Trasformazioni geometriche: omotetie

Definizioni

Un’omotetia è un tipo particolare di trasformazione affine. Vediamo come è definita.

Consideriamo un punto O nel piano ed un numero reale K non nullo. La trasformazione T che ad ogni punto A del piano fa corrispondere il punto A’ , allineato con O ed A e tale che sia : è detta omotetia di centro O e rapporto K .

La costante K è detta rapporto di omotetia:

• se K >0 l’omotetia si dice diretta,
• se K < l’omotetia si dice inversa.

O si dice centro di omotetia.

Possiamo applicare la stessa trasformazione a figure più complesse. Nell’immagine seguente consideriamo un’omotetia di costante K=1/2 . Notiamo che otteniamo una duplicazione della figura di partenza.

Nel caso in cui il centro di omotetia O corrisponda con l’origine degli assi è semplice dare le equazioni analitiche dell’omotetia:

.

La matrice della trasformazione è la seguente:

.

Notiamo che Det ( A )= K ² .

Proprietà fondamentali

Si può dimostrare che un’omotetia gode delle seguenti proprietà:

• trasforma una retta in una retta parallela alla retta data;
• l’unico punto unito è il centro di omotetia;
• trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data;
• se la figura S’ è l’immagine corrispondente di una figura S, allora Area (S’)= K ² Area (S).

Esempio 1

Consideriamo la seguente omotetia T con centro l’origine degli assi:

Per capire come agisce T, vediamo come viene trasformato da T il triangolo isoscele ABC (nelle figura 3 in rosso) di vertici A(0,1), B(-1,0), C(0,-1). Il punto A ha come immagine il punto A'(0,2). Il punto B ha come immagine il punto B'(-2,0). Il punto C ha come immagine il punto C'(0,-2).

(fig. 3)	(fig. 4)

Notiamo che la figura trasformata (nella figura 4 il triangolo in blu) è un triangolo simile a quello di partenza.

Al posto dei trangoli potremmo considerare qualsiasi tipo di immagine, anche molto più complessa.

Esempio 2

Consideriamo ora la seguente omotetia T di centro l’origine degli assi:

Osserviamo come trasforma la circonferenza di centro il punto di coordinate (1,0) e raggio 1 (fig. 5). La figura trasformata è una circonferenza di centro (-1/2, 0) e raggio 1/2. Si tratta di un’omotetia inversa.

(fig. 5)	(fig. 6)

Categorie:K05.2- Geometria proiettiva e descrittiva - Projective and Descriptive Geometry

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