La successione di Fibonacci

Fibonacci

La successione di Fibonacci

Leonardo Pisano Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci, nacque a Pisa intorno al 1170. Suo padre era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile a partire dal 1192 del commercio pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il 1192, Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia. Il padre voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche, che non erano ancora state introdotte in Europa. In seguito Bonacci si assicurò l’aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse l’opportunità offertagli dai suoi viaggi all’estero per studiare e imparare le tecniche matematiche impiegate in queste regioni. Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa dove per i seguenti 25 anni lavorò alle sue personali composizioni matematiche. In tutta la sua produzione l’opera più importante è il “Liber abaci”, comparso attorno al 1228: è un lavoro contenente quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha avuto una funzione fondamentale nello sviluppo della matematica dell’Europa occidentale. In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa tramite questo libro. In tale sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto egli fu costretto ad introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero “0”, per indicare le posizioni vacanti. La reputazione di Leonardo come matematico divenne così grande che l’imperatore Federico II gli chiese un’udienza mentre era Pisa nel 1225. Dopo il 1228 non si sa in sostanza niente della vita di Leonardo tranne il decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il titolo di “Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo” a riconoscimento dei grandi progressi che apportò alla matematica. Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240, presumibilmente a Pisa. Anche al giorno d’oggi la fama di Leonardo è tale che esiste un’intera pubblicazione dedicata a questi argomenti: il “Fibonacci Quarterly”, periodico matematico dedicato interamente all’aritmetica connessa alla sequenza di Fibonacci.

Il problema originale di Leonardo Pisano


Immaginiamo di chiudere una coppia di conigli in un recinto.
Sappiamo che ogni coppia di conigli:
a) inizia a generare dal secondo mese di età;
b) genera una nuova coppia ogni mese;
c) non muore mai.
Quanti conigli ci saranno nel recinto dopo un anno?

Nota: nel problema originale di Fibonacci, la prima coppia inizia a generare un mese dopo essere stata rinchiusa nel recinto.


Le prime cinque generazioni di conigli secondo lo schema di Fibonacci.
Ogni cerchio colorato rappresenta una coppia di conigli.

Inizio 1
1° mese 2
2° mese 3
3° mese 5
4° mese 8
5° mese 13
Dal Liber Abaci di Leonardo Pisano, detto Fibonacci (figlio di Bonaccio) – 1202Il seguente testo è estratto dalle pp. 283-284 degli Scritti di Leonardo Pisano: mathematico del secolo decimoterzo, pubblicati da Baldassarre Boncompagni, Roma, 1857. Traduzione
Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur.Qvidam posuit unum par cuniculorum in quodam loco, qui erat undique pariete circundatus, ut sciret, quot ex eo paria germinarentur in uno anno: cum natura eorum sit per singulum mensem aliud par germinare; et in secundo mense ab eorum natiuitate germinant.Quia suprascriptum par in primo mense germinat, duplicabis ipsum, erunt paria duo in uno mense.Ex quibus unum, scilicet primum, in secundo mense geminat; et sic sunt in secundo mense paria 3;ex quibus in uno mense duo pregnantur; et geminantur in tercio mense paria 2 coniculorum; et sic sunt paria 5 in ipso mense;ex quibus in ipso pregnantur paria 3; et sunt in quarto mense paria 8;ex quibus paria 5 geminant alia paria 5: quibus additis cum parijs 8, faciunt paria 13 in quinto mense;

ex quibus paria 5, que geminata fuerunt in ipso mense, non concipiunt in ipso mense, sed alia 8 paria pregnantur; et sic sunt in sexto mense paria 21;

cum quibus additis parijs 13, que geminantur in septimo, erunt in ipso paria 34;

cum quibus additis parijs 21, que geminantur in octauo mense, erunt in ipso paria 55;

cum quibus additis parjis [sic] 34, que geminantur in nono mense, erunt in ipso paria 89;

cum quibus additis rursum parijs 55, que geminantur in decimo mense 144;

cum quibus additis rursum parijs 89, que geminantur in undecimo mense, erunt in ipso paria 233.

Cum quibus etiam additis parijs 144, que geminantur in ultimo mense, erunt paria 377;

et tot paria peperit suprascriptum par in prefato loco in capite unius anni.

Potes enim uidere in hac margine, qualiter hoc operati fuimus, scilicet quod iunximus primum numerum cum secundo, uidelicet 1 cum 2; et secundum cum tercio; et tercium cum quarto; et quartum cum quinto, et sic deinceps, donec iunximus decimum cum undecimo, uidelicet 144 cum 233; et habuimus suprascriptorum cuniculorum summam, uidelicet 377; et sic posses facere per ordinem de infinitis numeris mensibus.

parium
1
primus
2
secundus
3
tercius
5
quartus
8
quintus
13
sestus
21
septimus
34
octauus
55
nonus
89
decimus
144
undecimus
233
duodecimus
377

(la tabella è disegnata in margine nell’edizione originale)

Quante coppie di conigli discendono in un anno da una coppia.Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un’altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.Poiché la suddetta coppia si riproduce nel primo mese, devi raddoppiarla: nel primo mese le coppie saranno 2.Di queste, la prima, nel secondo mese ne genera un’altra: quindi nel secondo mese ci sono 3 coppie.Di queste, durante il mese, due si riproducono e nel terzo mese, generano 2 coppie: quindi, nel terzo mese, ci sono 5 coppie di conigli.Di queste, durante il mese, 3 si riproducono e nel quarto mese ci sono 8 coppie.Di queste, al quinto mese, 5 coppie ne generano altre 5 che aggiunte alle 8 coppie esistenti fanno 13 coppie.

Di queste, le 5 generate nel mese precedente non generano nel sesto mese, ma le altre 8 si riproducono, quindi nel sesto mese ci sono 21 coppie.

Aggiungendo a queste altre 13 coppie generate nel settimo mese, ci saranno in quel mese 34 coppie.

Aggiungendo a queste altre 21 coppie generate nell’ottavo mese, ci saranno in quel mese 55 coppie.

Aggiungendo a queste, altre 34 coppie generate nel nono mese, ci saranno in quel mese 89 coppie.

Aggiungendo nuovamente a queste altre 55 coppie generate, nel decimo ci saranno 144 coppie.

Aggiungendo nuovamente a queste altre 89 coppie generate nell’ undicesimo mese, ci saranno in quel mese 233 coppie.

Aggiungendo nuovamente a queste anche 144 coppie generate nell’ultimo mese, ci saranno 377 coppie.

Tante sono le coppie generate dalla coppia iniziale in quel luogo in capo ad un anno.

Puoi inoltre vedere in questo margine (vedi sotto) come abbiamo operato: abbiamo sommato il primo numero con il secondo, cioè 1 e 2; il secondo con il terzo, il terzo con il quarto, il quarto con il quinto e così via finché abbiamo sommato il decimo con l’undicesimo, cioè 144 con 233 ed abbiamo ottenuto la somma dei suddetti conigli, cioè 377; e così si può fare per un numero infinito di mesi.

coppie
1
primo
2
secondo
3
terzo
5
quarto
8
quinto
13
sesto
21
settimo
34
ottavo
55
nono
89
decimo
144
undicesimo
233
dodicesimo
377

Una successione è un insieme I di elementi, solitamente della stessa natura, ciascuno dei quali è associato a un numero naturale. Secondo una definizione più rigorosa, una successione è una funzione che associa a ogni numero naturale n un elemento an si un altro insieme (per esempio dei numeri reali). Una successione viene quindi indicata con a0, a1, a2, …, an, …, dove 0, 1, 2, …, n, … saranno gli indici; una successione è pertanto formata da infiniti elementi elencati in modo ordinato. Uno degli esempi più chiari è la “successione di Fibonacci” in cui ogni elemento (eccetto i primi due) è la somma dei precedenti due (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …). Questa successione è nata da un semplice problema posto da Fibonacci: se una coppia di conigli mette al mondo ogni mese una nuova coppia di conigli, che dopo due mesi producono loro volta una nuova coppia di conigli, quante coppie di conigli avremo dopo un anno, se tutti i conigli rimangono in vita? I numeri di Fibonacci sono quindi elementi della successione:

F0, F1, F2, F3, …, Fn,

Definita ricorsivamente come segue:

F0 = 0, F1 = 1

Fn = Fn-1 + Fn -2 per n>1

La prima riga di questa definizione è detta “delle condizioni iniziali”, dove i primi due numeri della successione F0 e F1 sono definiti esplicitamente, mentre la seconda rappresenta la “relazione ricorsiva”. I primi termini della successione di Fibonacci si possono quindi calcolare facilmente sommando i primi due:

 

0

 

1

0+1=

1

1+1=

2

1+2=

3

2+3=

5

3+5=

8

 

Particolarità

Nel 1553 il matematico scozzese P. Simson stabilì che il rapporto tra due termini consecutivi di questa sequenza tende al valore della sezione aurea

j = 1,61803 …

I primi rapporti sono:

2:1=

2,000

3:2=

1,500

5:3=

1,667

8:5=

1,660

13:8=

1,625

Dopo 12 termini l’approssimazione della sezione aurea è corretta fino a quattro termini decimali.

Inoltre lo scozzese scoprì l’identità:

Fn-1Fn+1-Fn2 = (-1)n

Nel 1718 il matematico francese A. De Moivre scoprì la formula che definisce direttamente l’n-esimo numero di Fibonacci:

La sequenza di Fibonacci, oltre a rappresentare matematicamente il contenuto armonico della sezione aurea, presenta anche altri aspetti.

Charles Raine mise in relazione i numeri della sequenza con i triangoli rettangoli pitagorici. Presi infatti quattro numeri consecutivi qualsiasi di Fibonacci, il prodotto dei termini esterni ed il doppio prodotto di quelli interni danno come risultato le misure dei cateti di un triangolo pitagorico. Ad esempio considerando i quattro numeri consecutivi 3, 5, 8 e 13 si ottengono i due cateti 39 e 80 del triangolo pitagorico 39-80-89. L’ipotenusa, 89, è anch’essa un numero della sequenza e l’area di tale triangolo, 1560, è il prodotto dei quattro numeri di partenza (3x5x8x13).

K. Subba Rao notò che i numeri della sequenza compresi tra n e 2n sono 1 o 2, e la quantità dei termini di Fibonacci con lo stesso numero di cifre è uguale a 4 oppure a 5. Inoltre due numeri consecutivi di Fibonacci sono sempre primi tra loro e dato F (numero qualsiasi della successione), tra i primi F2 termini della sequenza ve n’è almeno uno divisibile per F. Ponendo ad esempio F=13 nei successivi 169 (F2) termini di Fibonacci ce n’è almeno uno divisibile per 13 (377).

La successione di Fibonacci consente anche di dimostrare un’uguaglianza apparentemente errata ovvero si suppone che 64=65. Per fare ciò Sam Loyd, basandosi sull’identità di Simson, costruisce un quadrato avente lati lunghi 8 e li divide come mostrato in figura (3+5).

Figura 1

Separando le parti ottenute e rimettendole di nuovo insieme nella configurazione qui a fianco illustrata si ottiene un quadrilatero di area 65, mentre il quadrato di partenza aveva area 64.

Figura 2

L’unita di superficie aggiuntiva è dovuta al fatto che i punti A, B, C e D non sono allineati tra loro, ma sono i vertici di un parallelogramma di area 1.

Esiste anche una relazione tra i numeri di Fibonacci e i coefficienti binomiali scoperta da Lucas:

Catalan similmente dimostrò che:

Vi sono inoltre formule che consentono di determinare la somma dei primi n termini della successione di Fibonacci (a), nonché le somme dei termini di pedice dispari (b) e pari (c)

    1. F1+ F2+F3+F4+…Fn = Fn+2-1
    1. F1+ F3+F5+F7+…F2n-1 = F2n
  1. F2+ F4+F6+F8+…F2n = F2n+1-1

Relazione tra la successione di Fibonacci e la spirale logaritmica

La spirale logaritmica è intimamente legata ai numeri di Fibonacci, in cui ogni termine è dato dalla somma dei due precedenti: 1,1,2,3,5,8,…
La particolarità tra questi numeri è che il rapporto tra due termini successivi si avvicina molto rapidamente al numero decimale 0,618:
1:2=0,500
2:3=0,667
3:5=0,6
5:8=0,625
8:13 = 0,615

34:55=0,618



Categorie:L05.2- Storia della Matematica medievale - Medieval Mathematics, L06- Teoria dei numeri - Number Theory, L14- Matematica e Arte - Art and Mathematics

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