I 23 Problemi di Hilbert / Hilbert’s Mathematical Problems

I 23 Problemi di Hilbert / Hilbert’s Mathematical Problems

I Problemi di Hilbert costituiscono una lista di 23 problemi matematici stilata da David Hilbert e presentati l’8 agosto 1900 nella sua conferenza del Congresso internazionale dei matematici svoltasi a Parigi in quell’anno. Tutti i problemi allora presentati erano ancora irrisolti e molti di essi hanno avuto una notevole portata nella matematica del XX secolo. A questa conferenza in realtà egli presentò 10 di questi problemi (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22) e la lista completa venne pubblicata successivamente.

Ad imitazione dei problemi di Hilbert, per la fine del XX secolo e del secondo millennio, l’Istituto matematico Clay ha istituito altri 7 problemi per il millennio. L’ipotesi di Riemann è l’unico problema presente in entrambe le liste.

Nella formulazione classica dei problemi data da David Hilbert, i problemi 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 e 20 hanno una dimostrazione accettata con universale consenso.

I problemi 1, 2, 5, 9, 15, 18, 21, 22, hanno una soluzione non accettata da tutti i matematici (come il problema 18 considerato da alcuni risolto e da altri indimostrato fino alla prova della congettura di Keplero) o hanno una soluzione che non tutti ritengono che risolva il problema (per esempio il problema 1).

I problemi 8 (ipotesi di Riemann) e 12 sono irrisolti.

I problemi 4, 6, 16, 23 sono troppo vaghi per avere una soluzione. Anche il “ventiquattresimo problema” poi non presentato da Hilbert cadrebbe in quest’ultima categoria.

Elenco dei 23 problemi

I 23 problemi di Hilbert sono:

Problema Breve descrizione Stato attuale del problema
Problema 1 L’ipotesi del continuo, cioè determinare se esistono insiemi la cui cardinalità è compresa tra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali. Risoluzione parzialmente accettata
Problema 2 Si può dimostrare che l’insieme degli assiomi dell’aritmetica è consistente? Risoluzione parzialmente accettata
Problema 3 Dati due poliedri dello stesso volume, è possibile tagliare entrambi nello stesso insieme di poliedri più piccoli? Risolto
Problema 4 Costruire tutte le metriche in cui le rette sono geodetiche. Troppo vago
Problema 5 Tutti i gruppi continui sono automaticamente gruppi differenziali? Risoluzione parzialmente accettata
Problema 6 Assiomatizzare tutta la fisica. Troppo vago
Problema 7 Dati a ≠ 0,1 algebrico e b irrazionale, il numero a b è sempre trascendente? Risolto Parzialmente
Problema 8 Dimostrare l’ipotesi di Riemann. Aperto
Problema 9 Generalizzare la legge di reciprocità in un qualunque campo numerico algebrico. Risoluzione parzialmente accettata
Problema 10 Trovare un algoritmo che determini se una data equazione diofantea in n incognite abbia soluzione. Irresolubile
Problema 11 Classificare le forme quadratiche nel caso di coefficienti in un campo di numeri algebrico. Risolto
Problema 12 Estendere il Teorema di Kronecker-Weber sulle estensioni abeliane dei numeri razionali a estensioni abeliane di campi numerici arbitrari. Aperto
Problema 13 Risolvere l’equazione generale di settimo grado utilizzando funzioni con due soli argomenti. Risolto
Problema 14 Determinare se l’anello degli invarianti di un gruppo algebrico che agisce su un anello di polinomi è sempre finitamente generato. Risolto
Problema 15 Fondazione rigorosa del calcolo enumerativo di Schubert. Risoluzione parzialmente accettata
Problema 16 Topologia delle curve e superfici algebriche. Troppo vago
Problema 17 Determinare se le funzioni razionali non negative possono essere espresse come quozienti di somme di quadrati. Risolto
Problema 18 Esiste un poliedro non-regolare che può tassellare lo spazio? Qual è il più denso impacchettamento di sfere? Risoluzione parzialmente accettata
Problema 19 Le soluzioni dei problemi variazionali regolari sono sempre analitiche? Risolto
Problema 20 Tutti i problemi variazionali con determinate condizioni al contorno hanno soluzione? Risolto
Problema 21 Dimostrazione dell’esistenza di equazioni differenziali lineari aventi un prescritto gruppo di monodromia. Risoluzione parzialmente accettata
Problema 22 Uniformizzazione delle relazioni analitiche per mezzo di funzioni automorfe. Risoluzione parzialmente accettata
Problema 23 Sviluppare ulteriormente il calcolo delle variazioni. Troppo vago

Hilbert’s Mathematical Problems

In 1900, DAVID HILBERT outlined 23 mathematical problems to the International Congress of Mathematicians in Paris. His famous address influenced, and still today influence, mathematical research all over the world.

The original address Mathematische Probleme appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, and in Archiv der Mathematik und Physik, 1901. The French translation by M. L. Laugel Sur les problèmes futurs des mathématiques appeared in Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens, Gauthier-Villars, Paris, 1902.

Mary Winston Newson translated Hilbert’s address into English for Bulletin of the American Mathematical Society, 1902. A reprint of which appeared in Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, edited by Felix E. Browder, American Mathematical Society, 1976. There is also a collection on Hilbert’s Problems, edited by P. S. Alexandrov, 1969, in Russian, which has been translated into German.

Further Reading:
Ivor Grattan-Guinness: A Sideways Look at Hilbert’s Twenty-three Problems of 1900 (pdf file), Notices of the AMS, 47, 2000.
Jeremy J.Gray: We must know, we shall know; a History of the Hilbert Problems, European Math. Soc.: Newsletter 36, and Oxford Univ. Press, 2000.

David Joyce, Clark University, produced a list of Hilbert’s problems and a web version of Hilbert’s 1900 address in March 1997.

Biographical notes on Hilbert are contained in the History of Mathematics Archives, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.

Problem 1 Cantor’s problem of the cardinal number of the continuum. Cohen 1963/64: the continuum hypothesis is formally indecidable in the Zermelo-Fraenkel set theory.
Problem 2 The compatibility of the arithmetical axioms.
Problem 3 The equality of two volumes of two tetrahedra of equal bases and equal altitudes. Solved by Dehn in 1902.
Problem 4 Problem of the straight line as the shortest distance between two points.
Problem 5 Lie’s concept of a continuous group of transformations without the assumption of the differentiability of the functions defining the group.
Problem 6 Mathematical treatment of the axioms of physics.
Problem 7 Irrationality and transcendence of certain numbers. Gelfond-Schneider 1934, Baker 1966.
Problem 8 Problems of prime numbers. The distribution of primes and the Riemann hypothesis.
Problem 9 Proof of the most general law of reciprocity in any number field. See class field theory developed by Hilbert, Takagi, Artin, and others; norm rest symbols computed by Shafarevich in 1950, and further developments as in algebraic K-theory.
Problem 10 Determination of the solvability of a diophantine equation. Solved negatively by Matiyasevich in 1970.
Problem 11 Quadratic forms with any algebraic numerical coefficients. The Hasse principle 1923/24; arithmetic and algebraic theory of quadratic forms.
Problem 12 Extension of Kroneker’s theorem on abelian fields to any algebraic realm of rationality.
Problem 13 Impossibility of the solution of the general equation of the 7-th degree by means of functions of only two arguments.
Problem 14 Proof of the finiteness of certain complete systems of functions. First counter example by Nagata in 1958.
Problem 15 Rigorous foundation of Schubert’s enumerative calculus.
Problem 16 Problem of the topology of algebraic curves and surfaces.
Problem 17 Expression of definite forms by squares. Solved by Artin in 1927.
Problem 18 Building up of space from congruent polyhedra. Crystallographic groups, fundamental domains, sphere packing problem.
Problem 19 Are the solutions of regular problems in the calculus of variations always necessarily analytic?
Problem 20 The general problem of boundary values.
Problem 21 Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group.
Problem 22 Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions.
Problem 23 Further development of the methods of the calculus of variations.


Categorie:L05.5- Matematica del Otto-Novecento e oltre - Contemporary Mathematics

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