Tutte le assunzioni fondamentali dell’analisi complessa sono presenti, e gli interi 0 e 1 sono collegati al campo dei numeri complessi.

Note

^ Maor, pag. 160. Maor cita Edward Kasner e James Newman, Mathematics and the Imagination, New York: Simon e Schuster (1940), pagg. 103–104
^ Feynman pag. 22-10.

Bibliografia

Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, vol. I Addison-Wesley (1977).
Eli Maor, e: The Story of a number, Princeton University Press (May 4, 1998).