Le coniche di Apollonio

Le coniche di Apollonio

In matematica, e in particolare in geometria analitica e in geometria proiettiva, con sezione conica, o semplicemente conica, si intende genericamente una curva piana che sia luogo dei punti ottenibili intersecando la superficie di un cono circolare retto con un piano.

Le sezioni coniche sono state studiate accuratamente in epoca ellenistica, in particolare da Menecmo ed Apollonio di Perga intorno al 200 a.C.; questi diede anche i nomi tuttora in uso per i tre tipi fondamentali di sezioni coniche: ellisse (la circonferenza ne è un caso degenere), parabola e iperbole.

Si consideri il cono circolare retto costituito dalle rette generatrici, che con il suo asse, formano un angolo di ampiezza θ. Si tenga presente che i punti del cono si tripartiscono in tre sottoinsiemi: uno costituito solo dal suo vertice e due sottoinsiemi separatamente connessi dette falde o nappe.

A seconda del tipo di piano che interseca il cono si hanno due tipi di curve: le cosiddette non degeneri e le degeneri. Per quanto riguarda le prime si può avere:

  • l’ellisse, ottenuta intersecando il cono con un piano, che con il suo asse formi angoli maggiori di θ e minori o uguali a π/2; ciascuna di tali intersezioni appartiene a una sola delle due falde del cono ed è una curva chiusa;
  • la circonferenza, a sua volta caso particolare di ellisse ottenuta dall’intersezione del cono con un piano perpendicolare al suo asse, e anch’essa curva chiusa;
  • la parabola, ottenuta per intersezione del cono con un piano parallelo a una delle sue rette generatrici (in questo caso l’angolo formato con l’asse della conica è uguale a θ); ogni parabola appartiene a una sola delle falde del cono e non è una curva chiusa;
  • l’iperbole, ottenuta per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo inferiore a θ; anche l’iperbole è una curva aperta e, siccome il piano interseca entrambe le falde del cono, essa si bipartisce in due sottoinsiemi connessi detti rami della conica.

Le cosiddette coniche degeneri si ottengono, invece, per intersezioni con piani passanti per il vertice del cono:

  • il punto, ottenuto per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse angolo superiore a θ; nella fattispecie, il punto altro non è che il vertice di detto cono;
  • la retta, ottenuta per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo pari a θ; la retta ottenuta è una delle generatrici del cono;
  • una coppia di rette, ottenute per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo inferiore a θ; tali due rette si incontrano al vertice del cono e sono bisecate dalla retta ottenuta per intersezione del piano secante con il piano a esso ortogonale e passante per l’asse del cono.
Tipi di sezioni coniche: i piani, intersecando il cono, descrivono una circonferenza (in giallo), un'ellisse (in rosso), una parabola (in blu) e un'iperbole (in verde)

Tipi di sezioni coniche: i piani, intersecando il cono, descrivono una circonferenza (in giallo), un’ellisse (in rosso), una parabola (in blu) e un’iperbole (in verde)

Apollonio di Perga (Perga, 262 a.C. – Murtina, 190 a.C.) è stato un matematico e astronomo greco antico, famoso per le sue opere sulle sezioni coniche e l’introduzione, in astronomia, degli epicicli e deferenti.

Fu Apollonio che diede alla ellisse, alla parabola e alla iperbole i nomi con i quali da allora queste curve sono identificate.

Di lui sopravvivono solo due opere:

  • Separazione di un rapporto (due libri giunti a noi in una traduzione in arabo);
  • Le coniche (opera in otto libri dei quali quattro sopravvivono nella versione greca originale e sette in una traduzione in arabo, l’ottavo libro essendo perduto, ma ricostruito deduttivamente dallo scienziato arabo Alhazen).

Apollonio utilizzò le sue conoscenze geometriche anche per una applicazione pratica, la costruzione di una meridiana in cui l’ombra viene valutata su una superficie conica in modo da fornire una accuratezza maggiore delle meridiane con superficie piana.

Il carattere innovativo della sua metodologia e della sua terminologia, specialmente nell’area delle sezioni coniche, hanno influenzato molti studiosi dei secoli successivi e tra questi Tolomeo, Keplero, Pierre de Fermat, Cartesio e Isaac Newton.

A lui sono attribuiti anche le ipotesi delle orbite eccentriche, o in altri termini, le ipotesi di deferenti ed epicicli, con le quali spiegare il moto apparente dei pianeti, la velocità variabile della Luna e la variazione di luminosità degli astri.

Il problema di Apollonio

Il problema di Apollonio è un problema geometrico di tangenza tra circonferenze ed è formulato nei seguenti termini:

«Date tre circonferenze, eventualmente degeneri, determinare le eventuali circonferenze tangenti a quelle date».’

Date 3 circonferenze distinte si vogliono costruire 8 circonferenze tangenti ad esse. Si determinano innanzitutto i luoghi geometrici dei centri di tutte le circonferenze, tangenti a ogni coppia delle circonferenze date. Ogni coppia delle circonferenze date ammette due iperboli con la proprietà del detto luogo geometrico. Poiché vi sono tre circonferenze date, il numero totale delle iperboli è 6. I punti comuni a ogni 3 rami di tali iperboli sono i centri delle 8 circonferenze cercate

Date 3 circonferenze distinte si vogliono costruire 8 circonferenze tangenti ad esse. Si determinano innanzitutto i luoghi geometrici dei centri di tutte le circonferenze, tangenti a ogni coppia delle circonferenze date. Ogni coppia delle circonferenze date ammette due iperboli con la proprietà del detto luogo geometrico. Poiché vi sono tre circonferenze date, il numero totale delle iperboli è 6. I punti comuni a ogni 3 rami di tali iperboli sono i centri delle 8 circonferenze cercate

I possibili casi

Le tre circonferenze, eventualmente degeneri, possono essere costituite da:

  • tre punti: questo caso ammette una soluzione, cioè esiste una sola circonferenza passante per i punti dati;
  • due punti e una retta: ammette due soluzioni;
  • due punti e una circonferenza: due soluzioni;
  • un punto e due rette: due soluzioni;
  • un punto, una retta e una circonferenza: 4 soluzioni;
  • un punto e due circonferenze: 4 soluzioni;
  • tre rette: 4 soluzioni;
  • due rette e una circonferenza: 8 soluzioni;
  • una retta e due circonferenze: 8 soluzioni;
  • tre circonferenze: 8 soluzioni.

Il cerchio di Apollonio

Il cerchio di Apollonio è il luogo geometrico formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio.

Il nome deriva da Apollonio di Perga, geometra e astronomo greco, che per primo dimostrò che il luogo descritto era una circonferenza; tale proprietà può in effetti essere usata come definizione alternativa di circonferenza.

La costruzione geometrica del cerchio di Apollonio

La costruzione geometrica del cerchio di Apollonio

Equazione cartesiana

Fissiamo due punti A e B, in modo che A coincida con l’origine degli assi e B sia posto a distanza d da esso. Un generico punto P del cerchio di Apollonio è caratterizzato dalla relazione:

\frac{AP}{BP} = k,

dove k è una costante positiva. Traducendo le distanze in coordinate cartesiane si ha

\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{\left ( x - d \right )^2 + y^2}} = k,

che elevando al quadrato e semplificando i denominatori diventa

x^2 + y^2 = k^2 \left ( x - d \right )^2 + k^2y^2.

Riorganizzando l’equazione e normalizzando i coefficienti di secondo grado si ottiene l’equazione della circonferenza in forma canonica:

x^2 + y^2 - \frac{2k^2d}{\left ( k^2 - 1 \right)} x + \frac{k^2d^2}{\left ( k^2 - 1 \right)} = 0.

Proprietà

Dall’equazione cartesiana sopra riportata è possibile dedurre alcune proprietà del cerchio di Apollonio:

  • il centro del cerchio è posto in C \left ( \frac{k^2}{k^2 - 1} d, 0 \right ), e si trova sempre sul prolungamento del segmento AB;
  • il raggio del cerchio vale \frac{kd}{k^2 - 1};
  • per k = 1 il cerchio di Apollonio degenera nell’asse del segmento AB; per k > 1 il cerchio contiene il punto B; per 0 < k < 1 il cerchio contiene il punto A;
  • quando il rapporto tra le distanze è uguale alla sezione aurea, il cerchio ha raggio pari alla lunghezza del segmento AB.

BIBLIOGRAFIA

Apollonius. Apollonii Pergaei quae Graece exstant cum commentariis antiquis. Redatto da I. L. Heiberg. 2 volumi. (Leipzig: Teubner, 1891/1893).

Apollonius. Apollonius of Perga Conics Books I-III. Tradotto da R. Catesby Taliaferro. (Santa Fe: Green Lion Press, 1998).

Apollonius. Apollonius of Perga Conics Book IV. Tradotto con introduzione e note da Michael N. Fried. (Santa Fe: Green Lion Press, 2002).

Fried, Michael N. e Unguru, Sabetai. Apollonius of Perga’s Conica: Text, Context, Subtext. (Leiden: Brill, 2001).

Toomer, G.J. (1970). “Apollonius of Perga”. Dictionary of Scientific Biography. 1. New York: Charles Scribner’s Sons. pp. 179–193.



Categorie:L07.1- Geometria euclidea - Euclidean Geometry

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