Storia in sintesi del concetto di funzione

Storia del concetto di funzione

Il termine funzione è stato introdotto in matematica da Gottfried Leibniz nel 1694, per denotare una quantità collegata ad una curva, come la pendenza di una curva o uno specifico punto di una curva. Le funzioni considerate da Leibniz oggi sono chiamate più particolarmente funzioni differenziabili e costituiscono il tipo di funzione più frequentemente impiegato nelle applicazioni. Per questo tipo di funzione, si possono considerare limiti e derivate; entrambe queste nozioni sono misure del cambiamento dei valori di uscita associato a un cambiamento dei valori di ingresso; queste misure costituiscono la base del calcolo infinitesimale.

Successivamente, intorno alla metà del XVIII secolo la parola funzione fu usata da Eulero per descrivere una espressione o una formula che coinvolge vari argomenti, come ad es. f(x) = sin(x) + x3.

Le funzioni sono uno dei modelli matematici privilegiati per lo studio di aspetti diversi della realtà e rappresentano un concetto centrale nella formazione matematica. Quello di funzione è tuttavia un concetto talvolta sfuggente, sia per le diverse forme in cui si può presentare – in formule, grafica, tabellare, a parole – sia per il diverso modo di intenderla e definirla.

Quello di funzione è uno dei concetti più importanti della matematica, in quanto, dopo la sua introduzione, ha rivoluzionato la disciplina stessa. La sua formalizzazione è avvenuta in tempi relativamente recenti, ma si trova già a livello embrionale sin dal 1500.

Infatti Tycho Brahe (1546-1601), nell’ideare un modello del sistema solare da contrapporre a quello copernicano, effettuò numerose misurazioni astronomiche che lo portarono alla tabulazione del raggio R dell’orbita dei pianeti e dei periodi di rivoluzione T. In questo modo determinò una funzione empirica che legava R a T.

Galileo Galilei (1564-1642) nel suo “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica e i movimenti locali” si esprime circa la dipendenza tra grandezze in questi termini:

«[…] per esperienze ben cento volte replicate sempre s’incontrava, gli spazii passati esser tra di loro come i quadrati dei tempi, e questo in tutte le inclinazioni del piano, cioè del canale nel quale si faceva scendere la palla […]»

In un’opera del francese Pierre de Fermat (1601-1665) pubblicata nel 1679, il matematico francese utilizza l’espressione: «ogni volta che due quantità incognite sono legate da un’equazione, si ha una linea che può essere retta o curva» e descrive l’equazione della retta passante per l’origine con la frase «D in A aequetur B in E», ovvero «D volte l’ascissa è uguale a B volte l’ordinata». Tale espressione, nel linguaggio odierno viene tradotta con l’equazione:

D x = B y

ovvero

 

Isaac Newton (1642-1727), nel periodo in cui venivano studiate le traiettorie dei proiettili sparati dai cannoni, considerava le curve come delle «scie» lasciate da corpi in movimento. Infatti, nel suo “Tractatus de quadratura curvarum” scrive:

«Io considero qui le quantità matematiche non come costituite da parti molto piccole, ma descritte da un moto continuo. Le linee sono descritte, e quindi generate, non dalla giustapposizione delle loro parti, ma dal moto continuo dei punti … questa genesi ha effettivamente luogo nella natura delle cose e può essere vista quotidianamente nel moto dei corpi».

Il primo matematico che diede una definizione di funzione fu lo scozzese James Gregory (1638-1675) nella sua opera Vera circoli et hyperbolae quadratura (1667). In essa la funzione viene definita come una quantità che si ottiene da altre quantità mediante l’uso in successione di operazioni algebriche. La definizione non fu molto considerata in quanto restrittiva.

Il primo matematico ad utilizzare il termine funzione in un suo manoscritto del 1673 fu Gottfried Leibniz (1646-1716) nella sua opera “Nova methodus pro maximise et minimis itemque tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratur” (Nuovo metodo per trovare i massimi e i minimi, e anche le tangenti, non ostacolato dalle quantità irrazionali). Con questo termine indicava una quantità che varia da punto a punto in una curva.

Nel 1718 il matematico svizzero Johann Bernoulli (1667-1748) scrive circa la funzione utilizzando questi termini:

«Chiamo funzione di una grandezza variabile una quantità composta in maniera qualunque da questa grandezza variabile e da costanti»”

Leonhard Euler (1707-1783) nell’”Introductio in analysin infinitorum “ (1748) dà la seguente definizione di funzione:

«Una funzione di una quantità variabile è un’espressione analitica composta in una maniera qualunque da questa quantità variabile e da numeri o quantità costanti», definizione molto simile a quella data precedentemente da Bernoulli. Inoltre afferma che «se delle quantità dipendono da altre in modo tale che dalle mutazioni di queste anche le prime subiscano delle variazioni, esse si usano chiamare funzioni di queste. Questa denominazione ha un’estensione molto ampia e comprende in sé tutti i modi coi quali una quantità si può determinare per mezzo di altre. Se dunque x rappresenta una quantità variabile, allora tutte le quantità che dipendono da x in un modo qualunque o possono determinarsi per mezzo di essa, sono chiamate funzioni di essa.»

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) diede una definizione di funzione che è vicina a quella moderna. Egli afferma che

«una variabile y si dice funzione della variabile x in un certo intervallo, quando esiste una legge, di natura qualsiasi, la quale faccia corrispondere a ogni valore dato alla x un valore e uno solo per la y».

Nel 1857, il matematico francese Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), diede la seguente definizione di funzione:

«due variabili reali o, in altri termini, due quantità algebriche variabili diconsi funzioni una dell’altra quando variano simultaneamente in modo che il valore dell’una determini il valore dell’altra».

Tale definizione è diversa sia da quella data da Dirichlet che da quella moderna.

Nel 1878, il matematico tedesco Karl Weierstrass (1815-1897), padre dell’analisi moderna, diede la definizione seguente:

«se una quantità variabile reale…, che diremo y, è legata ad un’altra quantità variabile reale… x, in guisa che ad un valore di x corrispondano, entro certi limiti, uno o più valori determinati per y, si dirà che y è funzione di x nel senso più generale del vocabolo e si scriverà y=f(x)».

Nella prima metà del 1900, un gruppo di matematici che utilizzava il nome di Bourbaki per le proprie pubblicazioni, si pose come scopo primario quello di risistemare tutta la matematica basandola sulla teoria degli insiemi.

Nel 1939, il matematico bourbakista Jean Alexandre Eugène Dieudonné (1906-1992), definisce la funzione come segue:

«Siano E e F due insiemi distinti o no. Una relazione fra una variabile x di E e una variabile y di F è detta relazione funzionale di E verso F, se, qualunque sia x in E, esiste un elemento y di F, e uno solo, che stia nella relazione considerata con x. Si dà il nome di funzione all’operazione che così associa ad ogni elemento x di E l’elemento y di F che si trova nella relazione data con x; si dice che y è il valore della funzione per l’elemento x e che la funzione è determinata dalla relazione funzionale considerata».

Nel corso del XIX secolo i matematici hanno cominciato a formalizzare tutte le differenti branche della matematica. Karl Weierstrass ha sostenuto che si dovesse costruire il calcolo infinitesimale a partire dall’aritmetica e non sulla geometria; questo ha fatto preferire la definizione di Eulero a quella di Leibniz (vedi aritmetizzazione dell’analisi).

Ampliando la definizione di funzioni, i matematici si sono posti in grado di studiare gli oggetti matematici “strani” come le funzioni continue che non sono in alcun punto differenziabili. Queste funzioni in un primo momento venivano considerate solo delle curiosità formali e fino all’inizio del XX secolo venivano chiamate indifferenziatamente “mostri”. Le potenti tecniche dell’analisi funzionale successivamente sviluppate hanno mostrato che queste funzioni sono in qualche senso “più comuni” delle funzioni differenziabili. Queste funzioni da allora si sono cominciate ad applicare alla modellizzazione di fenomeni fisici come il moto browniano.

Verso la fine del XIX secolo i matematici hanno cominciato a tentare di formalizzare l’intera matematica servendosi della teoria degli insiemi e si sono proposti di definire ogni entità matematica mediante un insieme. Dirichlet e Lobachevcky indipendentemente e quasi simultaneamente hanno data la moderna definizione “formale” di funzione.

Secondo tale definizione, una funzione è un caso speciale di una relazione. In gran parte dei casi di interesse pratico, tuttavia, le differenze fra la definizione moderna e quella di Eulero possono essere trascurate.

Negli anni intorno al 1930, nell’ambito della logica matematica e della teoria della computazione è stata introdotta una nozione di funzione che si avvicina a quella di regola per una computazione, piuttosto che a quella di genere speciale di relazione. Questa nozione è stata formalizzata mediante svariati sistemi e macchine formali, come il lambda calcolo, la teoria delle funzioni ricorsive e la macchina di Turing per opera di personaggi come Alonzo Church, Emil Post e Alan Turing.

Questa definizione non va vista come in conflitto con quella di Dirichlet e Lobachevcky, ma piuttosto come complementare ad essa e corrisponde ad un punto di vista più ampio nel quale si distinguono l’approccio matematico condotto su basi assiomatiche a livello generale, ma trascurando le questioni riguardanti i calcoli effettivi, e l’approccio che intende rendersi consapevole dei problemi posti dai procedimenti di calcolo effettivi al fine di porsi in grado di intervenire nelle questioni derivanti dall’esigenza di studiare a livello generale gli algoritmi e la complessità delle computazioni. In effetti gli studi sulle funzioni calcolabili sono stati fatti propri dalla informatica teorica fin dal suo inizio.

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Categorie:L01- I concetti della matematica - The concepts of Mathematics, L11- Analisi - Calculus

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