Sezione aurea

LA SEZIONE AUREA

La sezione aurea è una delle costanti matematiche più antiche che esistano. È stata definita “sezione aurea“, o rapporto aureo, proprio perché in architettura sembra essere il rapporto più estetico fra i lati di un rettangolo e si indica con Φ (dalla lettera iniziale del nome greco dello scultore Fidia). Φ fu descritto da Keplero come uno dei “due grandi tesori della geometria” (l’altro è il teorema di Pitagora).  Non è altro che un semplice rapporto tra grandezze, ma è fondamentale oltre che in geometria, anche in botanica,  fisica, zoologia, architettura, pittura e musica.

GEOMETRIA

-Il rapporto aureo fu introdotto dai pitagorici come rapporto tra la diagonale e il lato del pentagono regolare (o come rapporto tra il lato del pentagono stellato, simbolo dei pitagorici, e il lato del pentagono regolare con gli stessi vertici).

Pentagono

La sezione aurea indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. In formule, se a è la lunghezza maggiore e b quella minore,

b:a=a:(a+b)

Lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minore e la loro differenza.

In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la relazione:

\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{a-b}

Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx 1{,}6180339887

– Si dice sezione aurea del segmento AB  il segmento AC, con C compreso tra A e B, medio proporzionale tra l’intero segmento AB e la parte rimanente CB, ossia AB:AC = AC:CB.

Più precisamente un segmento è diviso in due parti secondo la sezione aurea se il rapporto tra le lunghezze delle parti è Φ .

Il rettangolo aureo

– Un altro modo per calcolare il valore del numero aureo può essere ricavato dalla costruzione del rettangolo aureo; si può dedurre che equivale a:  0,5 + \sqrt{1,25}\ = 1,6180339887498948482045868343656... Il valore così definito, che esprime la sezione aurea, è un numero irrazionale (cioè non rappresentabile come frazione di numeri interi) e algebrico (ovvero soluzione di un’equazione polinomiale a coefficienti interi). Esso può essere approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato.

Costruzione con riga e compasso

RecOr.svg

Rettangolo aureo

Il procedimento di costruzione del rettangolo aureo con il solo ausilio di riga e compasso è stato presentato per la prima volta da Euclide nella proposizione 2.11 degli elementi.

Si costruisce dapprima un quadrato, il cui lato corrisponderà al lato minore del rettangolo.
Si trova poi il punto medio di un lato e si punta su di esso un compasso con apertura sino a un vertice non adiacente del quadrato.
Il punto nel quale la circonferenza così determinata interseca il prolungamento del lato determina il secondo estremo del lato maggiore del rettangolo.

La dimostrazione è veloce:

Golden Rectangle Construction.svg

Considerando 1 il lato del quadrato, l’apertura del compasso che punta nel punto medio risulta, applicando il teorema di Pitagora:

\sqrt{1^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2}
= \frac{\sqrt{5}}{2}.

Considerando che il segmento di tale lunghezza va aggiunto ad una porzione pari a ½ del lato, il lato maggiore costruito misurerà complessivamente:

 \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}
= \varphi
\approx 1,618

 

Golden rectangle in the square.svg

Il rettangolo aureo può essere ricavato anche all’interno del perimetro del quadrato, con un metodo che ricalca quello usato per dividere un segmento in proporzione aurea:

1. Si traccia una diagonale da un vertice a uno dei punti medi dei lati.
2. Si riporta sulla diagonale una lunghezza uguale a ½ lato del quadrato.
3. La lunghezza restante la si riporta su un lato, completando poi il rettangolo.

Il rettangolo di maggiori dimensioni così ottenuto è un rettangolo aureo, che sta in proporzione 1/φ al quadrato iniziale, mentre il più piccolo ricavato è uguale alla somma di tutti i rettangoli aurei ricavabili all’interno del principale (vedi oltre).

Considerando sempre 1 il lato maggiore, in comune col quadrato, il lato minore, per quanto sopra, ha misura:

 \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}
= \frac{1}{\varphi}
\approx 0,618

Costruzione attraverso piegature di un foglio

Esiste un modo elegante per ottenere un rettangolo aureo da un rettangolo qualsiasi, attraverso successive piegature di un foglio di carta.

Come mostrato da Corrado Falcolini, il numero di piegature richieste è in questo caso pari solo a 3. Il rettangolo aureo ottenuto ha per lato maggiore lo stesso della figura originaria mentre il lato minore è ottenuto accorciando quello originario.

Approssimazione mediante la successione di Fibonacci

FibonacciBlocks.svg

Un modo alternativo per costruire un rettangolo dalle proporzioni auree è quello di accostare in successione quadrati che abbiamo per lati i valori della successione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8 …

In questo modo si creerà una successione di rettangoli sempre più vicini a quello aureo, ma è bene precisare che sarà sempre una approssimazione che non diventerà mai esatta: perché il rapporto aureo è un numero irrazionale, il che fa dei lati del rettangolo in esame due grandezze incommensurabili, per le quali, cioè, non esiste un sottomultiplo comune; come si vede dall’immagine il procedimento dei quadrati di Fibonacci crea invece lati sempre esprimibili tramite numeri interi, il che significa che il loro rapporto sarà sempre un numero razionale.

Particolarità geometriche

Golden rectangle and its elements.svg

Dalla proprietà del rettangolo aureo di potersi “rigenerare” infinite volte, deriva la possibilità di creare al suo interno una successione infinita di quadrati e quindi una spirale, detta spirale di Fibonacci, in grado di approssimare la spirale aurea.

FakeRealLogSprial.svg

Spesso, per imprecisione, si è portati a scambiare detta spirale con l’autentica spirale aurea, ma si tratta di un errore: la spirale di Fibonacci, infatti, è data dall’unione di un’infinità di quarti di circonferenza, mente la vera spirale aurea è un particolare tipo di spirale logaritmica, che si sovrappone soltanto parzialmente a quella di Fibonacci. Il grado di approssimazione, però, è talmente buono da notarsi difficilmente a occhio la differenza tra le due.

Ciò che, comunque, hanno in comune entrambe le spirali è il fatto di avvitarsi asintoticamente verso l’incrocio tra le diagonali che possono essere ricavate all’interno dei rettangoli aurei; punto di incontro che è stato chiamato da Clifford Pickover l’occhio di Dio. , proprio per il fatto che tutto sembra vertere attorno a questo punto, dalle spirali alle diagonali e alla sequenza di quadrati. Interessante notare, poi, come non soltanto le diagonali vere e proprie si intreccino in questo particolare punto del rettangolo aureo, ma anche altre rette colleganti ulteriori punti notevoli di questo vorticoso accentramento.

In geometria solida, il rettangolo aureo è presente in due solidi platonici, anch’essi legati alla sezione aurea:

Icosahedron-golden-rectangles.svg
  • nell’icosaedro, formato da 20 triangoli equilateri, i cui 12 vertici sono a gruppi di 4 disposti su 3 piani intersecantesi ortogonalmente; su questi è possibile, unendo i diversi punti, disegnare 3 rettangoli aurei disposti allo stesso modo.
  • nel dodecaedro, formato invece da 12 pentagoni, gli stessi rettangoli aurei possono essere costruiti usando non i vertici, ma i centri delle facce; si tratta in realtà di una riproposizione della proprietà precedente, poiché tali centri sono i vertici di un icosaedro regolare.

Relazioni interne

All’interno di un rettangolo aureo possono ricavarsi una infinità di figure identiche legate tra loro in maniera sorprendente da relazioni strettissime con il numero aureo e le sue particolarità algebriche. [3]

Se consideriamo 1 la misura del lato minore del rettangolo aureo, quella del lato maggiore sarà φ; l’area complessiva del rettangolo risulterà quindi:

\varphi \cdot 1 = \varphi

ovvero il numero aureo, mentre l’area del quadrato costruito al suo interno, sul lato minore, sarà 1, e il loro rapporto è quindi sempre pari a φ; il rapporto fra l’area del suddetto quadrato e quella del rettangolo aureo di completamento contestualmente creato, il cui lato minore misura φ – 1, sarà quindi:

 \frac{1}{ \varphi - 1} = \frac{1}{\frac{1}{\varphi}} = \varphi

Da ciò si ottiene che il rapporto fra due rettangoli aurei consecutivi nella successione è φ2, cosa che vale peraltro anche per i rispettivi quadrati. Iterando il procedimento si ottiene che:

  • φ2n è il rapporto tra le aree del rettangolo (o quadrato) maggiore e l’n-esimo dei rettangoli (o quadrati) più piccoli.
  • φ2n – 1 è il rapporto fra le aree del rettangolo (o quadrato) maggiore e l’n-esimo dei quadrati (o rettangoli) più piccoli. Si ha quindi una successione geometrica, a base aurea, i cui termini pari e dispari rappresentano rispettivamente rapporti fra figure simili e diverse.
Sum gorden rectangle.svg

Osservando le precedenti figure si capisce facilmente che la somma infinita di tutti i quadrati ricavabili è pari al rettangolo aureo stesso; mentre la somma dei rettangoli aurei è data dalla serie geometrica:

1 + φ-2 + φ-4 + φ-6 + …

la cui somma è:

\frac{1} {1 - \varphi^{-2}}
= \frac{1}{\frac{\varphi^2 - 1}{\varphi^2}}
= \frac{\varphi^2}{\varphi^2 - 1}
= \frac{\varphi^2}{\varphi + 1 -1}
= \varphi

Questo risultato va interpretato come rapporto tra l’area totale e quella, considerata unitaria, del quadrato costruito sul lato minore del rettangolo aureo. Tale area è quella del quadrato costruibile sul lato maggiore; difatti disponendo adeguatamente tutti i rettangoli aurei si può ottenere un quadrato, come si vede nella figura a lato.

Dalla figura si evince anche che considerando solo la somma di tutti i rettangoli aurei interni, l’area totale è pari invece al quadrato costruibile sul lato lato minore del rettangolo aureo preso in considerazione; infine è possibile dire che dato un rettangolo aureo, sommando a questo tutti i suoi rettangoli interni (con cui costituisce un’area pari al già citato quadrato) e tutti i quadrati, sempre interni, l’area complessiva che si ottiene è quello del rettangolo aureo ad esso maggiore, procedendo ora non verso l’interno ma verso l’esterno della successione di figure.

Venendo ora ai perimetri, il perimetro di un rettangolo aureo vale 2φ2

2 + 2\varphi = 2(1 + \varphi)= 2\varphi^2 

mentre rispetto a questo il perimetro del rettangolo appena più interno vale:

 2 + 2 (\varphi - 1) \,
= 2 + \frac{2}{\varphi} \,
= \frac{2 + 2\varphi}{\varphi} \,
= 2\varphi

Il rapporto fra due perimetri consecutivi è quindi esattamente φ (identica relazione vi è tra i perimetri dei rispettivi quadrati); siamo cosi di fronte questa volta a una successione del tipo:

1, φ-1, φ-2, φ-3, φ-4, φ-5

la cui somma applicando il procedimento già visto è

\frac{1} {1 - \varphi^{-1}} =
\frac{1}{\frac{\varphi - 1}{\varphi}} =
\frac{\varphi}{\frac{1}{\varphi}}
=\varphi^2

La somma di tutti i suddetti perimetri è quindi pari al perimetro del rettangolo aureo ottenuto spostandosi due volte verso l’esterno nella solita successione.

Triangoli aurei di due tipi

É detto triangolo aureo di primo tipo ogni triangolo isoscele in cui gli angoli alla base sono doppi dell’angolo al vertice. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è π, l’angolo al vertice misura π/5 (36°) e gli angoli alla base misurano 2π/5 (72°).

La ragione dell’attributo aureo risiede nel fatto che in tali triangoli la base è la parte aurea del lato.

fig. 1

Tracciando la bisettrice dal vertice B che interseca il lato opposto in D, i triangoli ABC e ABD risultano simili. Vale quindi la proporzione

fig. 2

I triangoli ABD e BDC risultano pure isosceli: in particolare i tre segmenti AB, BD, DC risultano congruenti. Si ha quindi che AD = AC-AB. La base AB equivale quindi alla parte aurea del lato AC.

I triangoli simili al triangolo BCD, cioè i triangoli isosceli in cui l’angolo al vertice è triplo degli angoli alla base, sono detti triangoli aurei di secondo tipo. In questi triangoli isosceli il lato è la parte aurea della base.

Particolarità geometriche del triangolo aureo

Il triangolo aureo ha molte proprietà in comune con quelle che sono più note come attribuite al rettangolo aureo. Per la sua caratteristica di avere gli angoli alla base di ampiezza doppia (72°) rispetto all’angolo al vertice (36°), è possibile, bisecando uno di questi, ricavare una successione infinita di triangoli aurei minori. Contestualmente alla successione di triangoli omologhi, viene anche prodotta una successione di gnomoni aurei di completamento, grazie ai quali è possibile tracciare una “spirale di Fibonacci“, ovvero una spirale che approssima la spirale aurea autentica, tracciando in contiguità una successione archi di 108° di ampiezza, ovvero l’angolo al vertice dello gnomone.

La “spirale di Fibonacci” in questione, come la spirale aurea vera, non ha mai fine, ma si “arrotola” attorno ad un punto asintotico, un sito all’incontro della mediana degli angoli alla base opposti rispetto quello verso cui punta il primo triangolo che possiamo trovare nella serie. Anche in questo punto si può registrare un parallelismo col rettangolo aureo, dove il punto asintotico si registra invece all’incrocio delle diagonale della successione di triangoli.

Spirale aurea

Decagoni

Una immediata conseguenza della proprietà dei triangoli aurei di primo tipo è che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la parte aurea del raggio.

Un decagono regolare può essere scomposto in dieci triangoli aurei aventi le basi sui lati e vertici in comune. I lati uguali dei triangoli coincidono con raggi della circonferenza circoscritta.

La misura del lato del decagono risulta

fig. 3

fig. 4

Prolungando il raggio BO fino al punto D diametralmente opposto e tracciando il segmento DA si ottiene il triangolo rettangolo BAD che ha come ipotenusa il diametro BD e in cui l’angolo acuto in D misura π/10 (18°); si può quindi dedurre il valore del seno di π/10 (18°)

fig. 5

fig. 6

Dal seno è poi immediato dedurre il coseno.

fig. 7

La misura del segmento AD risulta

fig. 8

Indicando con C il punto medio del minore degli archi AD, il triangolo ACD risulta un triangolo aureo di secondo tipo. I segmenti AC e CD sono lati del pentagono regolare inscritto. Il segmento AD è una diagonale di tale pentagono. Dunque il lato del pentagono regolare inscritto in una circonferenza è la parte aurea della diagonale.

fig. 9

La misura del lato del pentagono risulta

fig. 10

Il triangolo aureo in relazione con altri poligoni

In relazione ad altri poligoni il triangolo aureo può essere segnalato nel:

DecagonoGolden triangle in decagon.svg PentagonoGolden triangle in pentagon.svg PentagrammaGolden triangle in pentagram.svg

Nel decagono il triangolo aureo appare come uno spicchio di torta pari a un decimo della sua area, questo è possibile perché il vertice del triangolo è esattamente di 36° cioè un decimo esatto dell’angolo giro. Inoltre questo permette di sapere con esattezza il suo apotema, coincidente all’altezza del triangolo, pari a:

apotema = \frac{\sqrt{4\varphi + 3}}{2}

Nel pentagono regolare è inscrivibile un triangolo aureo cui i lati obliqui corrispondono alle diagonali e la base al lato; il resto della figura viene completata da altri due triangoli, anch’essi isosceli e di proporzioni auree ma invertite nelle parti, detti gnomoni aurei proprio perché figure di completamento del pentagono.

Nel pentagramma, cioè una stella a 5 punte, invece il triangolo aureo si trova in quelle che rappresentano le punte della stella. Anche in questo caso tutto dipende dai legami del triangolo con il pentagono, il pentagramma infatti è ottenibile prolungando i lati del pentagono regolare che formano degli angoli esterni di 72°, la stessa ampiezza degli angoli alla base del triangolo aureo.

Pentagono stellato

Tracciando le diagonali di un pentagono regolare si ottiene il pentagono stellato, assunto a simbolo della scuola di Pitagora, da cui siamo partiti.

fig. 11

In questa figura il segmento AE è la parte aurea del segmento AD, il segmento AF è la parte aurea del segmento AE, il segmento FG è la parte aurea del segmento AF. La successione potrebbe continuare all’infinito se si tracciassero le diagonali del pentagono FGHIL, poi quelle del pentagono delimitato da queste diagonali, e così via.



Categorie:L07.1- Geometria euclidea - Euclidean Geometry, L14- Matematica e Arte - Art and Mathematics

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