L’Identità di Eulero

Si può parlare di “bello” in matematica? E’ così che viene oggi considerata la formula più bella della matematica, ovvero l’ Identità di Eulero:

dove:

è la base dei logaritmi naturali,

è l’unità immaginaria, il numero complesso il cui quadrato è , e

è Pi greco, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

L’identità è talvolta espressa equivalentemente come:

Nella prima formulazione si rende esplicita la relazione fra le cinque costanti matematiche in essa contenute.

A definirla la formula più bella della matematica fu Richard Feynman perché lega tra loro, attraverso gli operatori fondamentali della matematica (uguaglianza, addizione, moltiplicazione ed esponenziazione), alcune tra le costanti, i numeri e i simboli più importanti.

L’equazione appare nella Introduzione di Leonhard Euler, pubblicata a Losanna nel 1748. L’identità è un caso particolare della formula di Eulero dell’analisi complessa, la quale afferma che:

per ogni numero reale , essendo cos la funzione coseno e sen la funzione seno. Se , allora

e poiché, per definizione

e

segue che

Percezione dell’identità

Benjamin Peirce, il noto matematico e professore di Harvard del XIX secolo, dopo aver dimostrato l’identità in una lezione, disse: “Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l’abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la verità.”^[1] Richard Feynman chiamò la formula di Eulero (dalla quale l’identità è stata derivata) “la formula più straordinaria in matematica”.^[2] Feynman, come molti altri, trovò questa formula notevole perché collega alcune costanti matematiche molto importanti:

• Il numero , l’elemento neutro per l’addizione (per ogni , ). Vedi Gruppo (matematica) e Zero.
• Il numero , l’elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni , ). Vedi 1 (numero).
• Il numero è fondamentale nella trigonometria; è una costante per un mondo che è euclideo, o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze).
• Il numero è una costante fondamentale connessa allo studio dei logaritmi in analisi (come lo studio delle equazioni differenziali, ad esempio la soluzione della equazione differenziale con condizione iniziale è ).
• L’unità immaginaria (dove ) è una unità nei numeri complessi. L’introduzione di questa unità rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali non costanti (vedi teorema fondamentale dell’algebra).
• La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano , elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale ), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali (), irrazionali immaginari (), e interi ().

Inoltre, tutti gli operatori fondamentali dell’aritmetica sono presenti: uguaglianza, addizione, moltiplicazione e esponenziazione. Tutte le assunzioni fondamentali dell’analisi complessa sono presenti, e gli interi 0 e 1 sono collegati al campo dei numeri complessi.

Note

1. ^ Maor, pag. 160. Maor cita Edward Kasner e James Newman, Mathematics and the Imagination, New York: Simon e Schuster (1940), pagg. 103–104
2. ^ Feynman pag. 22-10.

Bibliografia

• Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, vol. I Addison-Wesley (1977).
• Eli Maor, e: The Story of a number, Princeton University Press (May 4, 1998).

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