Solidi platonici- I cinque poliedri regolari

Solidi platonici

I cinque poliedri regolari

Solidi

solidi platonici

Proclo, storico della matematica del V secolo dopo Cristo, legato alla filosofia neo-platonica, attribuisce a Pitagora la scoperta dei 5 poliedri regolari:

Pitagora, venuto dopo di lui (cioé di Talete) trasformò questa scienza in una forma di educazione liberale, riconducendone i principi a idee ultime e dimostrandone i teoremi in maniera astratta e puramente intellettuale. Fu lui a scoprire la teoria delle proporzioni e la costruzione delle figure cosmiche.

La mancanza di frammenti attribuibili a Pitagora rende difficilmente dimostrabile questa tesi, tuttavia nel Timeo di Platone, di poco successivo a Pitagora, troviamo una descrizione precisa dei 5 corpi regolari, cioé dei possibili solidi sfaccettati che abbiano le facce, gli spigoli e gli gli angoli, uguali tra loro. Platone userà questa straordinaria scoperta come simbologia dell’universo e dei suoi elementi base: il fuoco (tetraedro), la terra (cubo), l’aria (ottaedro) e l’acqua (l’icosaedro). Il quinto poliedro regolare, il dodecaedro, era a simboleggiare la quinta essenza che tutto avvolge e comprende. La metafora ha un qualche senso matematico dato che è possibile dimostrare che l’unico poliedro regolare nel quale sia possibile inscrivere gli altri 4 è il dodecaedro. Questa tradizione neo-platonica resterà viva fino a Keplero che credette di poter descrivere i moti dei pianeti in termini di poliedri e loro reciproche inclusioni.

La dimostrazione che sono possibili al massimo 5 corpi regolari si trova, come abbiamo detto, anche nel Timeo di Platone (e in tutti i testi di divulgazione su questo argomento) e non è difficile: dato che in ogni vertice del poliedro si deve creare un angoloide, ci vogliono almeno tre facce ed in più deve accadere che la somma degli angoli delle facce che concorrono a quel vertice deve essere minore di 360 gradi; in caso contrario infatti le facce si appiattirebbero in uno stesso piano. Questo implica che non è possibile avere facce esagonali o con un numero maggiore di lati dato che questi poligoni hanno angoli maggiori di 120 gradi. Restano dunque possibili solo 5 casi

  • 3 facce pentagonali concorrenti in un vertice (108ox3= 324o< 360o)
  • 3 facce quadrate concorrenti in un vertice (90ox3=270o<360o)
  • 3 facce triangolari concorrenti in un vertice (60ox3=180o<360o)
  • 4 facce triangolari concorrenti in un vertice(60ox4=240o<360o)
  • 5 facce triangolari concorrenti in un vertice(60ox5=300o<360o)

Poliedro

Si vede quindi facilmente che non possono esistere più di 5 poliedri regolari, ma la cosa di gran lunga più sorprendente è che di fatto questi cinque esistono. Oltre al cubo che possiamo facilmente immaginare (le 6 basi sono quadrati uguali e gli angoli tra due basi sono tutti retti) esistono altri quattro corpi con tutte queste caratteristiche di regolarità e simmetria che abbiamo richieste. Possiamo di fatto costruire un corpo solido sfaccettato, con 5 triangoli equilateri che concorrono in ogni vertice, che si chiude e che appare, qualunque sia la base su cui venga appoggiato, identico a se stesso. Quante facce avrà questo oggetto? quanti vertici? Ugualmente esistono i corrispondenti solidi per ognuno delle possibilità elencate innanzi. L’effettiva costruzione di questi poliedri, che è patrimonio distintivo della cultura scientifica occidentale, e che non ha uguali nella matematica cinese o indiana o babilonese, si trova nel tredicesimo libro degli Elementi di Euclide e rappresenta in un certo senso il punto di arrivo della geometria classica. Queste costruzioni, che non sono facili, nei libri di divulgazione sono generalmente omesse trascurando in questo modo proprio gli aspetti più ingegnosi e stimolati della geometria euclidea.

Tetrahedron_1

Tetraedro
4 facce triangolari
6 spigoli
4 vertici

Hexahedron_1

Cubo
6 facce quadrate
12 spigoli
8 vertici

Solidi

Ottaedro
8 facce triangolari
12 spigoli
6 vertici

Dodecahedron_1

Dodecaedro
12 facce pentagonali
30 spigoli
20 vertici

Icosahedron_1

Icosaedro
20 facce triangolari
30 spigoli
12 vertici

Tetrahedron.jpg
Tetraedro(4,6,4)(3,3)
Hexahedron.jpg
Cubo(6,12,8)(4,3)
Octahedron.svg
Ottaedro(8,12,6)(3,4)
POV-Ray-Dodecahedron.svg
Dodecaedro(12,30,20)(5,3)
Icosahedron.svg
Icosaedro(20,30,12)(3,5)

La tabella indica per ogni solido platonico la terna (F,S,V) ed una coppia (N,M), con N pari al numero di lati di ogni faccia e M pari al numero di spigoli su ogni vertice (cioè la sua valenza). Cubo e ottaedro sono duali, dodedaedro e icosaedro sono duali. Il tetraedro è duale a se stesso (la dualità inverte le terne e le coppie di numeri nelle tabelle).

Il centro di ogni solido platonico è anche centro di una sfera inscritta (interna e tangente a tutte le facce) e di una sfera circoscritta (esterna e contenente tutti i vertici).

I poliedri, per essere regolari, oltre ad avere come facce poligoni regolari tutti uguali, devono anche avere tutti gli spigoli e i vertici equivalenti.

I solidi platonici giocano un ruolo centrale nella geometria solida: sono i solidi che presentano la maggiore regolarità possibile e il maggior numero di simmetrie. I loro gruppi di simmetrie hanno collegamenti con le sezioni più disparate della matematica. Hanno inoltre un posto di rilievo nella storia del pensiero greco, arabo e rinascimentale. Platone, nel Timeo, associò ad ognuno di essi un elemento: al tetraedro il fuoco, al cubo la terra, all’ottaedro l’aria, all’icosaedro l’acqua, mentre ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell’universo.



Categorie:L07.1- Geometria euclidea - Euclidean Geometry

Tag:, ,

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

SCIENZA E CULTURA - SCIENCE AND CULTURE

Lo stato dell'arte tra storia e ricerche contemporanee - State of the art: history and contemporary research

Storia delle Maschere e del Teatro popolare - Masks and Popular Theatre

Museo virtuale delle maschere e del teatro popolare

ORIENTALIA [ORIENTE-OCCIDENTE]

Studi orientali - Études Orientales - Oriental Studies

NUOVA STORIA CULTURALE / NETWORK PHILOSOPHY

NUOVA STORIA CULTURALE / NEW CULTURAL HISTORY

TEATRO E RICERCA - THEATER AND RESEARCH

Sito di approfondimento e studio della Compagnia Lost Orpheus Teatro

LOST ORPHEUS ENSEMBLE

Modern Music Live BaND

Il Nautilus

Viaggio nella blogosfera della V As del Galilei di Potenza

Sonus- Materiali per la musica moderna e contemporanea

Aggiornamenti della Rivista "Sonus"- Updating Sonus Journal

The WordPress.com Blog

The latest news on WordPress.com and the WordPress community.

Antonio De Lisa - Scritture / Writings

Teatro Musica Poesia / Theater Music Poetry

In Poesia - Filosofia delle poetiche e dei linguaggi

Blog Journal and Archive diretto da Antonio De Lisa

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: