Ipotesi di Riemann

Ipotesi di Riemann

Bernhard Riemann morì a quarant’anni non ancora compiuti, il 20 luglio 1866, a Selasca, una piccola località presso Intra, sul Lago Maggiore, dove si era recato per ristabilire la sua salute, gravemente compromessa dai postumi di una pleurite. In appena quindici anni di attività, era riuscito a dare contributi fondamentali in quasi tutti i campi della matematica allora conosciuta, dalla teoria dell’integrazione alla fisica matematica, dal calcolo delle variazioni alla teoria delle funzioni di variabile complessa.

Le idee e le scoperte di Riemann non solo lasciarono un’impronta profonda e duratura, ma spesso anticiparono in maniera quasi profetica i futuri sviluppi della scienza: nella sua lezione di abilitazione Sulle ipotesi che stanno a fondamento della geometria, pronunciata nel 1854,  avanza ardite ipotesi sulla natura dello spazio fisico che influenzeranno Einstein nella formulazione della teoria della relatività generale.

La memoria del 1859 che contiene la celebre congettura sulla funzione zeta – nota sotto il nome di ipotesi di Riemann – affronta un problema con cui si erano già cimentati matematici del calibro di Adrien-Marie Legendre e Carl Friedrich Gauss: quanti sono i numeri primi inferiori a un numero assegnato, comunque grande? Euclide dimostrò più di duemila anni fa che esistono infiniti numeri primi ma ancor oggi molte delle loro proprietà rimangono misteriose. Ogni numero si può scrivere come somma di due primi (congettura di Golbach)? Come sono distribuiti i primi? Esistono infinite copie di primi la cui differenza è uguale a due? Le congetture e le speculazioni in questo campo sono probabilmente più numerose e apparentemente più semplici che in qualsiasi altro settore della matematica, forse anche perché, come ebbe modo di osservare G.H. Hardy, «ogni sciocco può porre questioni sui numeri primi alle quali il più saggio degli uomini non sa rispondere».

Nell’ultimo decennio del Settecento Legendre e Gauss ebbero l’idea che la distribuzione in media dei numeri primi obbedisca a semplici leggi statistiche e giunsero così a enunciare, senza riuscire a dimostrarlo, il teorema fondamentale dei numeri primi, che fornisce una stima di massima del numero dei primi più piccoli di un intero N, con approssimazione sempre migliore al crescere di N. Riemann, nell’articolo del 1859, migliorò le stime di Legendre e Gauss ed scoprì alcune delle mirabolanti proprietà della funzione zeta, che costituirà l’ingrediente fondamentale per le dimostrazioni – quasi simultanee e indipendenti l’una dall’altra – del teorema fondamentale dei numeri primi da parte di Jacques Hadamard e Charles de la Vallée-Poussin nel 1896.

L’ipotesi di Riemann fu inclusa da David Hilbert nella famosa lista di ventitré problemi da lui da lui presentata al Congresso internazionale dei matematici svoltosi a Parigi del 1900. Nonostante i formidabili progressi compiuti dalle discipline matematiche negli ultimi cento rimane una questione ancora senza risposta (c’è anche chi ne mette in dubbio la validità), che tuttavia si è dimostrata preziosa per stimolare lo sviluppo di molte nuove linee di ricerca.  Dai risultati ottenuti all’inizio del secolo scorso da Hardy e Littlewood alle geniali intuizioni di André Weil, così come nei lavori di grandi matematici quali Siegel, Selberg, Bombieri, Erdös, Connes l’ipotesi di Riemann è stata un faro che ha guidato la difficile navigazione nel vasto oceano della teoria dei numeri.

I numeri primi hanno di recente trovato un’importante applicazione commerciale nei metodi crittografici a chiave pubblica, sviluppati a partire dalla seconda metà degli anni ’70, che consentono di scambiare messaggi in codice senza la necessità di comunicare in anticipo una chiave segreta.

L’ipotesi nella teoria dei numeri

In teoria dei numeri analitica, l’ipotesi di Riemann è una congettura sulla distribuzione degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann ζ(s), definita come

\zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s}

per un numero complesso s con parte reale maggiore di 1 e prolungabile analiticamente a una funzione meromorfa su tutto il piano complesso.

Parte reale e immaginaria dei valori assunti dalla funzione zeta lungo la linea critica Re(x)=1/2. Si possono notare i primi zeri non banali in Im(x) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011.

Parte reale e immaginaria dei valori assunti dalla funzione zeta lungo la linea critica Re(x)=1/2. Si possono notare i primi zeri non banali in Im(x) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011.

Considerata il più importante problema aperto della matematica,[1] l’ipotesi di Riemann è uno dei ventitré problemi di Hilbert e uno dei sette Millennium Problems, per la soluzione di ciascuno dei quali il Clay Mathematics Institute ha offerto un premio da un milione di dollari. La sua importanza deriva dalle conseguenze che una sua dimostrazione avrebbe sulla teoria dei numeri primi. Sebbene la maggior parte dei matematici ritenga l’ipotesi di Riemann vera, vi sono alcune eccezioni, come quelle notevoli di J. E. Littlewood e Atle Selberg.

Dall’equazione funzionale discende che la funzione zeta di Riemann ζ(s) ha zeri, detti banali, negli interi pari negativi, s = −2, s = −4, s = −6, … La congettura di Riemann riguarda invece gli zeri non banali e afferma che

« La parte reale di ogni radice non banale è 1/2 »

In altre parole, le radici non banali dovrebbero trovarsi tutte sulla retta descritta dall’equazione s = 1/2 + it (indicata come critical line in Fig. 3) con t numero reale e i unità immaginaria.

Rapporti con la teoria dei numeri primi

Il primo legame tra la funzione zeta e i numeri primi era già stato scoperto da Eulero, che notò che per ogni numero reale maggiore di 1, vale la formula prodotto di Eulero,

\zeta(x) = \prod_{p\text{ primo}}^\infty \frac{1}{1 - p^{-x}},

dove, nella produttoria, p spazia tra tutti i numeri primi.

L’andamento della funzione zeta (e in particolare la distribuzione dei suoi zeri) risulta quindi legato (attraverso altri passaggi che si omettono) alla distribuzione dei numeri primi immersi nell’insieme dei numeri naturali.

 
Modulo della funzione Z sul piano complesso

Modulo della funzione Z sul piano complesso

 
 

È improbabile che Riemann avesse risolto la congettura che porta il suo nome, non avendo lui mai pubblicato una dimostrazione. È possibile però che avesse comunque ideato linee di attacco diverse da quelle studiate in seguito, ma parte delle sue carte fu distrutta dopo la sua morte da una troppo zelante domestica;[2] non possiamo quindi sapere per certo se egli avesse solo impostato o risolto il problema.

Fig. 3: I valori assoluti della funzione ζ, indicati con tonalità più chiara al crescere del valore. Si distinguono due zeri non banali (più scuri) che obbediscono alla congettura, ubicati sulla "retta critica" verticale. Gli zeri banali giacciono invece sull'asse negativo delle x

Fig. 3: I valori assoluti della funzione ζ, indicati con tonalità più chiara al crescere del valore. Si distinguono due zeri non banali (più scuri) che obbediscono alla congettura, ubicati sulla “retta critica” verticale. Gli zeri banali giacciono invece sull’asse negativo delle x

Conseguenze

Stabilire una regola matematica che dimostri l’esistenza o meno di una logica nell’assenza di una cadenza nella distribuzione dei numeri primi, significherebbe comprendere se vi è un'”aritmia” totale in quest’ultima o se essa manchi; questo potrebbe avere importanti ricadute sulle applicazioni informatiche odierne e future, poiché la crittografia utilizza sovente come chiavi numeri interi la cui fattorizzazione in numeri primi (molto grandi) non sia calcolabile in tempi accettabili.

L’eventuale conoscenza della distribuzione di tale sequenza potrebbe permettere quindi di facilitare la fattorizzazione di cui sopra: si renderebbe perciò necessario trovare altre tecniche di sicurezza telematica, quali ad esempio la crittografia con le funzioni ellittiche modulari, che però sono anch’esse soggette a una congettura pendente (la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer), o la crittografia quantistica, che per il momento sembra inattaccabile e la cui prima versione Qnet è già disponibile.

Tentativi di dimostrazione

Nel corso degli anni molti matematici hanno affermato di aver dimostrato l’ipotesi di Riemann. Un caso particolare è costituito da Louis de Branges de Bourcia, matematico già famoso per aver risolto la congettura di Bieberbach. Nel 1992, de Branges propose e pubblicò sul suo sito una dimostrazione basata su argomenti di analisi funzionale, ma i teorici dei numeri rimasero scettici e otto anni dopo Brian Conrey e Xian-Jin Li pubblicarono un articolo in cui fornirono controesempi che implicavano la non correttezza della dimostrazione.[3] Negli anni successivi, de Branges ha modificato spesso la dimostrazione presente sul sito[4], basandosi comunque sullo stesso tipo di idee. Tuttavia, sebbene finora nessuno abbia verificato la correttezza della dimostrazione dopo le modifiche apportate, anche la nuova versione viene comunemente ritenuta sbagliata in quanto gli argomenti utilizzati sono ritenuti inadeguati ad attaccare il problema.

NOTE

  1. Enrico Bombieri, Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis
     
  2. M. Du Sautoy, L’enigma dei numeri primi, Rizzoli, Milano 2004, 186
  3.  http://arxiv.org/abs/math.NT/9812166
     
  4. Ultima versione della dimostrazione

BIBLIOGRAFIA

  • Marcus du Sautoy L’enigma dei numeri primi – L’ipotesi di Riemann, il più grande mistero della matematica (titolo originale: The Music of the Primes – 2003), Milano, Rizzoli, 2004.
  • Derbyshire John, L’ossessione dei numeri primi, Torino, Bollati Boringhieri, 2006.


Categorie:L05.5- Matematica del Otto-Novecento e oltre - Contemporary Mathematics, L06- Teoria dei numeri - Number Theory

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