Gli algebristi italiani del Cinquecento

Una nuova fase della matematica incomincia in Italia attorno al 1500. Infatti, nel 1494, appare la prima edizione di Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità del frate Luca Pacioli.
La Summa fu più influente che originale. E’ una grandiosa compilazione, scritta in volgare, di materiali appartenenti a quattro campi diversi della matematica: aritmetica, algebra, geometria euclidea molto elementare e registrazione a partita doppia.
La sezione sull’algebra comprende la soluzione canonica delle equazioni di primo e di secondo grado. Sebbene sia priva della notazione esponenziale, presenta un largo uso di forme abbreviate proprie dell’algebra sincopata. Le lettere p e m erano già in uso come abbreviazioni di somma e sottrazione e Pacioli introdusse l’uso di R per radice, co per cosa (incognita), ce per censo (il quadrato dell’incognita) e ae per aequalis. Per indicare la quarta potenza dell’incognita usava cece.

Consideriamo la seguente sequenza:

In notazione moderna diventa:

Pacioli credeva che le equazioni di terzo grado non potessero essere risolte algebricamente, mentre le equazioni di quarto grado del tipo potevano essere risolte attraverso metodi quadratici.

Oltre ai cambiamenti che la Summa ha apportato nel campo delle notazioni, questa opera ha anche stimolato, direttamente o indirettamente, la ricerca delle soluzioni delle equazioni cubiche.

Nel 1545 la soluzione dell’equazione di terzo e quarto grado diventò di dominio pubblico con l’uscita dell’Ars magna di Girolamo Cardano. (Per ulteriori informazioni su Cardano come matematico ma soprattutto come uomo, si visiti il sito Gerolamo Cardano: il matematico libertino [62].)

Frontespizio dell’opera di Cardano Ars magna.

Egli, però, non ne fu lo scopritore, come ammette nel suo libro: l’idea della soluzione dell’equazione di terzo grado l’aveva avuta da Nicolò Tartaglia e la soluzione dell’equazione di quarto grado era stata trovata da Ludovico Ferrari. Ciò che Cardano non menzionò era la promessa fatta a Tartaglia di non divulgare il segreto, poiché quest’ultimo intendeva farsi un nome con la pubblicazione della soluzione delle equazioni di terzo grado a coronamento del suo trattato di algebra. Nacque quindi una intricata controversia tra i sostenitori dell’uno e dell’altro. Va comunque detto che neppure Tartaglia fu il primo a fare la scoperta. Infatti, un professore di matematica a Bologna, Scipione del Ferro, prima di morire aveva rivelato ad un suo studente, Antonio Maria Fiore, la soluzione.
Sembra che fosse circolata la voce dell’esistenza di una soluzione algebrica dell’equazione di terzo grado, e Tartaglia ci dice che la conoscenza della possibilità di risolvere l’equazione lo stimolò a trovare da sé il metodo per ottenerla e così fece. Quando si diffuse la notizia di tale scoperta, fu organizzata una gara matematica tra Fiore e Tartaglia. Ciascuno dei contendenti proponeva all’altro trenta problemi da risolvere in un tempo stabilito. Tartaglia risolse tutte le questioni proposte da Fiore, mentre quest’ultimo non ne risolse neppure una. Questo perché, a quei tempi, quando i coefficienti negativi non venivano mai usati, vi erano altrettanti tipi di equazioni del terzo grado quante erano le possibilità che i segni dei coefficienti fossero positivi o negativi. Fiore era in grado di risolvere solo equazioni in cui cubi e radici erano uguali a un numero, del tipo . Tartaglia, invece, aveva imparato a risolvere anche equazioni in cui cubi e quadrati sono uguali a un numero.

L’Ars magna non offre oggi una lettura molto eccitante: tutti i casi delle equazioni di terzo grado vengono laboriosamente discussi uno dopo l’altro in tutti i loro dettagli a seconda che i termini dei vari gradi compaiano nello stesso membro o in membri opposti dell’equazione. Nonostante Cardano trattasse di equazioni numeriche, seguiva l’esempio di al-Khuwarizmi nel concepirle geometricamente: poiché veniva concepito come un volume, anche doveva venire concepito come un volume, per cui 6 doveva avere le dimensioni di un’area. Le considerazioni geometriche, però, creavano dei problemi nella trattazione dei numeri negativi: era inconcepibile pensare che una linea, o un quadrato, o un cubo, avessero,rispettivamente, lunghezza, o area, o volume, negativi; inoltre era impensabile poter sottrarre una quantità più grande da una più piccola.

Esempio: “sia un cubo e 6 volte il suo lato uguale a 20”, che in linguaggio simbolico si esprime .

Poniamo . Allora l’equazione di partenza diventa:

Dobbiamo determinare u e v tali che

Bisogna quindi individuare e di cui è nota la somma e il prodotto. Ci si riconduce allora ad una equazione del tipo , risolta da

Dopo aver sviluppato il suo metodo, Cardano termina con una formulazione verbale della regola che porta alla soluzione: in simboli è espressa

.

Per vedere la trattazione geometrica di questo metodo risolutivo è utile accedere al sito L’arte dell’algebra [61] nella sezione dedicata all’Ars magna di G Cardano.

Nel trattare equazione del tipo “un cubo uguale a una cosa e a un numero”, Cardano incontrò qualche difficoltà. Se infatti applicava la sua regola all’equazione , il risultato era .
Cardano sapeva che non esisteva nessuna radice quadrata di un numero negativo, ma sapeva anche che era una radice dell’equazione: non capiva quindi come potesse avere senso la sua formula in questo caso. Non poteva far altro che concludere che il suo risultato era “tanto sottile quanto inutile”. Va comunque riconosciuto a Cardano il merito di avere almeno presentato attenzione a questa situazione.

Vediamo ora, attraverso un esempio, come Cardano risolveva le equazioni di quarto grado.

Esempio:

1. Si aggiunge a entrambi i membri dell’equazione quadrati e numeri sufficienti a rendere il membro sinistro uguale a un quadrato perfetto:
   , cioè
   .
2. Si aggiunge a entrambi i membri dell’equazione termini comportanti una nuova incognita y in modo che il membro a sinistra rimanga un quadrato perfetto: .
3. Si sceglie la y in modo tale che il trinomio del membro a destra sia un quadrato perfetto (si pone uguale a zero il discriminante):
   .
4. Si ottiene una equazione del terzo grado nella y, , che può essere risolta con la regola precedentemente data. La soluzione è
   .
5. Si sostituisce con il valore trovato la y nel secondo passaggio e si estrae la radice quadrata.
6. Si ricava una equazione del secondo grado nella x, che deve essere risolta.

Al tempo di Cardano i numeri irrazionali venivano ormai ammessi; i numeri negativi sollevavano maggiori difficoltà. Fin quando si erano studiate solo equazioni di secondo grado, gli algebristi avevano potuto evitare i numeri immaginari semplicemente dicendo che un’equazione del tipo non era risolvibile. Con l’introduzione delle equazioni di terzo grado, però, la situazione cambiò: ogniqualvolta le tre radici dell’equazione erano reali e diverse da zero, la formula di risoluzione portava a radici quadrate di numeri negativi. E’ in questo ambito che entra in scena un altro algebrista italiano, Raffaele Bombelli.

Frontespizio di Algebra di Bombelli.

Nella sua opera, Algebra, stampata nel 1572, osservava che i due radicandi delle radici cubiche risultanti dalla solita formula differivano solo per un segno. Abbiamo visto che la soluzione di porta a , mentre si sa che, per sostituzione diretta, è l’unica radice positiva dell’equazione. Bombelli ebbe l’idea che i radicali potessero essere messi in relazione tra loro nello stesso modo in cui erano correlati tra loro i radicandi (oggi si parla di numeri complessi coniugati). La sua osservazione, a quel tempo, non fu di nessun aiuto nel lavoro di soluzione delle equazioni del terzo grado, ma ebbe il merito di portare alla luce il concetto di numero complesso. Fra le molte notazioni introdotte da Bombelli, infatti, vi è l’uso dei simboli +i (più di meno) e -i (meno di meno).

La conseguenza più importante di questo periodo dedicato alla scoperta delle soluzioni delle equazioni di terzo e quarto grado fu il potente stimolo che diede alle ricerche algebriche in diverse direzioni. Naturalmente lo studio delle equazioni venne generalizzato fino ad includere equazioni polinomiali di qualsiasi ordine, e in particolare si tentò di trovare una soluzione per le equazioni di quinto grado. I matematici dei due secoli successivi si trovarono di fronte ad un problema algebrico insolubile: il risultato di tutti questi sforzi fu molta buona matematica, ma negativo per quanto riguarda la possibilità di una soluzione del genere.

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